部编人教版数学九年级下册《锐角三角函数》省优质课一等奖教案.docx
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部编人教版数学九年级下册《锐角三角函数》省优质课一等奖教案
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 锐角的正弦
教学目标:
1.经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实.
2.能根据正弦概念正确进行计算.
理解正弦(sinA)概念,知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实.
对当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值的事实理解.
一、创设情景 明确目标
复习提问:
1.以前我们学习了哪些函数?
(正比例函数,一次函数,二次函数)
2.函数定义是什么?
(在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.)我们今天学习一种新的函数.
二、自主学习 指向目标
1.自主学习教材第61至63页.
2.学习至此,请完成学生用书相应部分.
三、合作探究 达成目标
探究点一 正弦函数的概念的形成
活动一:
阅读教材,思考完成下面两个问题
1.在书本第61页问题中,如果使出水口的高度为50m,那么需要准备的水管的长度为__100m__;如果使出水口的高度为αm,那么需要准备的水管的长度为__2αm__.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A=45°时,若直角边为5,则斜边为__5__;若直角边为α,则斜边为____α.
展示点评:
1.直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值为定值,等于.
2.直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值为定值等于.
小组讨论1:
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′,使得∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=a,那么与有什么关系,你能证明吗?
(证明:
因为∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=a,所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′,=,即=)
反思小结:
在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比为定值.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的对边记作a,∠C的对边记作c.我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA==
【针对训练】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A=30°时,我们有sinA=____.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A=60°时,我们有sinA=____.
探究点二 锐角的正弦值的计算
活动二:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.
先应用勾股定理求出图
(1)中的AB和图
(2)中的AC长,再根据正弦的定义求解.
展示点评:
(1)sinA=,sinB=;
(2)sinA=,sinB=.
小组讨论2:
计算一个锐角的正弦值,必须将其放在什么形状的三角形中思考求解?
还应注意什么?
反思小结:
计算一个锐角的正弦值要注意两个方面的问题.一是确定__这个锐角所在的直角三角形__;二是要注意正弦等于__这个锐角的对边与斜边的比__.
【针对训练】
见学生用书
四、总结梳理 内化目标
知识小结:
1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是定值.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的__正弦__,记作__sinA__.
五、达标检测 反思目标
1.sin30°的值为____.
2.如图,在直角△ABC中,∠C=90°,若AB=5,AC=4,则sinA等(A)
A. B.
C.D.
3.在△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=,则边AC的长是(D)
A. B.3 C. D.
4.如图,已知点P的坐标是(a,b),则sinα等于(D)
A. B. C. D.
第4题图
第5题图
5.如图,在半径为1的⊙O中,∠AOB=45°,则sinC的值为(B)
A. B. C. D.
作业布置:
1.上交作业 课本第68页,习题28.1复习巩固第1、2题.(只做与正弦函数有关的部分)
2.课后作业见“学生用书”.
教学反思:
在教学过程中,重视过程,深化理解,通过学生的主动探究来体现他们的主体地位,教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用,对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.
第2课时 锐角的余弦与正切
教学目标:
1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实.
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
理解余弦、正切的概念.
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.
一、创设情景 明确目标
一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值?
对边与邻边的比呢?
二、自主学习 指向目标
1.自主学习教材第7至8页.
2.学习至此,请完成学生用书相应部分.
三、合作探究 达成目标
探究点一 锐角A的余弦和正切的概念的形成
活动一:
如图:
Rt△ABC与Rt△A′B′C′,∠C=∠C′=90°,∠B=∠B′=α,
那么与有什么关系?
分析:
由于∠C=∠C′=90°,∠B=∠B′=α,所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′,
=,即=
展示点评:
在直角三角形中,当锐角B的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值.
小组讨论1:
锐角的余弦、正切的定义是怎样的?
如何表示另一个锐角的余弦、正切?
锐角三角函数在现阶段指的是哪几个?
反思小结:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦,记作cosB即cosB==;类似地,把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即tanA==,锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.
【针对训练】
同学生用书
探究点二 根据锐角的已知三角函数值,求其它三角函数值
活动二:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sinA、cosA、tanA的值.
展示点评:
先用勾股定理求出AC长,然后解锐角A的三角函数的 义计算求解.
解:
由勾股定理得AC===8.因此sinA===,cosA===,tanA===.
小组讨论2:
锐角三角函数值的实质是什么?
如何求?
反思小结:
三角函数值实质上就是直角三角形两边的比值,所以已知一锐角的三角函数值,求其它三角函数值时,有时需将三角函数转化为线段比,通过设k,并用含k的式子表示出直角三角形各边的长,利用三角函数的定义求出其它三角函数值.
【针对训练】
同学生用书
四、总结梳理 内化目标
知识点小结:
余弦和正切的概念
在Rt△ABC中,∠C=90°,把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA==;把∠A的__对边与邻边的比__叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA==.
五、达标检测 反思目标
1.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边,则有(C)
A.b=a·tanA B.b=c·sinA C.a=c·cosB D.c=a·sinA
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果cosA=那么tanB的值为(D)
A.B.C.D.
3.如图:
P是∠α的边OA上一点,且P点的坐标为(3,4),则cosα=____.
4.已知:
Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AB=15,则AC的长是(C)
A.3B.6C.9D.12
5.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sinB=,AD=1.
(1)求BC的长;
(2)求tan∠DAE的值.
解:
(1)在△ABC中,
∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1.在△ADB中,∵∠ADB=90°,sinB=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,∴BC=BD+DC=2+1;
(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=+,∴DE=CE-CD=-,∴tan∠DAE==-.
作业布置:
1.上交作业 课本第68页,习题28.1复习巩固第1题、第2题.(只做与余弦、正切函数有关的部分)第4、6题.
2.课后作业 见学生用书.
教学反思:
在数学学习中,有一些学生往往不注重基本概念、基础知识,认为只要会做题就可以了,结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目.通过引导学生进行知识梳理,教会学生如何进行知识的归纳、总结,进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.
第3课时 特殊锐角的三角函数值
教学目标:
1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值.
2.会利用特殊角的三角函数值进行计算.
熟记30°、45°、60°角的三角函数值,熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式.
30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程.
一、创设情景 明确目标
还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗?
即sin30°=,sin45°=,你还能推导出sin60°的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗?
二、自主学习 指向目标
1.自主学习教材第66至67页.
2.学习至此,请完成学生用书相应部分.
三、合作探究 达成目标
探究点一 含特殊角三角函数值的计算
活动一:
让学生画30°、45°、60°的直角三角形,分别求sin30°、cos45°、tan60°.
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
例1 求下列各式的值.
(1)cos260°+sin260°;
(2)-tan45°.
展示点评:
sin260°表示(sin60°)2,即(sin60°)·(sin60°),熟记特殊锐角三角函数值是准确计算求解的前提.
解:
(1)原式=()2+()2=1;
(2)原式=÷-1=0.
小组讨论1:
在这两个式子中包含几种运算?
运算顺序是怎样的?
计算求解时要注意什么?
反思小结:
含特殊角三角函数值的计算中,一要注意__运算顺序和法则__,二要注意__特殊角三角函数值的__准确带入.
【针对训练】
见学生用书
探究点二 由函数值求特殊角
活动二:
(1)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=,求∠A的度数.
(2)如图②,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求a.
展示点评:
锐角三角函数值是特殊值时,可以根据特殊角的三角函数值表示求解的度数.
解:
(1)在图①中,∵sinA===,∴∠A=45°
(2)在图②中,∵tanα===,∴α=60°.
小组讨论2:
已知锐角的三角函数值求锐角的关键是什么?
你是怎样理解和记忆的?
反思小结:
已知锐角的三角函数值求锐角,关键是熟记特殊角的三角函数值.一方面,要会借助两个基本直角三角形,推导30°、45°、60°角的三角函数值;另一方面,可以根据特殊角的三角且数值表反映的规律记忆.
【针对训练】
见学生用书
四、总结梳理 内化目标
要牢记下表:
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
五、达标检测 反思目标
1.下列各式中不正确的是(B)
A.sin260°+cos260°=1 B.sin30°+cos30°=1
C.sin35°=cos55°D.tan45°>sin45°
2.计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是(D)
A.2 B. C. D.1
3.在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且sinA=,cosB=,则△ABC的形状是(B)
A.直角三角形B.钝角三角形
C.锐角三角形D.不能确定
4.式子2cos30°-tan45°-的值是(B)
A.2-2 B.0 C.2 D.2
5.先化简,再求代数式-÷的值,其中a=6tan60°-2.
解:
原式=-·=-=
∵a=6tan30°-2=6×-2=2-2,
∴原式===
作业布置:
1.上交作业 课本第69页习题28.1第3、10题.
2.课后作业 见学生用书.
教学反思:
课程设计中引入非常直接,直击课题,同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习,效果很好.在讲解特殊角的三角函数值时讲解得很细,可以说前面部分的教学很成功,学生理解得很好.
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