高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学习型教学案附答案.docx
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高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学习型教学案附答案
高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案(附答案)
本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址 学案22 简单的三角恒等变换
导学目标:
1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换.
自主梳理
.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α=________________;
cos2α=______________=________________-1=1-________________;
tan2α=________________________.
2.公式的逆向变换及有关变形
sinαcosα=____________________⇒cosα=sin2α2sinα;
降幂公式:
sin2α=________________,cos2α=________________;
升幂公式:
1+cosα=________________,1-cosα=_____________;
变形:
1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=________________________.
自我检测
.函数f=2sinxcosx是
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为2π的偶函数
c.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
2.函数f=cos2x-2sinx的最小值和最大值分别为
A.-3,1
B.-2,2
c.-3,32
D.-2,32
3.函数f=sinxcosx的最小值是
A.-1
B.-12
c.12
D.1
4.已知A、B为直角三角形的两个锐角,则sinA•sinB
A.有最大值12,最小值0
B.有最小值12,无最大值
c.既无最大值也无最小值
D.有最大值12,无最小值
探究点一 三角函数式的化简
例1 求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.
变式迁移1 已知函数f=4cos4x-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x.
求f-11π12的值;
当x∈0,π4时,求g=12f+sin2x的最大值和最小值.
探究点二 三角函数式的求值
例2 已知sin•sin=14,α∈,求2sin2α+tanα-1tanα-1的值.
变式迁移2 已知α是第一象限角,且cosα=513,求sinα+π4cos2α+4π的值.
已知cos=35,π2≤α<3π2,求cos的值.
探究点三 三角恒等式的证明
例3 已知sin=3sinβ,设tanα=x,tanβ=y,记y=f.
求证:
tan=2tanα;
求f的解析表达式;
若角α是一个三角形的最小内角,试求函数f的值域.
变式迁移3 求证:
sin2xsinx+cosx-1sinx-cosx+1
=1+cosxsinx.
转化与化归思想的应用
例 已知函数f=
+1tanxsin2x+msinx+π4sinx-π4.
当m=0时,求f在区间π8,3π4上的取值范围;
当tanα=2时,f=35,求m的值.
【答题模板】
解 当m=0时,f=1+cosxsinxsin2x
=sin2x+sinxcosx=1-cos2x+sin2x2
=122sin2x-π4+1,[3分]
由已知x∈π8,3π4,得2x-π4∈0,5π4,[4分]
所以sin2x-π4∈-22,1,[5分]
从而得f的值域为0,1+22.[6分]
f=sin2x+sinxcosx-m2cos2x
=1-cos2x2+12sin2x-m2cos2x
=12[sin2x-cos2x]+12,[8分]
由tanα=2,得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45,
cos2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=-35.[10分]
所以35=1245+351+m+12,[11分]
解得m=-2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是:
能求出数值的要求出数值;使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;分式中的分母尽量不含根式等.
.求值中主要有三类求值问题:
“给角求值”:
一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
“给值求值”:
给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
“给值求角”:
实质是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.
2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则:
在化简求值和证明时常用如下方法:
切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的代换法等.
常用的拆角、拼角技巧如:
2α=+,α=-β,α=+β,α+β2=α-β2+β-α2,α2是α4的二倍角等.
化繁为简:
变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为单项式,化无理式为有理式.
消除差异:
消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.
一、选择题
.已知0<α<π,3sin2α=sinα,则cos等于
A.13
B.-13
c.16
D.-16
2.已知tan=25,tanβ-π4=14,那么tanα+π4等于
A.1318
B.1322
c.322
D.16
3.已知cos2α=12,则sinα的值为
A.12
B.-12
c.32
D.-32
4.若f=2tanx-2sin2x2-1sinx2cosx2,则fπ12的值为
A.-433
B.8
c.43
D.-43
5.在△ABc中,若cos2B+3cos+2=0,则sinB的值是
A.12
B.22
c.32
D.1
题号
2
3
4
5
答案
二、填空题
6.已知α为第二象限的角,且sinα=35,则tan2α=________.
7.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是________.
8.若cos2αsinα-π4=-22,则cosα+sinα的值为________.
三、解答题
9.化简:
cos20°cos40°cos60°cos80°;
3-4cos2α+cos4α3+4cos2α+cos4α.
0.设函数f=3sinxcosx-cosxsinπ2+x-12.
求f的最小正周期;
当∈0,π2时,求函数f的最大值和最小值.
1.已知函数f=2cos2x+sin2x-4cosx.
求f的值;
求f的最大值和最小值.
答案
自主梳理
.2sinαcosα cos2α-sin2α 2cos2α 2sin2α
2tanα1-tan2α 2.12sin2α 1-cos2α2 1+cos2α2 2cos2α2 2sin2α2 2
自我检测
.c 2.c 3.B 4.D
课堂活动区
例1 解题导引 化简的原则是形式简单,三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.本题要充分利用倍角公式进行降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键.
解 y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x
=7-2sin2x+4cos2x
=7-2sin2x+4cos2xsin2x
=7-2sin2x+sin22x=2+6,
由于函数z=2+6在[-1,1]中的最大值为zmax=2+6=10,最小值为zmin=2+6=6,
故当sin2x=-1时,y取得最大值10,
当sin2x=1时,y取得最小值6.
变式迁移1 解 f
=1+cos2x2-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x
=cos22xsinπ4+xcosπ4+x
=2cos22xsinπ2+2x=2cos22xcos2x=2cos2x,
∴f-11π12=2cos-11π6=2cosπ6=3.
g=cos2x+sin2x
=2sin2x+π4.
∵x∈0,π4,∴2x+π4∈π4,3π4,
∴当x=π8时,gmax=2,
当x=0时,gmin=1.
例2 解题导引 这类问题一般是先化简再求值;化简后目标更明确;
如果能从已知条件中求出特殊值,应转化为特殊角,可简化运算,对切函数通常化为弦函数.
解 由sin•sin
=sin•cos
=12sin=12cos4α=14,
∴cos4α=12,又α∈,故α=5π12,
∴2sin2α+tanα-1tanα-1
=-cos2α+sin2α-cos2αsinαcosα
=-cos2α+-2cos2αsin2α
=-cos5π6-2cos5π6sin5π6=532.
变式迁移2 解 ∵α是第一象限角,cosα=513,
∴sinα=1213.
∴sinα+π4cos2α+4π=22sinα+cosαcos2α
=22sinα+cosαcos2α-sin2α
=22cosα-sinα=22513-1213=-13214.
cos=cos2αcosπ4-sin2αsinπ4
=22,
∵π2≤α<32π,
∴3π4≤α+π4<74π.
又cos=35>0,
故可知32π<α+π4<74π,
∴sin=-45,
从而cos2α=sin
=2sincos
=2××35=-2425.
sin2α=-cos
=1-2cos2
=1-2×2=725.
∴cos=22=22×
=-31250.
例3 解题导引 本题的关键是第小题的恒等式证明,对于三角恒等式的证明,我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同,特别是分析已知和要求的角之间的关系,再分析函数名之间的关系,则容易找到思路.证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.对于第小题同样要从角的关系入手,利用两角和的正切公式可得关系.第小题则利用基本不等式求解即可.
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