学年黑龙江省大庆市实验中学高三数学上第二次月考理试题含答案.docx
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学年黑龙江省大庆市实验中学高三数学上第二次月考理试题含答案
大庆实验中学高三上学期第二次月考数学(理)试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题的说法错误的是( )
A.对于命题
则
.
B.“
”是”
”的充分不必要条件.
C.“
”是”
”的必要不充分条件.
D.命题”若
,则
”的逆否命题为:
”若
,则
”.
2.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A.2B.
C.
D.
3.已知函数
没有零点,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
4.设
存在导函数且满足
,则曲线
上的点
处的切线的斜率为( )
A.﹣1B.﹣2C.1D.2
5.已知数列
,以下两个命题:
①若
都是递增数列,则
都是递增数列;
②若
都是等差数列,则
都是等差数列;
下列判断正确的是( )
A.①②都是真命题B.①②都是假命题
C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题
6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )
A.
B.
C.
D.
7.若
,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如果圆
上总存在到原点的距离为
的点,则实数
的取值范围是( )
A.(﹣3,﹣1)∪(1,3)B.(﹣3,3)C.[﹣1,1]D.[﹣3,﹣1]∪[1,3]
9.杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,如图是三角形数阵,记
为图中第
行各个数之和,则
的值为( )
A.528B.1020C.1038D.1040
10.有以下三种说法,其中正确的是 ( )
①若直线
与平面
相交,则
内不存在与
平行的直线;
②若直线
//平面
,直线
与直线
垂直,则直线
不可能与
平行;
③直线
满足
∥
,则
平行于经过
的任何平面.
A.①②B.①③C.②③D.①
11.以
为中心,
为两个焦点的椭圆上存在一点
,满足
,则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
12.已知
,若
,则当
取得最小值时,
所在区间是( )
A.
B.
C.
D.
二.填空题:
(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如果复数
的实部和虚部互为相反数,则
等于 .
14.若向量
满足
=2
=2,|
|=2
,则向量
的夹角为__.
15.已知抛物线
,焦点为
,
为平面上的一定点,
为抛物线上的一动点,则
的最小值为_______________。
16.已知函数
,其中
,若
在区间
上单调递减,则
的最大值为__________.
三.解答题:
(本大题共6小题,共70分)
17.(本题满分10分)已知等差数列
和等比数列
满足
.
(1)求
的通项公式;
(2)求和:
.
18.(本题满分12分)已知函数
.
(1)求
的单调递增区间;
(2)设△
为锐角三角形,角
所对边
,角
所对边
,若
,求△
的面积.
19.(本题满分12分)已知曲线
的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
的参数方程是
(
是参数)
(1)将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线
与曲线
相交于
两点,且
,求直线的倾斜角
的值.
20.(本题满分12分)如图所示,在三棱柱
中,
为正方形,
为菱形,
.
(1)求证:
平面
⊥平面
;
(2)若
是
中点,∠
是二面角
的平面角,求直线
与平面
所成角的正弦值.
21.(本题满分12分)已知椭圆
的上下两个焦点分别为
,过点
与
轴垂直的直线交椭圆
于
两点,△
的面积为
,椭圆
的离心率为
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)已知
为坐标原点,直线
与
轴交于点
,与椭圆
交于
两个不同的点,若存在实数λ,使得
+λ
=4
,求
的取值范围.
22.(本题满分12分)已知函数
,其中
=2.71828…为自然数的底数.
(1)当
时,讨论函数
的单调性;
(2)当
时,求证:
对任意的
,
.
大庆实验中学高三上学期第二次月考
数学(理)参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
A
D
A
D
D
D
D
C
B
二、填空题
13、014、
15、1216、
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)等差数列{an},a1=1,a2+a4=10,可得:
1+d+1+3d=10,解得d=2,
所以{an}的通项公式:
an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.……………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a5=a1+4d=9,
等比数列{bn}满足b1=1,b2b4=9.可得b3=3,或﹣3(舍去)(等比数列奇数项符号相同).
∴q2=3,
{b2n﹣1}是等比数列,公比为3,首项为1.
b1+b3+b5+…+b2n﹣1=
=
.……………………10分
18、解:
(1)函数f(x)=cos2x﹣sin2x+
=cos2x+
,x∈(0,π),
由2kπ﹣π≤2x≤2kπ,解得kπ﹣
π≤x≤kπ,k∈Z,……………………4分
k=1时,
π≤x≤π,……………………5分
可得f(x)的增区间为[
,π);……………………6分
(2)设△ABC为锐角三角形,
角A所对边a=
,角B所对边b=5,
若f(A)=0,即有cos2A+
=0,
解得2A=
π,即A=
π,……………………8分
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA,
化为c2﹣5c+6=0,
解得c=2或3,
若c=2,则cosB=
<0,
即有B为钝角,c=2不成立,
则c=3,……………………10分
△ABC的面积为S=
bcsinA=
×5×3×
=
. ……………………12分
19.解:
(1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,
∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:
ρ2=4ρcosθ,
∴x2+y2=4x,……………………5分
∴(x﹣2)2+y2=4.
(2)将
代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4得:
(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,
化简得t2﹣2tcosα﹣3=0.……………………7分
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,
则
,
∴|AB|=|t1﹣t2|=
=
,
∵|AB|=
,
∴
=
.
∴cos
.……………………10分
∵α∈[0,π),
∴
或
.
∴直线的倾斜角
或
.……………………12分
20、解:
(Ⅰ)证明:
连接BC1,因为BB1C1C为菱形,
所以B1C⊥BC1,又B1C⊥AC1,AC1∩BC1=C1,
所以B1C⊥面ABC1.故B1C⊥AB.
因为AB⊥BB1,且BB1∩BC1,所以AB⊥面BB1C1C.
而AB⊂平面ABB1A1,所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;……………………5分
(Ⅱ)因为∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角,
所以BD⊥CC1,又D是CC1中点,
所以BD=BC1,所以△C1BC为等边三角形.
如图所示,分别以BA,BB1,BD为x,y,z轴建立空间直角坐标系,……………………7分
不妨设AB=2,则A(2,0,0),
,
,
).
设
是平面ABC的一个法向量,则
,即
,
取z=1得
.
所以
=
,
所以直线AC1与平面ABC所成的正弦值为
.……………………12分
21.解:
(Ⅰ)根据已知设椭圆的焦距2c,当y=c时,|MN|=|x1﹣x2|=
,
由题意得,△MNF2的面积为
|MN|×|F1F2|=c|MN|=
,
又∵
,解得b2=1,a2=4,
椭圆C的标准方程为:
x2+
.……………………4分
(Ⅱ)当m=0时,则P(0,0),由椭圆的对称性得
,
∴m=0时,存在实数λ,使得
+λ
=4
,……………………6分
当m≠0时,由
+λ
=4
,得
,
∵A、B、p三点共线,∴1+λ=4,⇒λ=3⇒
设A(x1,y1),B(x2,y2)
由
,得(k2+4)x2+2mkx+m2﹣4=0,
由已知得△=4m2k2﹣4(k2+4)(m2﹣4)>0,即k2﹣m2+4>0
且x1+x2=
,x1x2=
.
由
得x1=﹣3x2……………………8分
3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴
,⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0
显然m2=1不成立,∴
……………………10分
∵k2﹣m2+4>0,∴
,即
.
解得﹣2<m<﹣1或1<m<2.
综上所述,m的取值范围为(﹣2,﹣1)∪(1,2)∪{0}……………………12分
22.解:
(1)当a=0时,f(x)=ex(sinx﹣e),
则f′(x)=ex(sinx﹣e)+excosx=ex(sinx﹣e+cosx),
∵sinx+cosx=
sin(x+
)≤
<e,
∴sinx+cosx﹣e<0
故f′(x)<0
则f(x)在R上单调递减.……………………4分
(2)当x≥0时,y=ex≥1,
要证明对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.
则只需要证明对任意的x∈[0,+∞),sinx﹣ax2+2a﹣e<0.
设g(a)=sinx﹣ax2+2a﹣e=(﹣x2+2)a+sinx﹣e,
看作以a为变量的一次函数,
要使sinx﹣ax2+2a﹣e<0,
则
,即
,……………………6分
∵sinx+1﹣e<0恒成立,∴①恒成立,……………………8分
对于②,令h(x)=sinx﹣x2+2﹣e,
则h′(x)=cosx﹣2x,
设x=t时,h′(x)=0,即cost﹣2t=0.
∴t=
,sint<sin
,
∴h(x)在(0,t)上,h′(x)>0,h(x)单调递增,在(t,+∞)上,h′(x)<0,h(x)单调递减,
则当x=t时,函数h(x)取得最大值h(t)=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣(
)2+2﹣e
=sint﹣
+2﹣e=
sin2t+sint+
﹣e=(
+1)2+
﹣e≤(
)2+
﹣e=
﹣e<0,
故④式成立,
综上对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.……………………12分
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