人教A版浙江版 选修22 第一章 133.docx
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人教A版浙江版选修22第一章133
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习目标
1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.
知识点 函数的最大(小)值与导数
如图为y=f(x),x∈[a,b]的图象.
思考1 观察[a,b]上函数y=f(x)的图象,试找出它的极大值、极小值.
答案 极大值为f(x1),f(x3),极小值为f(x2),f(x4).
思考2 结合图象判断,函数y=f(x)在区间[a,b]上是否存在最大值,最小值?
若存在,分别为多少?
答案 存在,f(x)min=f(a),f(x)max=f(x3).
思考3 函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值一定是某极值吗?
答案 不一定,也可能是区间端点的函数值.
思考4 怎样确定函数f(x)在[a,b]上的最小值和最大值?
答案 比较极值与区间端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值.
梳理
(1)函数的最大(小)值的存在性
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
类型一 求函数的最值
命题角度1 不含参数的函数求最值
例1 已知函数f(x)=x3-3x,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[-
,3]时,求f(x)的最大值与最小值.
解
(1)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当x<-1或x>1时,f′(x)>0;
当-1 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞), 单调递减区间为(-1,1). (2)由 (1)可知,x∈[- ,3]时,f(x)的极大值为f(-1)=2,f(x)的极小值为f (1)=-2, 又f(- )=0,f(3)=18, 所以当x∈[- ,3]时,f(x)的最大值为18,f(x)的最小值为-2. 反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验f′(x)=0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 跟踪训练1 (1)函数f(x)=x2-cosx,x∈[- , ]的值域是________. 答案 [-1, ] 解析 f′(x)=2x+sinx, 令f′(x)=0,即2x+sinx=0,得x=0, f(0)=-cos0=-1,f( )=f(- )= , ∴f(x)的最大值为 ,f(x)的最小值为-1. 则f(x)的值域为[-1, ]. (2)已知函数f(x)=x3-ax2+3x,若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]时的最值. 解 f′(x)=3x2-2ax+3, 由题意知f′(3)=0,即27-6a+3=0,解得a=5, ∴f′(x)=3x2-10x+3. 令f′(x)=0,即3x2-10x+3=0, 解得x=3或x= (舍去). ∵f(3)=-9,f (1)=-1,f(5)=15, ∴当x∈[1,5]时,f(x)的最小值为-9,最大值为15. 命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值. 解 f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). 若a≤0,则f′(x)≤0,函数f(x)单调递减, 所以当x=0时,f(x)有最大值f(0)=0; 若a>0,则令f′(x)=0,解得x=± . 由x∈[0,1],则只考虑x= 的情况. ①当0< <1,即0 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (0, ) ( ,1) f′(x) + 0 - f(x) ↗ 2a ↘ f(x)max=f( )=2a . ②当 ≥1,即a≥1时,f′(x)≥0,函数f(x)在[0,1]上单调递增,当x=1时,f(x)有最大值,f (1)=3a-1. 综上,当a≤0,x=0时,f(x)有最大值0; 当0 时,f(x)有最大值2a ; 当a≥1,x=1时,f(x)有最大值3a-1. 反思与感悟 对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值. 跟踪训练2 已知函数f(x)=ax3- x2+b(x∈R). (1)若曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线方程为y=6x-8,求a,b的值; (2)若a>0,b=2,当x∈[-1,1]时,求f(x)的最小值. 解 (1)f′(x)=3ax2-3x,由f′ (2)=6,得a=1. 由切线方程为y=6x-8,得f (2)=4. 又f (2)=8a-6+b=b+2,所以b=2, 所以a=1,b=2. (2)f′(x)=3ax2-3x=3x(ax-1). 令f′(x)=0,解得x=0或x= ,分以下两种情况讨论: ①若 >1,即0 x (-1,0) 0 (0,1) f′(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ f(-1)=-a- +2,f (1)=a- +2, 所以f(x)min=f(-1)= -a. ②若0< <1,即a>1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-1,0) 0 (0, ) ( ,1) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ f(-1)= -a,f( )=2- . 而f( )-f(-1)=2- -( -a) = +a- >0, 所以f(x)min=f(-1)= -a. 综合①和②知,f(x)min=f(-1)= -a. 类型二 由函数的最值求参数 例3 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值. 解 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾. 求导得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去). ①当a>0,且当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) + 0 - f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b 由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3. 又f(-1)=-7a+3,f (2)=-16a+3 ∴f (2)=-16a+3=-29,解得a=2. ②当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29. 又f(-1)=-7a-29,f (2)=-16a-29>f(-1), ∴f (2)=-16a-29=3,解得a=-2. 综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用. 跟踪训练3 (1)若函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是( ) A.(-1, )B.(-1,4) C.(-1,2]D.(-1,2) 答案 C 解析 由f′(x)=3-3x2=0,得x=±1. 当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ -2 ↗ 2 ↘ 由此得a2-12<-1 . 又当x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减, 且当x=2时,f(x)=-2.∴a≤2.
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