数值计算方法I实验报告作业.docx
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数值计算方法I实验报告作业
重庆交通大学学生实验报告
实验课程名称数值计算方法I
开课实验室数学实验室
学院理学院年级12专业班信息与计算科学1班学生姓名浦中正学号631222020101开课时间2012至2013学年第_2_学期
评分细则
评分
报告表述的清晰程度和兀整性(20分)
程序设计的正确性(40分)
实验结果的分析(30分)
实验方法的创新性(10分)
总成绩
教师签名
实验一误差分析
试验1.1(病态问题)
问题提出:
考虑一个高次的代数多项式
20
p(x)=(x-1)(x-2)(x-20)岂|(x-k)(1.1)
k4
显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个,且每个根都是单重的。
现考虑该多项
式的一个扰动
19
p(x);x=0(1.2)
其中;是一个非常小的数。
这相当于是对(1.1)中x19的系数作一个小的扰动。
我们
希望比较(1.1)和(1.2)根的差别,从而分析方程(1.1)的解对扰动的敏感性。
实验内容:
为了实现方便,我们先介绍两个MATLAB函数:
“roots"和"poly”。
u=roots(a)
其中若变量a存储n+1维的向量,则该函数的输出u为一个n维的向量。
设a的元素
依次为a「a2,…,a.1,则输出u的各分量是多项式方程
n丄n4丄■…丄丄
a1xa2x亠亠anxan0
的全部根;而函数
b=poly(v)
的输出b是一个n+1维向量,它是以n维向量v的各分量为根的多项式的系数。
可见
“roots"和"poly"是两个互逆的运算函数。
ess二0.000000001;
ve=zeros(1,21);
ve
(2)=ess
roots(poly(1:
20)ve)
上述简单的MATLAB程序便得到(1.2)的全部根,程序中的“ess”即是(1.2)
中的;。
实验要求:
(1)选择充分小的ess,反复进行上述实验,记录结果的变化并分析它们。
如果扰动项的系数;很小,我们自然感觉(1.1)和(1.2)的解应当相差很小。
计算中你有什么出乎意料的发现?
表明有些解关于如此的扰动敏感性如何?
(2)将方程(1.2)中的扰动项改成;x18或其它形式,实验中又有怎样的现象?
(3)(选作部分)请从理论上分析产生这一问题的根源。
注意我们可以将方程
(1.2)写成展开的形式,
2019
p(x,:
)=x—:
x19叮-0(1.3)
同时将方程的解X看成是系数:
的函数,考察方程的某个解关于:
的扰动是否敏感,与研究它关于:
的导数的大小有何关系?
为什么?
你发现了什么现象,哪些根关于〉的变化更敏感?
实验过程:
对ess取不同的值,带入函数得出相同i的情况下,结果的差异;
对i取不同的值,带入函数得出相同ess的情况下,结果的不同。
程序:
functioneffect(ess)ve=zeros(1,21);
ve
(2)=ess;formatshortroots(poly(1:
20)+ve)
实验结果:
ans
0.000001
0.0000001
0.00000001
0.000000001
0.0000000001
2
21.3025+
20.4220+
19.8692+
19.9513
19.9952
1.5672i
0.9992i
0.4830i
19.2322
19.0330
21.3025-
20.4220-
19.8692-
17.6604+
17.8638
1.5672i
0.9992i
0.4830i
0.7003i
17.2299
18.5028+
18.1572+
17.8767+
17.6604-
15.5044+
3.6004i
2.4702i
1.5257i
0.7003i
0.1556i
18.5028-
18.1572-
17.8767-
15.4537+
15.5044-
3.6004i
2.4702i
1.5257i
0.8891i
0.1556i
15.1651+
15.3147+
15.4031+
15.4537-
13.6984
3.7612i
2.6987i
1.7507i
0.8891i
13.2332
15.1651-
15.3147-
15.4031-
13.3455+
11.9006
3.7612i
2.6987i
1.7507i
0.4972i
11.0500
12.4866+
12.8460+
13.1302+
13.3455-
9.9829
2.8828i
2.0622i
1.2796i
0.4972i
9.0050
12.4866-
12.8460-
13.1302-
11.8733
7.9989
2.8828i
2.0622i
1.2796i
11.0239
7.0002
10.5225+
10.9206+
11.2511+
10.0014
6.0000
1.7196i
1.1013i
0.4806i
8.9984
5.0000
10.5225-
10.9206-
11.2511-
8.0004
4.0000
1.7196i
1.1013i
0.4806i
6.9999
3.0000
9.0448+
9.5767
9.9302
6.0000
2.0000
0.5947i
9.1074
9.0101
5.0000
1.0000
9.0448-
7.9948
7.9990
4.0000
0.5947i
7.0001
7.0001
3.0000
7.9489
6.0000
6.0000
2.0000
7.0025
5.0000
5.0000
1.0000
6.0000
4.0000
4.0000
5.0000
3.0000
3.0000
4.0000
2.0000
2.0000
3.0000
1.0000
1.0000
2.0000
1.0000
3
20.2296+
19.7653+
19.9765
19.9976
19.9994
0.8314i
0.2995i
19.1384
19.0177
19.0055
20.2296-
19.7653-
17.6369+
17.9330
17.9744
0.8314i
0.2995i
0.5206i
17.1227
17.0653
18.1285+
17.8425+
17.6369-
15.8172
15.8551
2.1925i
1.3013i
0.5206i
15.1710
15.1864
18.1285-
17.8425-
15.4896+
13.9089
13.7981
2.1925i
1.3013i
0.7750i
13.0372
13.1723
15.4044+
15.4531+
15.4896-
11.9976
11.9091
2.5140i
1.5826i
0.7750i
10.9944
11.0465
15.4044-
15.4531-
13.3819+
10.0038
9.9846
2.5140i
1.5826i
0.5003i
8.9987
9.0041
12.9354+
13.1873+
13.3819-
8.0003
7.9992
1.9888i
1.1911i
0.5003i
7.0000
7.0001
12.9354-
13.1873-
11.8068
6.0000
6.0000
1.9888i
1.1911i
11.0737
5.0000
5.0000
10.9628+
11.2774+
9.9859
4.0000
4.0000
1.0902i
0.4266i
9.0022
3.0000
3.0000
10.9628-
11.2774-
7.9998
2.0000
2.0000
1.0902i
0.4266i
7.0000
1.0000
1.0000
9.5623
9.9429
6.0000
9.1226
9.0061
5.0000
7.9934
8.0000
4.0000
7.0003
6.9999
3.0000
6.0000
6.0000
2.0000
5.0000
5.0000
1.0000
4.0000
4.0000
3.0000
3.0000
2.0000
2.0000
1.0000
1.0000
4
19.8184
19.9881
19.9984
20.0002
20.0002
19.5494
19.0816
19.0139
18.9979
18.9987
17.8047+
17.6096+
17.9374
18.0104
18.0038
1.0917i
0.3292i
17.1353
16.9680
16.9952
17.8047-
17.6096-
15.6615
16.0585
15.9995
1.0917i
0.3292i
15.3816
14.9185
15.0117
15.4956+
15.5064+
13.6778
14.0786
13.9791
1.4207i
0.6411i
13.2631
12.9473
13.0207
15.4956-
15.5064-
11.8919
12.0286
11.9868
1.4207i
0.6411i
11.0513
10.9894
11.0058
13.2439+
13.4056+
9.9847
10.0031
9.9985
1.1128i
0.4138i
9.0038
8.9993
9.0002
13.2439-
13.4056-
7.9993
8.0001
8.0000
1.1128i
0.4138i
7.0001
7.0000
7.0000
11.3003+
11.8365
6.0000
6.0000
6.0000
0.4128i
11.0604
5.0000
5.0000
5.0000
11.3003-
9.9888
4.0000
4.0000
4.0000
0.4128i
9.0014
3.0000
3.0000
3.0000
9.9340
8.0000
2.0000
2.0000
2.0000
9.0099
7.0000
1.0000
1.0000
1.0000
7.9992
6.0000
7.0000
5.0000
6.0000
4.0000
5.0000
3.0000
4.0000
2.0000
3.0000
1.0000
2.0000
1.0000
5
19.9948
19.9998
20.0003
20.0002
20.0002
19.0405
19.0013
18.9976
18.9987
18.9987
17.7775
17.9951
18.0083
18.0038
18.0038
17.3662
17.0102
16.9825
16.9952
16.9952
15.5112+
15.9866
16.0228
15.9995
15.9995
0.4154i
15.0100
14.9808
15.0117
15.0117
15.5112-
13.9989
14.0104
13.9791
13.9791
0.4154i
12.9933
12.9970
13.0207
13.0207
13.4374+
12.0089
12.0005
11.9868
11.9868
0.1797i
10.9933
10.9994
11.0058
11.0058
13.4374-
10.0034
10.0007
9.9985
9.9985
0.1797i
8.9988
8.9995
9.0002
9.0002
11.8905
8.0003
8.0002
8.0000
8.0000
11.0414
6.9999
7.0000
7.0000
7.0000
9.9903
6.0000
6.0000
6.0000
6.0000
9.0020
5.0000
5.0000
5.0000
5.0000
7.9997
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
7.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
6.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
5.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
4.0000
3.0000
2.0000
1.0000
6
20.0007
20.0002
20.0002
20.0002
20.0002
18.9932
18.9987
18.9987
18.9987
18.9987
18.0283
18.0038
18.0038
18.0038
18.0038
16.9158
16.9952
16.9952
16.9952
16.9952
16.1375
15.9995
15.9995
15.9995
15.9995
14.7973
15.0117
15.0117
15.0117
15.0117
14.1994
13.9791
13.9791
13.9791
13.9791
12.8695
13.0207
13.0207
13.0207
13.0207
12.0816
11.9868
11.9868
11.9868
11.9868
10.9679
11.0058
11.0058
11.0058
11.0058
10.0111
9.9985
9.9985
9.9985
9.9985
8.9973
9.0002
9.0002
9.0002
9.0002
8.0005
8.0000
8.0000
8.0000
8.0000
6.9999
7.0000
7.0000
7.0000
7.0000
6.0000
6.0000
6.0000
6.0000
6.0000
5.0000
5.0000
5.0000
5.0000
5.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
7~21
20.0002
20.0002
20.0002
20.0002
20.0002
18.9987
18.9987
18.9987
18.9987
18.9987
18.0038
18.0038
18.0038
18.0038
18.0038
16.9952
16.9952
16.9952
16.9952
16.9952
15.9995
15.9995
15.9995
15.9995
15.9995
15.0117
15.0117
15.0117
15.0117
15.0117
13.9791
13.9791
13.9791
13.9791
13.9791
13.0207
13.0207
13.0207
13.0207
13.0207
11.9868
11.9868
11.9868
11.9868
11.9868
11.0058
11.0058
11.0058
11.0058
11.0058
9.9985
9.9985
9.9985
9.9985
9.9985
9.0002
9.0002
9.0002
9.0002
9.0002
8.0000
8.0000
8.0000
8.0000
8.0000
7.0000
7.0000
7.0000
7.0000
7.0000
6.0000
6.0000
6.0000
6.0000
6.0000
5.0000
5.0000
5.0000
5.0000
5.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
4.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
3.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
2.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
实验分析:
(1)对于同一项即(i=21,20,19,18,…)的扰动,随着扰动系数的减小,扰动也越来
越小
(2)当相同的扰动系数作用于不同的项式,随着幕数的降低,扰动越来越小,扰动
的项的幕数越高,扰动越敏感,误差越大。
实验总结:
通过本次试验,了解了病态问题的产生原因和产生的影响。
在以后的学习中,对于病态问题的处理应该给予相当大的重视。
实验二插值法
实验2.1(多项式插值的振荡现象)
问题提出:
考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日
插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多
项式的次数增加时,Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格(Runge)
Xi
重复上述的实验看其结果如何。
(3)区间[a,b]上切比雪夫点的定义为
'(2k-1)兀
s
l2(n+1)
以X1,X2,…Xn・1为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式,比较其结果
实验2.2(样条插值的收敛性)
问题提出:
多项式插值是不收敛的,即插值的节点多,效果不一定就好。
对样条函数插值又如何呢?
理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的,但通过本实验可以验证这一理论结果。
实验内容:
请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点,并不
断增加插值节点的个数。
考虑实验2.1中的函数或选择其他你有兴趣的函数,可以用MATLAB的函数“spline”作此函数的三次样条插值。
实验要求:
(1)随节点个数增加,比较被逼近函数和样条插值函数误差的变化情况。
分析所得结果并与拉格朗日多项式插值比较。
(2)样条插值的思想是早产生于工业部门。
作为工业应用的例子考虑如下问题:
某汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线,其中一段的数据如下:
Xk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yk
0.01
0.79
1.53
2.19
2.71
r3.03]
3.27
2.89
3.06
3.19
[3.29
yk'
0.8
0.2
思考题一:
(二维插值)
在一丘陵地带测量高程,x和y方向每隔100米测一个点,得高程数据如下。
试用MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值,并由此找出最高点和该点的高程。
yf^—x.
100
200
300
400
100
:
636
697
624
478
200
698
712
630
478
300
:
680
674
598
412「
400
662
626
552
334
相关MATLAB函数提示:
plot(x,y)
作出以数据(x(i),y(i))为节点的折线图,其中x,y为同长度的向量
subplot(m,n,k)yi=interp1(x,y,xi)pp=spline(x,y)
将图形窗口分为m*n个子图,并指向第k幅图根据数据(x,y)给出在xi的分段线性插值结果yi返回样条插值的分段多项式(pp)形式结构
pp=csape(x,y,'边界类型’,’边界值’)生成各种边界条件的三次样条插值
yi=ppval(pp,xi)
pp样条在xi的函数值
ZI=interp2(x,y,z,xi,yi)x,xi为行向量,y,yi为列向量,z为矩阵的双线性二维插值
ZI=interp2(…,'spline')使用二元三次样条插值
Zl=griddata(x,y,z,xi,yi)x,y,z均为向量(不必单调)表示数据,xi,yi为网格向量
的三角形线性插值(不规则数据的二维插值)
实验过程:
牛顿插值源程序:
functiony=j(xx,k)
n=length(xx);
s=1;
form=1:
n
ifm~=k
s=s*(xx(k)_xx(m));
end
end
y=s;
均差函数
functionjj=juncha(xO,yO)
jj
(1)=y0
(1);
n=length(x0);
form=2:
n
s=0;
formm
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