大学物理静电场中的导体和电介质习题答案答辩.docx
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大学物理静电场中的导体和电介质习题答案答辩
第13章静电场中的导体
和电介质
P70.
13.1一带电量为q,半径为rA的金
属球A,与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置,如图所示,则图中P点的电场强度如何?
若用导线将
A和B连接起来,则
A球的电势为多少?
(设无穷远处电势为
零)
[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面,尽管金属球壳内侧会感应出异种,但是高斯面内只有电荷q.根据高斯定理可得E4πr2=q/ε0,可得P点的电场强度为
E=
q4πε
0r
2
.当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q
时,外侧将出现同种电荷q.用导线将A和B连接起来后,正负电荷将中和.A球是一个等势体,其电势等于球心的电势.A球的电势是球壳外侧的电荷产生的,这些电荷到球心的距离都是rc,所以A球的电势为
U=
q4πε.
0rc
13.2同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的,其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质,设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ,则通过介质内长为l,半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少?
圆柱面上任一点的场强为多少?
[解答]介质中的
电场强度和电位移是轴对称分布的.在
内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面,根据介质中的高斯定理,通过圆柱面的电位移通过等于该面
包含的自由电荷,即Φd=q=λl.
设高斯面的侧面为S0,上下两底面分别为S1和S2.通过高斯面的电位移通量为
Φd=Ñ⎰S
D⋅dS
=⎰SD⋅dS+⎰D⋅dS+⎰D⋅dS=2πrlD,
S1
S2
可得电位移为D=λ/2πr,其方向垂直中心轴向外.
电场强度为E=D/ε0εr=λ/2πε0εrr,方向也垂直中心轴向外.
13.3金属
球壳原来带有电量Q,壳内外半径分别为a、b,壳内距球
心为r处有一点电
荷q,求球心o的电
势为多少?
图14.3
[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q,不论电荷如何分布,距离球心都为a.外壳上就有电荷q+Q,距离球为b.球心的电势是所有电荷产生的电势叠加,大小为
U1
o=
q1-q1Q+q
4πε++
0r4πε0a4πε0b
13.4三块平行金属板A、B和C,面积都是S=100cm2,A、B相距d1=2mm,A、C相距d2=4mm,B、C接地,A板带有正电荷q=3×10-8C,
忽略边缘效应.求
(1)B、C
板上的电荷为多少?
图14.4
(2)A板电势为多少?
[解答]
(1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2,所带电量分别为
q1=σ1S和q2=σ2S,
在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2,由电荷守恒得方程
q=q1+q2=σ1S+σ2S.①A、B间的场强为E1=σ1/ε0,A、C间的场强为E2=σ2/ε0.
设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等,设为ΔU,则
ΔU=E1d1=E2d2,②
即σ1d1=σ2d2.③
解联立方程①和③得
σ1=qd2/S(d1+d2),
所以q1=σ1S=qd2/(d1+d2)=2×10-8(C);
q2=q-q1=1×10-8(C).
B、C板上的电荷分别为
qB=-q1=-2×10-8(C);qC=-q2=-1×10-8(C).
(2)两板电势差为
ΔU=E1d1=σ1d1/ε0=qd1d2/ε0S(d1+d2),由于k=9×109=1/4πε0,所以ε0=10-9/36π,
因此ΔU=144π=452.4(V).由于B板和C板的电势为零,所以
UA=ΔU=452.4(V).
13.5一无限大均匀带电平面A,带
电量为q,在它的附近放一块与A平行的金属导体板B,板B有一定的厚度,如图所示.则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少?
[解答]由于板B原来不带电,两边感应出电荷后,由电荷守恒得
q1+q2=0.①
虽然两板是无限大的,为了计算的方便,不妨设它们的面积为S,则面电荷密度分别为
σ1=q1/S、σ2=q2/S、σ=q/S,它们产生的场强大小分别为
E1=σ1/ε0、E2=σ2/ε0、E=σ/ε0.在B板内部任取一点P,其场强为零,其中1面产生的场强向右,2面和A板产生
P
的场强向左,取向右的方向
为正,可得
图14.5
E1-E2–E=0,
即σ1-σ2–σ=0,
或者说q1-q2+q=0.②解得电量分别为
q2=q/2,q1=-q2=-q/2.
13.6两平行金属板带有等异号电荷,若两板的电势差为
120V,两板间相距为1.2mm,忽略边缘效应,求每一个金属板表面的电荷密度各为多少?
[解答]由于左板接
地,所以σ图14.6
1=0.
由于两板之间的电荷相互吸引,右板右面的电荷会全部吸引到右板左面,所以σ4=0.
由于两板带等量异号的电荷,所以
σ2=-σ3.
两板之间的场强为
E=σ3/ε0,
而E=U/d,所以面电荷密度分别为
σ3=ε0E=ε0U/d=8.84×10-7(C·m-2),σ2=-σ3=-8.84×10-7(C·m-2).
13.7一球形电容器,内外球壳半径分别为R1和R2,球壳与地面及其他物体相距很远.将内球用细导线接地.试证:
球面间
电容可用公式C=4πε0R2
RR表示.
2-1
(提示:
可看作两个球电容器的并联,且地球半径R>>R2)
[证明]方法一:
并联电容法.在
外球外面再接一个
半径为R3大外球
壳,外壳也接地.内球壳和外球壳之间是一个电容器,电容为
C1
121=4πε0
1/R1/R=4πεRR0
1-2R2-R1
外球壳和大外球壳之间也是一个电容器,电
容为
C2=4πε1
1/R.
2-1/R3
外球壳是一极,由于内球壳和大外球壳都接地,共用一极,所以两个电容并联.当R3趋于无穷大时,C2=4πε0R2.并联电容为C=CR2
1+C2=4πεR10
R+4πε0R2
2-R1
=4πε2
0R2R.2-R1
方法二:
电容定义法.假设外壳带正电为q,则内壳将感应电荷q`.内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果.由于内球接地,所以其电势为零;由于内球是一个等势体,其球心的电势为
qq`4πε+
0R2
4πε=0,
0R1
因此感应电荷为
q`=-
R1
Rq.2
根据高斯定理可得两球壳之间的场强为
E=
q`4πε2=-R1q2
,0r4πε0R2r
负号表示场强方向由外球壳指向内球壳.
取外球壳指向内球壳的一条电力线,两球壳之间的电势差为
R1
R1
U=
l=R⎰E⋅d2
R⎰Edr
2
R1
=
-
R1q
R⎰(2
4πε2
)dr0R2r
=
R1q4πε(1-1
)=(R2-R1)qR2
0R2R1R24πε02
球面间的电容为
C=qU=4πε2
0R2
R.
2-R1
13.8球形电容器的内、外半径分别为R1和R2,其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质,求电容C为多少?
[解答]球形电容器的电容为
C=4πε1
-1/R=4πεR1R20
1/R0.
12R2-R1
对于半球来说,由于相对面积减少了一
半,所以电容也减少一半:
Cπε0R1R2
1=
2R.
2-R1
当电容器中充满介质时,电容为:
C2πε0εrR1R2
2=
RR.
2-1
由于内球是一极,外球是一极,所以两个电容器并联:
C=C2πε0(1+εr)R1R2
1+C2=
R.
2-R1
13.9设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质,介电常量分别为ε1和ε2,厚度分别为d1和d2,求电容器的电容.
[解答]假设在
两介质的介面插入一薄导体,可知两个电容器串联,电
容分别为
C1=ε1S/d1和C2=ε2S/d2.总电容的倒数为
1=1+1
=d1+d2=ε2d1+ε1d2CCε,1C2ε1Sε2Sε12S
总电容为C=ε1ε2S
ε.
2d1+ε1d2
13.10圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的,其长为l,其间充满了介电常量为ε的介质.设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ,圆筒的电荷为-λ,略去边缘效应.求:
(1)两极的电势差U;
(2)介质中的电场强度E、电位移D;(3)电容C,它是真空时电容的多少倍?
[解答]介质中
的电场强度和电位移是轴对称分布
的.在内外半径之
间作一个半径为r、
长为l的圆柱形高
斯面,侧面为S0,上下两底面分别为
S1和S2.通过高斯面的电位移通量为
Φd=Ñ⎰S
D⋅dS
=⎰SD⋅dS+⎰D⋅dS+1
⎰SD⋅dS=2πrlD,
S2
高斯面包围的自由电荷为q=λl,根据介质中的高斯定理Φd=q,可得电位为D=λ/2πr,方向垂直中心轴向外.
电场强度为E=D/ε=λ/2πεr,方向也垂直中心轴向外.
取一条电力线为积分路径,电势差为
R2
U=⎰E⋅dl=⎰Edr⎰λ
L
L
=
dR1
2πεrr=
λ
2πεlnR2R.1
电容为C=
q2πεl
U=
ln(R.2/R1)
在真空时的电容为
Cq
2πε0l0=
U=
ln(R,2/R1)
所以倍数为C/C0=ε/ε0.
13.11在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质,相对介电常量为εr.设金属球带电Q0,求:
(1)介质层内、外D、E、P的分布;
(2)介质层内、外表面的极化电荷面密度.
[解答]
(1)在介质内,电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的.在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面,通过高斯面的电位移通量为
Φd=蜒⎰SD⋅dS=
⎰
S
DdS=4πr2D
高斯面包围的自由电荷为q=Q0,根据介质中的高斯定理Φd=q,可得电位为D=Q0/4πr2,方向沿着径向.用矢量表示为
D=Q0r/4πr3.
电场强度为
E=D/ε0εr=Q0r/4πε0εrr3,方向沿着径向.
由于D=ε0E+P,所以P=D-ε0E=(1-
1
ε)
Q0r
r
4πr
3
.在介质之外是真空,真空可当作介电常量εr=1的介质处理,所以
D=Q0r/4πr3,E=Q0r/4πε0r3,P=0.
(2)在介质层内靠近金属球处,自由电荷Q0产生的场为
E0=Q0r/4πε0r3;
极化电荷q1`产生的场强为
E`=q1`r/4πε0r3;
总场强为E=Q0r/4πε0εrr3.由于E=E0+E`,
解得极化电荷为q`=(11ε-1)Q0,
r
介质层内表面的极化电荷面密度为
`q`σ1
=14πR2=(1
-1)
Q0.1εr4πR2
1在介质层外表面,极化电荷为
q``2=-q1,
面密度为
σ`q`212
=4πR2=(1-ε)Q0
2
.2r4πR2
13.12两个电容器电容之比C1:
C2=1:
2,把它们串联后接电源上充电,它们的静电能量之比为多少?
如果把它们并联后接到电源上充电,它们的静电能之比又是多少?
[解答]两个电容器串联后充电,每个电容器带电量是相同的,根据静电能量公式W=Q2/2C,得静电能之比为
W1:
W2=C2:
C1=2:
1.两个电容器并联后充电,每个电容器两端的电压是相同的,根据静电能量公式W=CU2/2,得静电能之比为
W1:
W2=C1:
C2=1:
2.13.13一平行板电容器板面积为S,板间距离为d,接在电源上维持其电压为U.将一块厚度为d相对介电常量为εr的均匀介电质板插入电容器的一半空间内,求电容器的静电能为多少?
[解答]平行板电容器的电容为
C=ε0S/d,
当面积减少一半时,电容为C1=ε0S/2d;另一半插入电介质时,电容为C2=ε0εrS/2d.
两个电容器并联,总电容为
C=C1+C2=(1+εr)ε0S/2d,
静电能为
W=CU2/2=(1+εr)ε0SU2/4d.13.14一平行板电容器板面积为S,板间距离为d,两板竖直放着.若电容器两板
充电到电压为U时,断开电源,使电容器的一半浸在相对介电常量为εr的液体中.求:
(1)电容器的电容C;
(2)浸入液体后电容器的静电能;(3)极板上的自由电荷面密度.
[解答]
(1)如前所述,两电容器并联的电容为
C=(1+εr)ε0S/2d.
(2)电容器充电前的电容为C0=ε0S/d,充电后所带电量为Q=C0U.当电容器的一半浸在介质中后,电容虽然改变了,但是电量不变,所以静电能为
W=Q2/2C=C02U2/2C=ε0SU2/(1+εr)d.(3)电容器的一半浸入介质后,真空的一半的电容为C1=ε0S/2d;
介质中的一半的电容为C2=ε0εrS/2d.设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2,则
Q1+Q2=Q.①由于C=Q/U,所以
U=Q1/C1=Q2/C2.②解联立方程得
QC1Q
0U1=
CC+C=
C,121+2/C1
真空中一半电容器的自由电荷面密度为
σQ1
C0U2ε0U1=
2S/2=(1+CC=
.2/1)S(1+εr)d
同理,介质中一半电容器的自由电荷面密度为
σC0U2ε0εrU
2=
2(C=
.1/C2+1)S(1+εr)d
13.15平行板电容器极板面积为200cm2,板间距离为1.0mm,电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(εr=5).将电容器与300V的电源相连.求:
(1)维持两极板电压不变抽出玻璃板,电容器的能量变化为多少?
(2)断开电源维持板上电量不变,抽出玻璃板,电容器能量变化为多少?
[解答]平行板电容器的电容为
C0=ε0εrS/d,
静电能为W0=C0U2/2.玻璃板抽出之后的电容为
C=ε0S/d.
(1)保持电压不变抽出玻璃板,静电能为W=CU2/2,电能器能量变化为
ΔW=W-W0=(C-C0)U2/2=(1-εr)ε0SU2/2d=-3.18×10-5(J).
(2)充电后所带电量为Q=C0U,保持电量不变抽出玻璃板,静电能为
W=Q2/2C,
电能器能量变化为
∆W=W-WC0C0U2
0=(C-1)
2
=(εεrSU2
r-1)
ε02d
=1.59×10-4(J).
13.16设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b.试证明电容器能量的一半
储存在半径R=
[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ,场强为E=λ/2πε0r,能量密度为w=ε0E2/2,体积元为dV=2πrldr,能量元为dW=wdV.
在半径a到R的圆柱体储存的能量为
W=⎰wdV=⎰
ε0
V
V
2
E2dV
R
=⎰λ2lλ2la
4πεdr=lnR.
0r4πε0a当R=b时,能量为
Wλ2lb1=4πεln;
0a
当R=
Wλ2lλ2lb
2=4πε=ln,
08πε0a
所以W2=W1/2,即电容器能量的一半储存
在半径R=
13.17两个同轴的圆柱面,长度均为l,半径分别为a、b,柱面之间充满介电常量为ε的电介质(忽略边缘效应).当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时,求:
(1)在半径为r(a 整个薄壳层中总能量是多少? (2)电介质中总能量是多少(由积分算出)? (3)由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式? [解答] (1)圆柱形内柱面的电荷线密度为λ=Q/l, 根据介质是高斯定理,可知电位移为D=λ/2πr=Q/2πrl, 场强为E=D/ε=Q/2πεrl,能量密度为w=D·E/2=DE/2=Q2/8π2εr2l2. 薄壳的体积为dV=2πrldr,能量为dW=wdV=Q2dr/4πεlr. (2)电介质中总能量为 b W=⎰dW=⎰Q2Q2b a 4πεlrdr=4πεllna. V(3)由公式W=Q2/2C得电容为 C=Q22πεl 2W= ln(b/a) . 13.18两个电容器,分别标明为200PF/500V和300PF/900V.把它们串联起来,等效电容多大? 如果两端加上1000V电压,是否会被击穿? [解答]当两个电容串联时,由公式 111C2+C=C1 C+C= ,12C1C2 得C= C1C2 C=120PF. 1+C2 加上U=1000V的电压后,带电量为 Q=CU, 第一个电容器两端的电压为 U1=Q/C1=CU/C1=600(V); 第二个电容器两端的电压为 U2=Q/C2=CU/C2=400(V). 由此可知: 第一个电容器上的电压超过它的耐压值,因此会被击穿;当第一个电容器被击穿后,两极连在一起,全部电压就加在第二个电容器上,因此第二个电容器也接着被击穿.
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