开放式问题求解数学教学.docx
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开放式问题求解数学教学
开放式问题求解数学教学
执教者:
干琼宇,女,1975年出生,杭州市电子信息职业学校。
曾辅导学生竞赛获杭州市第三届中等职业学校学生数学竞赛团体一等奖。
曾获浙江省首届“人教杯”数学创新课比赛一等奖。
获第一届“人教杯”全国中等职业学校数学教师说课比赛一等奖。
教学特色:
开放式问题求解数学教学──在数学教学中贯穿“活跃思维、放松心情、开放路径、成功达标”的基本思路,通过设定开放性的数学问题,使学生在充分讨论与分析中学习,培养学生善观察、广联想,多方向、多角度思考数学问题的能力,据此提升数学教学的质量。
教学理念:
把数学教学变成学生“再创造”、“再发现”的过程。
教学设计 一元二次函数的值域
教学论文
数学开放性问题在教学中的探索与实践
杭州市电子信息职业学校干琼宇
摘要:
把数学开放性问题引入到数学教学中是当今时代的需要,随着课程改革的深入和新课程标准的实施,数学教学迫切要求摆脱传统的“灌输式”的教学,呼吁让学生主动地参与教与学的整个过程。
而数学开放性问题的教育价值在于培养学生学习数学的积极态度,在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建,在于能激起大多数学生的好奇心,使学生经历知识再创造的过程,从而优化学生的思维品质,培养学生的创新精神和探索意识。
关键词:
数学开放性问题、条件开放题、策略开放题、结论开放题、综合开放题
数学教学过程是特殊的认知发现过程。
这个过程要求教师教学不仅要重视自己“导”的设计,更要重视学生“学”的体验,关注学生“学”的情感、态度与方式,让学生主动参与,自主探索。
通过数学开放性问题的教学,能激励学生积极主动地探索数学知识规律,培养学生自主发展能力,全面提高学生素质。
一、 数学封闭性问题与数学开放性问题
1.数学封闭性问题及其特征
具有完备的条件和固定的答案的数学问题称为数学封闭性问题。
数学封闭性问题
的主要特征是:
(1)问题提出的确定性。
问题本身没有要求学生自我提出问题,甚至于没有一点点的自主拓展空间,因此问题空间是封闭性的,结论是终结性的,不利于学生提出问题能力的培养和对问题的进一步深化探索。
(2)条件的完全可用性。
问题所给出的条件不多也不少,每一个条件都要用到,否则解题过程有错误,这样的问题情境使解题者缺少收集信息、筛选信息、重组信息的能力的培养。
(3)答案的唯一性。
评判学生解决封闭性问题的标准就是能否完整地解出问题,是否与标准答案相符。
这样就没有给学生根据自己的能力得到不同层次答案的机会,达不到分层提高的教育目标。
2.数学开放性问题及其特征
数学开放性问题的概念,至今还没有统一的定义,有影响的代表性观点有:
(1) 答案不确定或条件不完备的数学问题;
(2) 答案不唯一的数学问题;
(3) 具有多种不同解法,或者有多种可能的解答的问题;
(4) 条件多余需选择,条件不足需补充或答案不固定的数学问题;
(5) 条件开放(条件在不断变化)、结论开放(多结论或无结论)、策略开放(可采用多种方法解决)的问题;
(6) 数学问题是一个系统:
{y,O,p,z},其中y表示习题的条件,O表示解题的依据,p表示解题的方法,z表示习题的结论。
上述系统的四个要素中有三个是未知的习题称为问题性题,有两个是未知的习题称为探索性题。
数学开放题大多数属于问题性题,也有的属于探索性题。
以上种种描述,虽然对问题条件的描述多种多样,但对答案的看法比较一致:
答案不唯一。
数学开放性问题的主要特征是:
①非完备性在开放题中,要么条件不充分,要么结论被隐去,因而其组成要素是不完备的。
②不确定性对于条件开放题而言,其条件可能是多种多样的;对于结论开放题而言,其结论是不确定的;对于综合开放题而言,它只是给出一定的问题情境,其条件、解题方法和结论均需解题者在情境中去主动寻找。
③发展性从皮亚杰发生认识论的观点看,开放题能引起学生认知结构的顺应,从而使学生的认知结构发生质的变化,使他们的知识水平和数学能力得到较大程度的发展。
④探究性开放题的解答没有固定的、现成的模式可循,解题者不能用常规方法去套用,必须经过主动的思考,自己来设计解题方案。
因而,开放题的解决需要不断的尝试与探索,有利于发展学生的探索精神和培养探索能力。
⑤创新性在解答开放题的过程中,可能引出一些新的问题,也可能引申推广到更一般的情形。
因而,开放题有利于发展学生的创新意识和创新能力。
3.数学开放性问题和数学封闭性问题并不相互排斥。
在原有封闭性问题基础上,或弱化条件、或隐去结论、或在既定条件下探讨多种结论,使学生的思维向纵深发展、发散开去,能够启发学生有独创性的理解,就有可能形成开放性问题。
二、 数学开放性问题的分类
不同的分类标准产生不同的分类结果,在我们的教学中有用的分类主要有:
1.从构成数学题系统的四要素(条件、依据、方法、结论)出发,定性地可分为四类:
(1) 如果寻求的答案是条件,则称为条件开放题;
(2) 如果寻求的答案是依据或方法,则称为策略开放题;
(3) 如果寻求的答案是结论,则称为结论开放题;
(4) 如果只给出一定的情境,其条件、解题策略与结论都要求主体在情境中自行设定与寻找,则称为综合开放题。
下面是国际上最早引进的一个数学综合开放题的例子:
在一个50米长,30米宽的矩形荒地上,要设计改造为花园,并要使花坛所占的面积恰为荒地面积的一半,试给出你的设计。
此题的条件不完备,结论更是不确定,均呈现出开放性;由于没有限制花坛的形状、在矩形中的位置,因思考的角度、经验背景、价值取向的不同,可以给出数种设计方案,并没有所谓的终结答案。
此题一般是解题者结合自己的实际(知识背景、生活背景、审美标准等)具体化为封闭性问题,进而求解的。
2.按数学开放题的开放度,定量地可分为三类:
(1) 弱开放题——答案情况(包括可能情况)只有两种的开放题;
(2) 中开放题——答案情况(包括可能情况)超过两种,但数目有限的开放题;
(3) 强开放题——只能给出部分答案情况,答案情况(包括可能情况)总数难以确定的开放题。
教师在教学中使用开放性问题应考虑与学生的经验及知识水平相适应。
开放性问题对职高学生来说应具备起点低、入口宽、拓展性强的特点。
三、 数学开放性问题在教学中的探索
由于职高学生数学基础普遍比较差,教师可选用一些开放度相对较低的开放题用于教学实践中。
我主要从以下四个方面谈谈自己在教学中的一点探索:
1.运用条件开放题培养学生思维的灵活性
思维的灵活性是指在处理问题时的随机应变的能力。
条件开放题要求学生善于选择题目所提供的信息,及时调整思维角度、改变原来的思维过程,不固执己见,不拘泥于陈旧的方法,并善于由题目所提供的的信息提出新的设想和解决问题的方案。
从而,有利于培养思维的灵活性。
如练习一的两道题:
①一元二次函数_____________的值域为
与②一元二次函数_____________的值域为
都是条件开放题。
显然,要学生独立思考、完成这样的题,难度较大,所以我在教学中作了层层铺垫。
例题的①
与③
的结论都是值域为
,也就是说这两个一元二次函数都是练习一①的答案。
通过例题的分析与讨论及学生对例题后的思考题(与一元二次函数值域相关的因素是什么?
无关的因素是什么?
)的思考,使学生自觉地调整思维角度,在教师的引导下归纳出这样的条件开放题的思考方式。
2.运用策略开放题培养学生思维的发散性
在运用不同的解题策略解决问题的过程中,要求学生全面观察,广泛联想,多方向、多角度去思考。
这样的训练环境比封闭题更有效地培养学生的发散性思维能力。
数学中常见的一题多解题就属于策略开放题。
在本教学设计中,例题的四道题都是策略开放题。
其中①
与②
可直接用代数法求解,即利用一个数的平方为非负数,得出①中
及②中
的结论,从而得出它们的值域;也可以用几何法,即通过观察图象直接得出结论,即为教案中的解法。
③
与④
可以用配方法与公式法两种方法求解,即教案中的两种解法。
3.运用结论开放题培养学生思维的批判性
结论开放题的条件明确,而结论常常是未知的或不确定的,有的有待于猜想,有的存在多种可能,这就为培养学生思维的批判性提供了极好的机遇与素材,教师可引导学生运用各种思维形式,排除不可能发生的情况,作出正确的选择与判断。
如教学设计开篇的两道题:
“写出一个开口向下的一元二次函数的解析式。
”与“写出两个对称轴为x=1的一元二次函数的解析式。
”就属于结论开放题。
它们的结论都存在无数种可能,而且题目的难度系数很低。
这两道题除了起到引出后面的知识点的作用外,更重要的是即使是数学成绩差的学生也能较快地得出结论。
这样的题目放在教学开篇,有利于激发学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性,使学生能以更大的热情投入到教学活动中。
4.运用综合开放题培养学生思维的创造性
“开放题的核心是培养学生的创新意识和创造能力。
”由于开放题自身的条件的不完备性、答案的不确定性,常常需要学生具有打破常规解决问题的一种创造能力。
学生可以根据自己的经验、知识水平及认知能力,从不同的角度选择不同的思维方式解决问题,从而使不同学习水平的学生均学有所获,进而引发他们积极进取和自由探索的热情,在经历知识再创造的过程中,培养和提高学生的创新意识和探索能力。
正因为数学开放题具有较强的灵活性和创造性,所以教师在教学中应有意识地设计一些紧扣课堂教学内容的开放性问题,使学生能多方位、多角度、多层次地思考和分析问题,在解决问题的过程中激发学生的学习乐趣,培养学生的创新思维。
参考文献
1.《高中数学开放性问题》吴长江主编上海大学出版社
2.《高中数学开放性问题》沈翔主编华东师范大学出版社
3.《新课程与课堂教学改革》张天宝著人民教育出版社
4.《教师行为优化教程》傅道春编著黑龙江教育出版社
5.《中学数学变式教学与能力培养》刘长春、张文娣编著山东教育出版社
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