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期中考试复习题+++++++++++++++
期中考试复习题
一.解答题(共19小题)
1.(2015•深圳一模)已知:
如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,M为AB边的中点,连接ME、MD、ED.
(1)求证:
△MED为等腰三角形;
(2)求证:
∠EMD=2∠DAC.
2.(2015秋•道真县校级期末)在△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=
(2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=
(3)思考:
通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?
请用式子表示:
(4)如图3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?
如有,请你写出来,并说明理由.
3.(2015春•乐平市期末)如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求△ABP的周长.
(2)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?
(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?
4.(2015秋•宜兴市校级期中)如图,△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,AB=AC=
.现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起.现将△ABC保持不动,△DEF运动,且满足:
点E在边BC上运动(不与B、C重合),且边DE始终经过点A,EF与AC交于M点.请问:
在△DEF运动过程中,△AEM能否构成等腰三角形?
若能,请求出BE的长;若不能,请说明理由.
5.(2015秋•常熟市校级月考)如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,∠ACB的平分线交AD于E,交AB于F,FG⊥BC于G,请猜测AE与FG之间有怎样的数量关系,并说明理由.
6.(2014•黄冈模拟)操作:
在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况,研究:
(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD与PE之间有什么数量关系?
并结合图②说明理由.
(2)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?
若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由.
7.(2014•鞍山二模)我们给出如下定义:
有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题:
(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称;
(2)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且CD=CA,点E、F分别为BC、AD的中点,连接EF并延长交AB于点G.求证:
四边形AGEC是等邻角四边形;
(3)如图2,若点D在△ABC的内部,
(2)中的其他条件不变,EF与CD交于点H,图中是否存在等邻角四边形,若存在,指出是哪个四边形,不必证明;若不存在,请说明理由.
8.(2015•昆明)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2;
(3)求出
(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π).
9.(2014•南宁)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2;
(3)在x轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并直接写出P的坐标.
10.(2013•安徽)如图,已知A(﹣3,﹣3),B(﹣2,﹣1),C(﹣1,﹣2)是直角坐标平面上三点.
(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;
(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标,若将点B2向上平移h个单位,使其落在△A1B1C1内部,指出h的取值范围.
11.(2009•莱芜)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
12.(2001•内江)计算:
1﹣a﹣a(1﹣a)﹣a(1﹣a)2﹣a(1﹣a)3﹣…﹣a(1﹣a)2000﹣[(1﹣a)2001﹣3].
13.(1999•内江)把3a2﹣6ab+3b2﹣12c2分解因式
14.(1998•杭州)化简:
(a﹣b)(a+b)2﹣(a+b)(a﹣b)2+2b(a2+b2)
15.(1998•南京)把x3+3x2﹣4x﹣12分解因式.
16.(2015春•邢台期末)仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:
已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
解:
设另一个因式为(x+n),得
x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴
.
解得:
n=﹣7,m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21
问题:
仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是(2x﹣5),求另一个因式以及k的值.
17.(2015春•苏州校级期末)因式分解:
(1)x3+2x2﹣3x
(2)(x2+4)2﹣16x2.
18.(2015秋•浠水县期末)分解因式:
(1)2a(y﹣z)﹣3b(z﹣y)
(2)﹣a4+16
(3)(a+b)2﹣12(a+b)+36
(4)(a+5)(a﹣5)+7(a+1)
19.(2015春•兴化市校级期末)因式分解
(1)9x2﹣81
(2)(x2+y2)2﹣4x2y2
(3)3x(a﹣b)﹣6y(b﹣a)
(4)6mn2﹣9m2n﹣n3.
期中考试复习题
参考答案与试题解析
一.解答题(共19小题)
1.(2015•深圳一模)已知:
如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,M为AB边的中点,连接ME、MD、ED.
(1)求证:
△MED为等腰三角形;
(2)求证:
∠EMD=2∠DAC.
【解答】证明:
(1)∵M为AB边的中点,AD⊥BC,BE⊥AC,
∴ME=
AB,MD=
AB,
∴ME=MD,
∴△MED为等腰三角形;
(2)∵ME=
AB=MA,
∴∠MAE=∠MEA,
∴∠BME=2∠MAE,
同理,MD=
AB=MA,
∴∠MAD=∠MDA,
∴∠BMD=2∠MAD,
∴∠EMD=∠BME﹣∠BMD=2∠MAE﹣2∠MAD=2∠DAC.
2.(2015秋•道真县校级期末)在△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC= 15°
(2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC= 20°
(3)思考:
通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?
请用式子表示:
∠EDC=
∠BAD
(4)如图3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?
如有,请你写出来,并说明理由.
【解答】解:
(1)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠BAD=30°,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=75°,
∴∠EDC=15°.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠BAD=40°,
∴∠BAD=∠CAD=40°,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=70°,
∴∠EDC=20°.
(3)∠BAD=2∠EDC(或∠EDC=
∠BAD)
(4)仍成立,理由如下
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC
=2∠EDC+∠C
又∵AB=AC,
∴∠B=∠C
∴∠BAD=2∠EDC.
故分别填15°,20°,∠EDC=
∠BAD
3.(2015春•乐平市期末)如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求△ABP的周长.
(2)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?
(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?
【解答】
解:
(1)∵∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm,∴有勾股定理得AC=8cm,动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm
∴出发2秒后,则CP=2cm,那么AP=6cm.
∵∠C=90°,
∴有勾股定理得PB=2
cm
∴△ABP的周长为:
AP+PB+AB=6+10+2
=(16+2
)cm;
(2)若P在边AC上时,BC=CP=6cm,
此时用的时间为6s,△BCP为等腰三角形;
若P在AB边上时,有两种情况:
①若使BP=CB=6cm,此时AP=4cm,P运动的路程为12cm,
所以用的时间为12s,故t=12s时△BCP为等腰三角形;
②若CP=BC=6cm,过C作斜边AB的高,根据面积法求得高为4.8cm,
根据勾股定理求得BP=7.2cm,
所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm,
∴t的时间为10.8s,△BCP为等腰三角形;
③若BP=CP时,则∠PCB=∠PBC,
∵∠ACP+∠BCP=90°,∠PBC+∠CAP=90°,∴∠ACP=∠CAP,∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm,所以时间为13s时,△BCP为等腰三角形.
∴t=6s或13s或12s或10.8s时△BCP为等腰三角形;
(3)当P点在AC上,Q在AB上,则AP=8﹣t,AQ=16﹣2t,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
∴8﹣t+16﹣2t=12,
∴t=4;
当P点在AB上,Q在AC上,则AP=t﹣8,AQ=2t﹣16,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
∴t﹣8+2t﹣16=12,
∴t=12,
∴当t为4或12秒时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.
4.(2015秋•宜兴市校级期中)如图,△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,AB=AC=
.现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起.现将△ABC保持不动,△DEF运动,且满足:
点E在边BC上运动(不与B、C重合),且边DE始终经过点A,EF与AC交于M点.请问:
在△DEF运动过程中,△AEM能否构成等腰三角形?
若能,请求出BE的长;若不能,请说明理由.
【解答】解:
①若AE=AM则∠AME=∠AEM=45°
∵∠C=45°
∴∠AME=∠C
又∵∠AME>∠C
∴这种情况不成立;
②若AE=EM
∵∠B=∠AEM=45°
∴∠BAE+∠AEB=135°,∠MEC+∠AEB=135°
∴∠BAE=∠MEC
在△ABE和△ECM中
∴△ABE≌△ECM(AAS),
∴CE=AB=
∵BC=
∴BE=2﹣
;
③若MA=ME则∠MAE=∠AEM=45°
∵∠BAC=90°∴∠BAE=45°
∴AE平分∠BAC
∵AB=AC∴BE=
=1.
5.(2015秋•常熟市校级月考)如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,∠ACB的平分线交AD于E,交AB于F,FG⊥BC于G,请猜测AE与FG之间有怎样的数量关系,并说明理由.
【解答】解:
AE与FG之间的数量关系是相等.
理由:
∵CF平分∠ACB,FA⊥AC,FG⊥BC
∴FG=FA
∵∠AFC+∠ACF=90°,∠DEC+∠ECD=90°,且∠ACF=∠ECD
∴∠AFC=∠DEC
∵∠AEF=∠DEC
∴∠AFC=∠AEF
∴AE=FA
∴AE=FG.
6.(2014•黄冈模拟)操作:
在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况,研究:
(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD与PE之间有什么数量关系?
并结合图②说明理由.
(2)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?
若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由.
【解答】解:
(1)由图①可猜想PD=PE,再在图②中构造全等三角形来说明.即PD=PE.
理由如下:
连接PC,因为△ABC是等腰直角三角形,P是AB的中点,
∴CP=PB,CP⊥AB,∠ACP=
∠ACB=45°.
∴∠ACP=∠B=45°.
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE,
∴∠DPC=∠BPE.
∴△PCD≌△PBE.
∴PD=PE.
(2)△PBE是等腰三角形,
①当PE=PB时,此时点C与点E重合,CE=0;
②当BP=BE时,E在线段BC上,
;E在CB的延长线上,
;
③当EP=EB时,CE=1.
7.(2014•鞍山二模)我们给出如下定义:
有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题:
(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称;
(2)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且CD=CA,点E、F分别为BC、AD的中点,连接EF并延长交AB于点G.求证:
四边形AGEC是等邻角四边形;
(3)如图2,若点D在△ABC的内部,
(2)中的其他条件不变,EF与CD交于点H,图中是否存在等邻角四边形,若存在,指出是哪个四边形,不必证明;若不存在,请说明理由.
【解答】解:
(1)等腰梯形(或矩形,或正方形)
(2)证法一:
取AC的中点H,连接HE、HF
∵点E为BC中点
∴EH为△ABC的中位线
∴EH∥AB,且EH=
AB
同理FH∥DC,且FH=
DC
∵AB=AC,DC=AC
∴AB=DC,EH=FH
∴∠1=∠2
∵EH∥AB,FH∥DC
∴∠2=∠4,∠1=∠3
∴∠4=∠3
∵∠AGE+∠4=180°,∠GEC+∠3=180°
∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是邻角四边形
证法二:
连接AE
设∠B的度数为x
∵AB=AC,CD=CA
∴∠C=∠B=x,∠1=
=90°﹣
∵F是AD的中点
∴AF=EF=
AD
∴∠2=∠1=90°﹣
∴∠AGE=∠B+∠2=x+90°﹣
=90°+
∠GEC=180°﹣(90°﹣
)=90°+
∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是邻角四边形
(3)存在等邻角四边形,为四边形AGHC.
8.(2015•昆明)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2;
(3)求出
(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π).
【解答】解:
(1)根据关于x轴对称点的坐标特点可知:
A1(2,﹣4),B1(1,﹣1),C1(4,﹣3),
如图下图:
连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1.
(2)如图:
(3)由两点间的距离公式可知:
BC=
,
∴点C旋转到C2点的路径长=
.
9.(2014•南宁)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2;
(3)在x轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并直接写出P的坐标.
【解答】解:
(1)△A1B1C1如图所示;
(2)△A2B2C2如图所示;
(3)△PAB如图所示,P(2,0).
10.(2013•安徽)如图,已知A(﹣3,﹣3),B(﹣2,﹣1),C(﹣1,﹣2)是直角坐标平面上三点.
(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;
(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标,若将点B2向上平移h个单位,使其落在△A1B1C1内部,指出h的取值范围.
【解答】解:
(1)△A1B1C1如图所示;
(2)点B2的坐标为(2,﹣1),
由图可知,点B2到B1与A1C1的中点的距离分别为2,3.5,
所以h的取值范围为2<h<3.5.
11.(2009•莱芜)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DCF=90°,
在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,
∴CG=
FD,
同理,在Rt△DEF中,
EG=
FD,
∴CG=EG.
(2)解:
(1)中结论仍然成立,即EG=CG.
证法一:
连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴△DAG≌△DCG(SAS),
∴AG=CG;
在△DMG与△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG(ASA),
∴MG=NG;
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°,
∴四边形AENM是矩形,
在矩形AENM中,AM=EN,
在△AMG与△ENG中,
∵AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,
∴△AMG≌△ENG(SAS),
∴AG=EG,
∴EG=CG.
证法二:
延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,
在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG.
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,
∴MF∥CD∥AB,
∴EF⊥MF.
在Rt△MFE与Rt△CBE中,
∵MF=CB,∠MFE=∠EBC,EF=BE,
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB.
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,
∴△MEC为直角三角形.
∵MG=CG,
∴EG=
MC,
∴EG=CG.
(3)解:
(1)中的结论仍然成立.理由如下:
过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N.
由于G为FD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,
又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°,∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,
∴△MEC是等腰直角三角形,
∵G为CM中点,
∴EG=CG,EG⊥CG.
12.(2001•内江)计算:
1﹣a﹣a(1﹣a)﹣a(1﹣a)2﹣a(1﹣a)3﹣…﹣a(1﹣a)2000﹣[(1﹣a)2001﹣3].
【解答】解:
1﹣a﹣a(1﹣a)﹣a(1﹣a)2﹣a(1﹣a)3﹣…﹣a(1﹣a)2000﹣[(1﹣a)2001﹣3],
=(1﹣a)2000﹣a(1﹣a)2000﹣[(1﹣a)2001﹣3],
=(1﹣a)2001﹣[(1﹣a)2001﹣3],
=3.
13.(1999•内江)把3a2﹣6ab+3b2﹣12c2分解因式
【解答】解:
3a2﹣6ab+3b2﹣12c2,
=3(a2﹣2ab+b2﹣4c2),
=3[(a﹣b)2﹣4c2],
=3(a﹣b+2c)(a﹣b﹣2c).
14.(1998•杭州)化简:
(a﹣b)(a+b)2﹣(a+b)(a﹣b)2+2b(a2+b2)
【解答】解:
(a﹣b)(a+b)2﹣(a+b)(a﹣b)2+2b(a2+b2),
=(a﹣b)(a+b)(a+b﹣a+b)+2b(a2+b2),
=2b(a2﹣b2)+2b(a2+b2),
=2b(a2﹣b2+a2+b2),
=4a2b.
15.(1998•南京)把x3+3x2﹣4x﹣12分解因式.
【解答】解:
原式=x2(x+3)﹣4(x+3)=(x+3)(x2﹣4)=(x+3)(x+2)(x﹣2).
16.(2015春•邢台期末)仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:
已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
解:
设另一个因式为(x+n),得
x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴
.
解得:
n=﹣7,m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21
问题:
仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是(2x﹣5),求另一个因式以及k的值.
【解答】解:
设另一个因式为(x+a),得(1分)
2x2+3x﹣k=(2x﹣5)(x+a)(2分)
则2x2+3x﹣k=2x2+(2a﹣5)x﹣5a(4分)
∴
(6分)
解得:
a=4,k=20(8分)
故另一个因式为(x+4),k的值为20(9分)
17.(2015春•苏州校级期末)因式分解:
(1)x3+2x2﹣3x
(2)(x2+4)2﹣16x2.
【解答】解:
(1)原式=x(x2+2x﹣3)=x(x﹣1)(x+3);
(2)原式=(x2+4+4x)(x2+4﹣4x)=(x+2)2(x﹣2)2.
18.(2015秋•浠水县期末)分解因式:
(1)2a(y﹣z)﹣3b(z﹣y)
(2)﹣a4+16
(3)(a+b)2﹣12(a+b)+36
(4)(a+5)(a﹣5)+7(a+1)
【解答】解:
(1)2a(y﹣z)﹣3b(z﹣y)
=(2a+3b)(y﹣z);
(2)﹣a4+16
=(4﹣a2)(4+a2)
=(2﹣
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