整式基本概念及加减运算.docx
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整式基本概念及加减运算.docx
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整式基本概念及加减运算
例题精讲
板块一代数式、单项式、多项式
代数式的定义:
用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做
代数式.
单独的一个数或字母也是代数式.
列代数式:
列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”.
列代数式的关键是正确地分析数量关系,要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、
少、增加、增加到等数学概念和有关知识.
在列代数式时,应注意以下几点:
(1)在同一问题中,要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示;
(2)字母与字母相乘时可以省略乘号;
(3)在所列代数式中,若有相除关系要写成分数形式;
(4)列代数式时应注意单位,单位名称在代数式后面写出来,如果结果为加减关系,必须用括号将代数式括起来;
(5)代数式中不要使用带分数,带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.
单项式:
像
,
,
,
,
,……这些代数式中,都是数字与字母的积,这样的代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系,特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式,例:
、
.
单项式的次数:
是指单项式中所有字母的指数和.例如:
单项式
,它的指数为
,是四次单项式.单独的一个数(零除外),它们的次数规定为零,叫做零次单项式.
单项式的系数:
单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如:
我们把
叫做单项式
的系数.
同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.
多项式:
几个单项式的和叫做多项式.例如:
是多项式.
多项式的项:
其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母的项叫做常数项.
多项数的次数:
多项式里,次数最高项的次数就是这个多项式的次数.
整式:
单项式和多项式统称为整式.
【例1】指出下列各式,哪些是代数式,哪些不是代数式?
⑴
⑵
⑶0⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
【巩固】
,
,
都是有理数,试说出下列式子的意义:
①
;②
; ③
;④
;
⑤
;⑥
;⑦
;⑧
【例2】讲下列代数式分别填入相应的括号内:
单项式();
多项式();
二项式();
二次多项式();
整式()
【巩固】找出下列各代数式中的单项式,并写出各单项式的系数和次数.
;
;
;
;
;
;
;
【巩固】下列代数式中那些是单项式?
指出这些单项式的系数和次数:
【巩固】写出一个系数是2004,且只含
、
两个字母的三次单项式是.
【巩固】写出下面式子的同类项:
⑴
⑵
⑶
⑷
【例3】下列各对单项式中不是同类项的是()
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
【巩固】单项式
与
是同类项,求
的值.
【例4】已知
和
是同类项,且
,
,求
的值
【巩固】已知关于
的单项式
和
是同类项,则
,
【巩固】若
与
是同类项,求
,
的值.
【巩固】设
和
均不为零,
和
是同类项,则
【巩固】若
与
是同类项,求
,
的值.
【巩固】若
和
是同类项,求
的值.
【例5】同时都含有
,且系数为
的
次单项式共有()个
A.4B.12C.15D.25
【例6】填空:
若单项式
是关于
的三次单项式,则
【巩固】含字母
和
,且系数为
的四次单项式是
【例7】将多项式
按
的降幂排列,并指出是几次,几项式,并指出系数最小的项.
【巩固】下列各式中,哪些是多项式?
并指出它是几次几项式.
⑴
;⑵
;⑶
;⑷
.
【例8】若多项式
不含
的奇次项,求
的值
【例9】若多项式
是关于
的四次二项式,求
的值
【巩固】当
取什么值时,
是五次二项式?
【例10】设
表示正整数,多项式
是几次几项式
【例11】一个多项式按
的降幂排列,前几项如下:
试写出它的第七项及最后一项,这个多项式是几次几项式?
【巩固】已知
对任意
的值都成立,求下列各式的值:
⑴
;⑵
【例12】试分别用两种不同的标准对下列多项式进行分类:
【例13】如左图,计算四边形
的面积.
【例14】如右图,用含有
的代数式表示糟型钢材的体积.
【巩固】如图所示,用
的代数式表示零件的体积.
【巩固】如图,一块直径为
的圆形钢板,从中挖去直径分别为
与
的两个圆,求剩下钢板的面积.(
表示圆的直径)
板块二整式加减
合并同类项:
把多项式中同类项合并成一项,叫做合并同类项.
合并同类项时,只需把系数相加,所含字母和字母指数不变.
【例15】按要求将下列多项式添上括号:
将多项式
中含有字母的项放在前面带有负号的括号内;
【巩固】将多项式
中二次项放在前面带正号的括号内,一次项放在前面带有负号的括号内
【巩固】若
与
的和仍是一个单项式,求
、
的值.
【巩固】两个三次多项式相加,和是()
A.六次多项式A.三次多项式A.不超过三次的多项式A.不超过三次的整式
【例16】去括号,在合并同类项:
【巩固】化简:
【例17】化简:
【巩固】化简:
【例18】化简:
【巩固】化简:
【例19】若
,
.求:
⑴
;⑵
【巩固】求
与
的和
【巩固】若
,
,且
,求
.
【巩固】已知
,
,求
【巩固】化简:
【巩固】化简:
【例20】第一个多项式是
,第二个多项式是第一个多项式的
倍少
,第三个多项式是前两个多项式的和,求这三个多项式的和.
【巩固】已知多项式
与
相加得
,求多项式
【巩固】已知两个多项式的和为
,差是
,求这两个多项式
【巩固】求比多项式
少
的多项式.
【巩固】从一个多项式减去
,由于误认为加上这个式子,结果得到的答案是
.求出正确的答案.
【例21】有这样一道题:
“已知
,
,
,当
,
,
时,求
的值”.有一个学生指出,题目中给出的
,
是多余的.他的说法有没有道理?
为什么?
【巩固】若
,
,且
与
无关,求
与
的值.
【例22】已知
,
.当
时,求
的值.
【例23】已知代数式
,当
时它的值为
;当
时它的值为
,求
时,代数式
的值
【巩固】已知当
时,代数式
的值是
,求当
时,这个代数式的值
【巩固】设
,
,若
,且
,
求
的值.
【例24】先化简,再求值:
若
,
,
,求
的值.
【巩固】先化简,在求值:
,其中
【巩固】化简求值:
,其中
【巩固】化简求值:
,其中
【巩固】若
,
,
计算:
⑴
⑵
【例25】已知
,求
.
【巩固】已知
、
、
满足:
⑴
;⑵
是7次单项式;
求多项式
的值.
【巩固】对任意实数
,试比较下列每组多项式的值的大小:
与
【例26】比较大小:
与
【例27】应用整式知识解答下列各题:
⑴任意写出一个三位数,然后把这个三位数的百位数和个位数交换位置,得到另一个三位数,求证:
这两个三位数的差总能被
整除
⑵一个三位数,将它的各位数字分别按从大到小和从小到大的顺序重新排列,把所得到的两个三位数相减,若差等于原来的三位数,则称这个三位数为“克隆数”。
求出所有的三位“克隆数”
课后练习
1.指出下列各式,哪些是代数式,哪些不是代数式?
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
2.若
与
是同类项,求
的值.
3.若
与
是同类项,求
,
的值.
4.如果
与
是同类项,且
与
互为负倒数,求
值.
5.边长分别为
和
的两个正方形按如图的样式摆放,求左图中阴影部分的面积.
6.把下列多项式按
降幂排列,并指出是几次,几项式,并指出系数最小的项:
⑴
;⑵
7.求
与
的差.
8.化简:
9.设
,
,求
10.一个多项式加上
得
,求这个多项式.
11.若
,
,求代数式
值.
12.若
与
互为相反数,求代数式
的值.
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- 整式 基本概念 加减 运算