微积分中不等式的证明技巧.docx
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微积分中不等式的证明技巧
习题课
一、积分不等式:
1.利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式:
例1、证明不等式
.
证:
注意在区间[0,1]上有
……
例2、证明不等式
.
证:
考虑函数
.
易见对任何
在区间
上
和
均单调,因此可积,且有
注意到
就有
.而
.
因此有
.
取
.
在区间
仿以上讨论,有
.而
,
.
综上,有不等式
.
2、某些不等式的积分推广:
原理:
设函数
和
在区间
上可积.
为区间
的
等分分
法,
.若对任何
和
均有
即得
.
令
注意到函数
和
在区间
上可积,即得积分不等式
.
倘若函数
和
连续,还可由
.
例3、证明Schwarz不等式
(亦称为Cauchy–Буняковский不等式):
设函数
和
在区间
上连续(其实只要可积就可).则有不等式
.
证法一:
(由Cauchy不等式
Schwarz不等式.Cauchy不等式参阅
[1]上册P4Ex第10题:
设
和
为两组实数,则有
.)
设
为区间
的
等分分法.由Cauchy不等式,有
两端同乘以
有
令
注意到函数
、
和
在区间
上的可积性
以及函数
的连续性,就有积分不等式
.
证法二:
(用判别式法)对任何实数
,有
,
即
对任何实数
成立.
即上述关于
的二次不等式的解集为全体实数,于是就有
即
.
例4、
且
.证明不等式
.
证:
取
.对函数
和
应用Schwarz不等式,即得所证.
例5、设函数
在区间[0,1]上可积.试证明有不等式
.
证:
先用Jensen不等式法证明不等式:
对
有不等式
.(参阅上学期期末考试题第21题)
设
为区间
的
等分分法.由上述不等式,有
.
令
注意到函数
和
在区间[0,1]上的可积性以及函数
和
的连续性,就有积分不等式
.
仿该例,可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式.例
如[1]P334—335Ex2,6,8.
二、面积函数的导数:
例6、求
和
例7、求
和
例8、求
.
例9、设
时函数
连续且
.求
.(
=
)
例10、设函数
连续且
.求
和
.
解:
令
.两端求导,
=
.
例11、设
.
=
.试证明:
=
.
证:
=
=
.
例12、设函数
在区间
上连续且
>0.
.
试证明:
函数
在区间
内严格递增.
证:
=
而
.
>0,在
内
,又
连续,
,
在区间
内
>0.因此
在区间
内
严格递增.
三、含有变限积分的未定型极限:
例13、求极限
.
(2)
四、定积分的计算:
例14、计算积分
.
例15、计算积分
=
.
解:
时,
=
;
时,
=
;
时,
=
.
因此,
例16、利用积分
的值(参阅§4例15或[1]P306E8),计算积分
.
解:
.
而
.
因此,
例17、
求
(2
)[4]P215E62
例18、设
是区间
上连续的偶函数.试证明:
是
上的奇函数.
证法一:
.
证法二:
注意到
有
=
=
.
五、利用定积分求和式极限:
参阅[3]P162—168.
原理:
例19、求极限
.[3]P163E13.与§1例2连系.
例20、求极限
.
解:
=
=
.
由函数
在区间[0,1]上可积,有
=
.
.
例21、求极限
.
[3]P167E19
解:
=
=
.
.
因此,
.
例22、试证明:
对任何
有不等式
<
.
证:
=
是函数
=
在区间[0,1]
上相应于
等分分法
的小和
.由函数
=
在区间[0,1]上可积,有
时,
↗
.又易见
↗↗.
对任何
有
<
即
<
.
习题:
P309—3102,3,8—11;
P249—26020—24,41—43,48—51,54,58,63,64,65,
95,96⑶,97,98⑴,101,106,112,113.
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