第十三章 132 第1课时 绝对值不等式.docx
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第十三章132第1课时绝对值不等式
§13.2 不等式选讲
第1课时 绝对值不等式
最新考纲
考情考向分析
1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R).
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
|ax+b|≤c;
|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值,也可以借助数形结合求解.在高考中主要以解答题的形式考查,难度为中、低档.
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x| (-a,a) ∅ ∅ |x|>a (-∞,-a)∪(a,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) R (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. (2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. 概念方法微思考 1.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么? 提示 当a,b不共线时,|a|+|b|>|a+b|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边. 2.用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时,需把数轴分成几段? 提示 一般地,n个绝对值对应n个零点,n个零点应把数轴分成(n+1)段. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x|>c的解集为R,则c≤0.( × ) (2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为∅.( √ ) (3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>b>0时等号成立.( × ) (4)对|a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( × ) (5)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( √ ) 题组二 教材改编 2.[P20T7]不等式3≤|5-2x|<9的解集为( ) A.[-2,1)∪[4,7)B.(-2,1]∪(4,7] C.(-2,-1]∪[4,7)D.(-2,1]∪[4,7) 答案 D 解析 由题意得 即 解得不等式的解集为(-2,1]∪[4,7). 3.[P20T8]求不等式|x-1|-|x-5|<2的解集. 解 ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2, ∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1; ②当1 ∴x<4,∴1 ③当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<2,该不等式不成立. 综上,原不等式的解集为(-∞,4). 题组三 易错自纠 4.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=__________. 答案 2 解析 ∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2. 5.已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则++的最小值为________. 答案 9 解析 把a+b+c=1代入到++中, 得++ =3+++ ≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 题型一 绝对值不等式的解法 例1 (1)解不等式x+|2x+3|≥2. 解 原不等式可化为或 解得x≤-5或x≥-. 综上,原不等式的解集是. (2)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. ①当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; ②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围. 解 ①当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于 x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.(*) 当x<-1时,(*)式化为x2-3x-4≤0,无解; 当-1≤x≤1时,(*)式化为x2-x-2≤0, 从而-1≤x≤1; 当x>1时,(*)式化为x2+x-4≤0, 从而1 所以f(x)≥g(x)的解集为. ②当x∈[-1,1]时,g(x)=2, 所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于 当x∈[-1,1]时,f(x)≥2. 又f(x)在[-1,1]上的最小值必为f(-1)与f (1)之一, 所以f(-1)≥2且f (1)≥2,得-1≤a≤1. 所以a的取值范围为[-1,1]. 思维升华解绝对值不等式的基本方法 (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式. (2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式. (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解. 跟踪训练1已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6,求a的取值范围. 解 (1)当a=1时, f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解; 当-1 当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集为. (2)由题设可得,f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1), △ABC的面积为(a+1)2. 由题设得(a+1)2>6,故a>2. 所以a的取值范围为(2,+∞). 题型二 利用绝对值不等式求最值 例2 (1)对任意x,y∈R,求|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值; (2)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-2y+1|的最大值. 解 (1)∵x,y∈R, ∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1, 当且仅当0≤x≤1时等号成立, ∴|y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2, 当且仅当-1≤y≤1时等号成立, ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3, 当且仅当0≤x≤1,-1≤y≤1同时成立时等号成立. ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3. (2)|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5. 思维升华求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义. (2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||. (3)利用零点分区间法. 跟踪训练2已知a和b是任意非零实数. (1)求的最小值; (2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,求实数x的取值范围. 解 (1)∵≥==4, 当且仅当(2a+b)(2a-b)≥0时等号成立, ∴的最小值为4. (2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,即|2+x|+|2-x|≤恒成立, 故|2+x|+|2-x|≤min. 由 (1)可知,的最小值为4, ∴x的取值范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集. 解不等式得-2≤x≤2, 故实数x的取值范围为[-2,2]. 题型三 绝对值不等式的综合应用 例3(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. 解 (1)f(x)= 当x<-1时,f(x)≥1无解; 当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,解得1≤x≤2; 当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2, 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. (2)由f(x)≥x2-x+m,得 m≤|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x ≤|x|+1+|x|-2-x2+|x| =-2+≤, 当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=. 故m的取值范围为. 思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决. (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法. 跟踪训练3设函数f(x)=x+|x-a|. (1)当a=2019时,求函数f(x)的值域; (2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立时a的取值范围. 解 (1)由题意得,当a=2019时, f(x)= 因为f(x)在[2019,+∞)上单调递增, 所以f(x)的值域为[2019,+∞). (2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min>2. 而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|, 所以|1+a|>2,解得a>1或a<-3. 即a的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞). 1.对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围. 解 因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1, 所以|3a-3b|≤3,≤, 所以|4a-3b+2|= ≤|3a-3b|++≤3++=6, 即|4a-3b+2|的最大值为6, 所以m≥|4a-3b+2|max=6. 即实数m的取值范围为[6,+∞). 2.(2018·河北衡水中学模拟)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|,g(x)=x2-x-a. (1)当a=5时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)解集包含[2,3],求a的取值范围. 解 (1)当a=5时,不等式f(x)≥g(x)等价于|x+1|-|x-2|≥x2-x-5,① 当x<-1时,①式化为x2-x-2≤0,无解;当-1≤x≤2时,①式化为x2-3x-4≤0,得-1≤x≤2; 当x>2时,①式化为x2-x-8≤0,得2 所以f(x)≥g(x)的解集为. (2)当x∈[2,3]时,f(x)=3, 所以f(x)≥g(x)的解集包含[2,3],等价于x∈[2,3]时g(x)≤3, 又g(x)=x2-x-a在[2,3]上的最大值为g(3)=6-a, 所以g(3)≤3,即6-a≤3,得a≥3, 所以a的取值范围为[3,+∞). 3.(2018·百校联盟TOP20联考)已知f(x)=|2x+a|-|x-2|. (1)当a=-2时,求不等式f(x)≤4的解集; (2)若关于x的不等式f(x)≥3a2-3|2-x|恒成立,求a的取值范围. 解 (1)当a=-2时,由f(x)≤4, 得2|x-1|-|x-2|≤4, 当x≤1时,由2(1-x)-(2-x)≤4,得-4≤x≤1; 当1 当x≥2时,由2(x-1)-(x-2)≤4,得2≤x≤4. 综上所述,f(x)≤4的解集为[-4,4]. (2)由不等式f(x)≥3a2-3|2-x|, 得|2x+a|-|x-2|+3|x-2|≥3a2, 即|2x+a|+|2x-4|≥3a2, 即关于x的不等式|2x+a|+|2x-4|≥3a2恒成立, 而|2x+a|+|2x-4|≥|(2x+a)-(2x-4)|=|a+4|, 当且仅当(2x+a)(2x-4)≤0时等号成立, 所以|a+4|≥3a2, 解得a+4≥3a2或a+4≤-3a2, 解得-1≤a≤或a∈∅. 所以a的取值范围是. 4.已知函数f(x)=|x-1|. (1)解关于x的不等式f(x)≥1-x2; (2)若关于x的不等式f(x) 解 (1)由题意f(x)≥1-x2可知,|x-1|≥1-x2, 即x-1≥1-x2或x-1≤x2-1, 所以x2+x-2≥0或x2-x≥0, 即x≤-2或x≥1或x≥1或x≤0, 故原不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}.
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