《一次函数与反比例函数的综合应用》教学设计.docx
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《一次函数与反比例函数的综合应用》教学设计
广东省中考数学总复习专题复习代数综合题
《一次函数与反比例函数的综合应用》教学设计
一、教学背景分析1、教学内容分析
一次函数和反比例函数综合应用题是广东省中考题的热点问题。
函数综合题一般以一次函数或反比例函数为主线,利用函数的图象与性质,结合函数的图象信息和点在函数图象上
考试内容
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
一次函数与反比例函数
的综合题
第17题
第10题
第23题
第23题
第23题
第7题
第16题
中考命题辨
析
近几年中考以考查待定系数法及一次函数、反比例函数的图象和性质为主,
重点关注一次函数、反比例函数、二次函数、几何知识的综合运用。
(即点的坐标满足函数的表达式)来进行求解等。
这类综合压轴题型,通过专题复习训练,学生是能够掌握的综合题之一。
广东省近几年数学中考中一次函数与反比例函数综合题的考查情况如下表:
2、学生学情分析
本节课是中考总复习的第二轮专题复习,第一轮已复习了一次函数、反比例函数的图象和性质等基础知识,学生已经具备了解决简单问题的能力。
3、地位及其作用
一次函数与反比例函数的综合题蕴含着重要的数学思想和方法,可以考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想,能较全面地反映学生的综合能力和有较好的区分度,因此是全国各地中考的热点题型,压轴题的主要来源,并且长盛不衰,年年都有新花样。
此外,它与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式、二次函数等数学知识有着密切的联系,也是学生今后进一步学习初、高中其它函数和高中解析几何中的曲线方程的基础,同时还在生活实际中有着极为广泛的应用,对学生基本数学思想和素养的形成有很好的促进作用。
二、教学设计理念
根据基础教育课程改革的具体目标,结合广东省中考数学题型的实际情况,改变以往复
习课程过于注重知识传授与题海战术的倾向,强调形成积极主动的学习态度,关注学生的学习兴趣和体验,实施探究式教学,在教学过程中放手让学生在数学活动中通过经历、体验、内化,从而使数学知识具有生长性。
在具体的教学过程中,利用变式训练、启发式教学手段,加深学生对函数性质的理解及应用,促进学生函数建模、数形结合等数学思想方法及数学素养的形成。
三、教学目标
(一)、知识与技能:
1、理解和掌握一次函数与反比例函数的表达式,图象及其性质。
2、能熟练运用待定系数法求函数的表达式;利用联立方程组思想求交点坐标;数形结合的思想求变量取值范围,转化思想等方法解决函数综合应用题。
(二)、过程与方法:
1、通过对零散知识点运用思维导图进行系统梳理,让学生对一次函数、反比例函数的知识体系结构化。
2、通过本节课的学习探究,进一步熟练解决函数综合问题的策略及解题技巧。
3、使学生进一步体会“函数思想”、“数形结合”及“转化思想”,强化数学思想意识。
(三)、情感态度与价值观:
1、调动学生参与数学活动的积极性,引导学生在解决问题中反思,归纳解决问题的方法与技巧。
2、培养学生在学习过程中主动参与、合作、交流的意识,体验运用所学知识成功解决问题的喜悦,在问题解决过程中培养学生数学学习的兴趣和信心。
四、教学重点、难点1、教学重点:
提高运用一次函数与反比例函数的图象与性质解决实际问题的能力。
2、教学难点:
熟练运用待定系数法,方程思想,数形结合及转化思想等方法求解问题的综合能力。
3、解题的策略分析:
常考查的题型是用待定系数法求一次函数和反比例函数的表达式;利用联立方程组思想求一次函数与反比例函数图象的交点问题,数形结合的思想求变量取值范围;运用方程与转化思想求与直角坐标系构成的三角形面积问题等等。
解题的关键是灵活运用所学知识找到解题思路,建立或构造建立变量之间的函数关系,把问题转化为相应的函数问题,结合图形,
学会用“分类讨论”、“转化”等数学思想思考并解决问题。
五、教学过程设计
设计意图:
分析近几年广东省中考题考查本节课内容的情况,让学生了解本考点的考法,激发学生的学习动机和热情,引发学生的思考,激发学生的求知欲。
第一环节情境引入
(预设时间:
1分钟)
(一)教学流程设计
设计意图:
让学生用思维导图整理构建完善的知识体系,积极主动地参与到教学活动中来。
对重要的知识
点进行板书,复习巩固,起到强化知识点的作用。
第二环节知识梳理,复习巩固
(预设时间:
5分钟)
设计意图:
直接用全国各省中考真题作为例题,用了3
个引例作为辅例题,例题4为主例题,安排呈梯度设计,由易到难,鼓励学生,树立能学好的自信心;通过例题的学习,熟练本节课的知识点及综合运用题型,突破中考考点,使学生掌握解题的方法(尤其是通性
通法),总结规律,提高解题速度和综合运用的能力。
第三环节典例探究,总结规律
(预设时间:
18分钟)
第四环节变式训练,
设计意图:
让学生独立完成后,与小组同学分享讨论,
能力提升
达到优化解题方法,提高解题速度的目的。
设计变式
(预设时间:
17分钟)
训练题,还可以帮助学生巩固所学知识和解题方法,
促进学生解题能力的提高,让学生体验成功的喜悦。
设计意图:
鼓励学生用自己的语言进行小结归纳知
识点与解题方法,加深对所学知识的理解与内化,提高学生的组织、表达能力和解题能力。
第五环节课堂小结与反思(预设时间:
3分钟)
设计意图:
让学生巩固本节课所学的知识,题型呈梯度设计,由易到难,使不同层次的学生均有机会获得不同层次的提高。
第六环节布置课后作业(预设时间:
1分钟)
(二)教学过程设计
教学环节
设计的问题及活动
学生活动
教师活动
设计目的
【活动一】
1、了解一次函数与反比例函数综合题在中考中的重要性及考查的题型。
2、广东省近几年数学中考中一次函数与反比例函数综合题的考查情况表:
年份2012年2013年2014年
题号第17题第10题第23题
1、学生听
1、教师在此活动中,要重点关注的是:
(1)问题的提出是否引起了学生的兴趣;
(2)学生
是否高度重视,有主动积极参与到活动中来,有种跃跃欲试的感觉。
教师对本
节课内容
让学生了
在中考中
解本考点
(一)
考查的情
的考法,
情境
况分析,并
激发学生
引入
思考。
的学习动
预设时间:
2015年2016年2017年2018年
第23题第23题第7题第16题
机和热情,引发
学生的思
1分钟
中考命题辨析:
考,激发
近几年中考以考查待定系数法及一次函
学生的求
数、反比例函数的图象和性质为主,重点关
知欲。
注一次函数、反比例函数、二次函数、几何
知识的综合运用。
(二)
【活动二】
1、一次函数与反比例函数的表达式;
2、一次函数与反比例函数的图象及性质;
3、反比例函数的对称性问题;
4、反比例函数K的几何意义。
设P(x,y)是反比例函数y=k图象上任
x
一点,过点P作x轴、y轴的垂线,垂足为A,
则:
(1)△OPA的面积=1OA.PA=1xy=1k.
222
1、让学生
知识
1、学生思
1、教师提
根据思维
梳理,
考并回答
出问题,
导图自己
复习
活动二设
和学生一
整理构建
巩固
计的相关
起回顾知
知识体
问题。
识点并对
系,积极
预设
重要的知
主动地参
时间:
2、完善导
识点进行
与到教学
5分钟
学案的思
板书。
活动中
维导图。
来。
2、对于重
矩形OAPB的面积=OA.PA=xy=k。
(2)并且无论P怎样移动,△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。
如:
矩形PCEF面积=4k,平行四边形
PDEA面积=2k
y
BPCBP
OADOAx
EF
要的知识点进行板书引起学生的注意,特别是反比例函数K的几何意义,起到强化知识点作用。
(三)典例探究,总结
规律
预设
时间:
18分钟
【活动三】
引例1:
(2013年广东省中考题)已知
k1<0 x 图象大致是(A) 解析: 直线与y轴的交点为(0,-1),故排除B、D,又k2>0,双曲线在一、三象限;所以,选A。 归纳小结: 一次函数的图象与反比例函数的图象的性质取决于系数的值,同样由函数图象性质,反过来也可以确定系数的符号,要熟练并灵活运用函数的这些性质。 1、引例1是一道基础题,考查一次函数与反比例函数图象,由学生独立完成。 1、教师利用对话教学,引导学生展示自己的解题思路。 1、直接用广东省数学中考题作为例题,题目安排呈梯度设计,由易到难,鼓励学生,树立他们的能学好的自信心。 2、检查巩固一次函 (三)典例探究,总结 规律 预设 时间: 18分钟 引例2: (2011年贵州贵阳中考题)如图,反 k1 比例函数y1=x和正比例函数y2=k2x的图象 k1 交于A(-1,-3)、B(1,3)两点,若x>k2x, 则x的取值范围是(C)A、-1<x<0 B、-1<x<1 C、x<-1或0<x<1D、-1<x<0或x>1 k1 解析: 根据题意,若x>k2x,则只须y1>y2, 又知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点,从图象上可以看出当x<-1或0<x<1时y1>y2,故选C. 归纳小结: 这里体现了数形结合的思想;根据题意知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点,只须y1>y2,在图象上找到反比例函数图象在正比例函数图象上方x的取值范围。 引例3: (2011年湖北黄冈中考题)如图: 点A在双曲线y=k上, x AB⊥x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=2,则k=-4 追问1: 如果引例3中,图象只在第一象限有, 2、学生运用函数图象及其性质,利用数形结合解答本题;并归纳小结解题方法。 3、引例3和追问1,追问2都是考查反比例函数K值的几何意义;学生独 2、教师利用多媒体课件演示,让学生数形结合,直观地观察,得出答案。 3、在学生完成引例3时,教师适时地进行追问其他情 数与反比例函数的基本知识,及综合运用题型,突破中考考点。 3、设计了 2个追问题,进一步巩固学生对K的几何意义的理解, 如: 已知如图,A是反比例函数y=k的图像 x 上的一点,AB⊥x轴于点B,且△ABO的面积是S△AOB=2,则k的值是4 追问2: 如果引例3中,没有给出图形呢,如: 已知点A在双曲线y=k(K≠0)的图象 x 上,过点A作AB⊥x轴于B,且△AOB的面积为S△AOB=2,则k=4或-4 归纳小结: 根据反比例函数K值得几何意义: 在反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形 面积都是1K,且保持不变,K的符号则有图 2 象所在的象限而定,如果没有图象,则考虑两种情况都有可能。 例题4: (2015年广东省中考题)如图,反比例函数y=k(k≠0,x>0)的图象与直线 x y=3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作 AB⊥x轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD. (1)求k的值; (2)求点C的坐标; (3)在y轴上确实一点M,使点M到C、D两点距离之和 立完成引例3,在教师的追问下解答追问1和追问 2题;并归纳解题方法。 4、先让学生独立思考,然后让学生小组交流,在此基础上,再让学生充分地发表自己的解题思路,解 况,让学生进行解答。 4、教师要给足够的时间让学生去思考,讨论;教师巡视课堂,观 从而达到灵活运用,得出规律。 4、通过例题的探究学习,使学生掌握这类综合题型的解 d=MC+MD,求点M的坐标. 解题思路分析: 本题是以一次函数与反比例函数的图象交点问题为背景,考查学生利用轴对称求最短路线问题; (1)根据点A的坐标以及AB=3BD,先求出点D的坐标,在代入反比例函数表达式即可求出K的值。 (2)点C是直线与反比例函数图象的交点,由直线与反比例函数的表达式联立方程组即可以求出C点坐标。 (3)由“将军饮马问题”受到启发,作点D关于y轴的对称点E,连接CE交y轴与点M,则d=MC+MD最小,得到E(-1,1),用待定系数法可求得直线CE的表达式,则直线与y轴的交点即为所求。 解: (1)∵A(1,3), ∴OB=1,AB=3,又AB=3BD, ∴BD=1, ∴D(1,1),即k=1⨯1=1; (2)由 (1)知反比例函数的解析式为y=1, x (3)如图,作点D关于y轴对称点E,则E(-1,1),连接CE交y轴于点M,即为所求. 设直线CE的解析式为y=kx+b, 题方法。 学生可以用流程图的方式表达解题思路,如 (1): 5、在教师的引导下,学生反思学习过程,归纳小结解题方法及注意事项。 察学生的学习活动,及时给与帮助与鼓励。 5、运用多媒体课件讲解、展示解题过程。 题技巧,通过独立思考和小组讨论,优化解题思路,提高解题速度和综合运用的能力。 ∴直线CE的解析式为y=(23-3)x+23-2, 当x=0时,y=23-2, ∴点M的坐标为(0,23-2). 【活动四】 针对引例题1类型的变式训练题: 1、(2011年湖南怀化中考题)正比例函数 y=2x与反比例函数y=-1在同一坐标系中的 x 大致图像是(B) 2、(2017湖南张家界中考题)在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m(m≠0)与y=m x m≠0)的图象可能是(D) 针对引例题2类型的变式训练题: 3、(2011年浙江杭州中考题)函数y1=x-1和 函数y=2的图象相交于点M(2,m),N(-1, 2X n),若y1>y2,则x的取值范围是(D)A.x<-1或0 1、教师巡 1、学生独 视课堂, 立完成变 帮助有需 1、由浅 (四) 式训练,能 要的学 入深的练 变式 力提升题。 生,鼓励 习和灵活 训练, 学生展示 的变式练 能力 自己的解 习,能够 提升 2、让已完 题思路和 强化本节 成的学生 技巧,并 课所学知 预设 进行互评, 做好点 识,进一 时间: 互相帮助, 评。 步提升学 17分 钟 共同提高, 生的解题 突破中考 能力 考点。 2、让学生 独立完成 后,同学 之间互相 学习他人 (四)变式训练,能力 提升 预设 时间: 17分钟 C.-1 针对引例题3类型的变式训练题: 4、(2010年湖北孝感中考题)如图,点A 在双曲线y=1上,点B在双曲线y=3上, xx 且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD的面积为矩形,则它的面积为2. 针对主讲例题4类型的变式训练题: 5、(2014年广东省中考题)已知A B(-1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数 y=m(m≠0,m<0)图象的两个交点,AC x ⊥x轴于C,BD⊥y轴于D。 (1)根据图象直接回答: 在第二象限内,当 x取何值时,一次函数大于反比例函数的值? (2)求一次函数解析式及m的值; (3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标。 解题思路分析: (1)根据一次函数图象在反比例函数图象 上方的部分是不等式的解,观察图象,数形 的解题方法和技巧,提升中考解题速度,同时,鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的归纳组织能力。 3、设计变式训练题,帮助学生巩固所学知识,促进学生解题能力的提高,赢得中考胜利 结合可得答案; (2)根据待定系数法,可得一次函数解析式以及m的值; (3)设P的坐标为(x,1x+5),如图, 22 由A、B的坐标可知AC=,OC=4,BD=1,OD=2,易知: △PCA的高为x+4, △PDB的高2-(1x+5),由△PCA和△PDB面 22 积相等,可得答案。 解: (1)由图象,当-4 (3)把 B(-1,2)代入 y=kx+b得, 15 ∴一次函数的解析式为y=x+ 22 m 把B(-1,2)代入y=得,m=-2。 x (3)如图, 15 设P的(x,x+), 22 由A、B的坐标可知 1 AC=,OC=4,BD=1, 2 OD=2, 易知△PCA的高为x+4,△PDB的高 3、学生回答如: (1)求△AOB的面积; (2)求一次函数与X轴所成角的正弦值等问题。 2、完成变式训练5后,教师可提问学生,你还能提出怎么样的问题? 又如何求解? 的信心,让学生体验成功的喜悦。 4、培养学生发现问题,提出问题的能力;分析问题和解决问题的能力。 2-(1x+5),由S=S可得 22∆PCA∆PDB 1⨯1(x+4)=1⨯1⨯(2-1x-5), 22222 5 解得x=-, 2 15555 此时x+=∴P(-,) 22424 (五)课堂 小结 与反思 预设时 间: 3 分钟 1、这个 【活动五】 是开放性 1、通过本节课的专题复习,你收获了什么知 1、学生独 1、教师引 问题,目 识? 掌握得怎么样? 立思考后 导学生从 的使学生 2、反思本节课所学习的内容,小结解题经验 发言,用自 知识与技 通过思 和解题技巧。 己的语言 能等方面 考,理清 进行表述 谈本节课 楚本节课 归纳,同学 的收获与 的学习内 之间互相 体验,并 容,学会 综合问题考点的常用解题方法、技巧指导: 补充。 加以概括 清楚地用 解决一次函数与反比例函数相结合的问 总结。 自己的语 题时,关键是要熟练掌握用待定系数法求函 言进行总 数的表达式,知道函数图象上的点一定满足 结归纳。 函数表达式,能正确求解所列的方程或方程 组,会求函数图象与坐标轴的交点坐标,善 2、通过学 于通过图象观察出对应点的横坐标和纵坐标 生的归纳 的特点。 这类题型是广东省数学中考的热点 反思,培 问题,要重点把握这些解题规律,解题技巧。 养学生的 解题技 能,提高 解题速 度。 (六)布置 课后 作业 预设 时间: 1分钟 【活动六】 1、(2017年广东中考题)如图,在同一平面直角坐标系中,直线y=k1x(k1≠0) 与双曲线y=k2(k≠0)相交于A,B两点, x2 已知点A的坐标为(1,2),则点B坐标为(A)A(﹣1,﹣2)B(﹣2,﹣1)C(﹣1,﹣1)D(﹣2,﹣2) 2、(自编题)在同一直角坐标系中,一次函数y=kx+k(k≠0)与反比例函数y=-k x (k≠0)的图像大致为(B) 3、(2011年山东东营中考题)如图10,直线l和双曲线y=k(k>0)交于A、B亮点,P x 是线段AB上的点(不与A、B重合),过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、 △POE面积是S3、则(D) A.S1<S2<S3B.S1>S2>S3 C.S1=S2>S3D.S1=S2 4、(2011年内蒙古乌兰察布中考题)函数y=x(x≥0),y=9(x>0)的图象如图 12x 所示,则结论: ①两函数图象的交点A的坐标为(3,3) ②当x>3时,y2>y1 ③当x=1时,BC=8yy=x 1 ④当x逐渐增大时,y1随着x的增大而增大,y2随 y2= 着x的增大而减小.9 其中正确结论的序号是①③④.x x (六)布置 课后 作业 预设 时间: 1分钟 5、(2012年广东省中考题)如图,直线y=2x﹣6与反比例函数y
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- 一次函数与反比例函数的综合应用 一次 函数 反比例 综合 应用 教学 设计