第二讲圆的周长和面积讲义教师版.docx
- 文档编号:3808747
- 上传时间:2022-11-25
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:289.93KB
第二讲圆的周长和面积讲义教师版.docx
《第二讲圆的周长和面积讲义教师版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第二讲圆的周长和面积讲义教师版.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第二讲圆的周长和面积讲义教师版
第二讲圆的周长和面积
情景引入
趣味数学故事:
圆周率的历史
古希腊数学家阿基米德发现:
当正多边形的边数增加时,它的形状就越来越接近圆。
我国魏晋时期的数学家刘徽创造了用“割圆术”求圆周率的方法,在数学史上占有重要的地位。
刘徽是怎样“割圆”的呢?
刘徽用这种方法不断地“割圆”,一直算到圆内接正192边形,得到圆周率的近似值是3.14.
我国南北朝时期的数学家祖冲之使用“缀术”计算圆周率。
可惜这种方法早已失传。
据专家推测,“缀术”类似“割圆术”,通过对正24576边形周长的计算来推导。
计算相当繁杂,当时还没有算盘。
最后得出了的两个分数形式的近似值:
约率为,
密率为,并且精确地算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间。
这一成就,使中国在圆周率的计算方面在世界领先1000年。
电子计算机的出现带来了计算方面的革命,的小数点后面的精确数字越来越多。
到2002年,圆周率已经可以计算到小数点后12411亿位。
1、知识要点
1.圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
2.圆周率:
圆的周长总是直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率,用字母
表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时,取
3.14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
3.圆的周长公式:
C=
d或C=2
r
圆周长=
×直径圆周长=
×半径×2
【例题1】圆周率是 圆的周长 和 直径 的比值,它用字母 π 表示.圆的周长总是直径的 π 倍.已知圆的直径就可以用公式 C=πd 求周长;已知圆的半径就可以用公式 C=2πr 求周长.
π=3.142π=6.283π=9.424π=12.56
5π=15.76π=18.847π=21.988π=25.12
9π=28.2610π=31.415π=47.116π=50.24
20π=62.825π=78.530π=94.250π=157
针对性练习:
1、大圆的圆周率与小圆的圆周率比较( )
A.大圆的大B.无法比较C.相等
故选:
C.
2、大圆的直径是1米,小圆的直径是1厘米.那么,下面的说法正确的是( )
A.大圆的圆周率大于小圆的圆周率
B.大圆的圆周率小于小圆的圆周率
C.大圆的圆周率等于小圆的圆周率
D.无法确定
故选:
C.
3、判断:
①在同一圆中,圆的周长总是直径的3倍多一些. √ ;
②π=3.14. × ;
③在同一圆中,半径、直径、周长的比是1:
2:
π. × .
有关圆的周长的计算
【例题2】计算圆的周长
(1)d=3l厘米
(2)d=8dm
(3)r=2m
(4)r=2.5m.
【解答】解:
(1)3.14×31=97.34(厘米);答:
周长是97.34厘米.
(2)3.14×8=25.12(dm);答:
周长是25.12dm.
(3)3.14×2×2=12.56(m);答:
周长是12.56m.
(4)3.14×2.5×2=15.7(m);答:
周长是15.7m.
【例题3】圆的周长是12.56分米,那么半圆的周长是 分米.
【解答】解:
12.56÷3.14=4(分米),12.56÷2+4,=6.28+4,=10.28(分米);
【例题4】底面半径为0.5米的油桶,在两侧墙内滚动,两墙之间的距离是26.12米,油桶从这侧滚到那侧要滚 8 圈.
【解答】解:
(26.12﹣0.5×2)÷(3.14×2×0.5),=(26.12﹣1)÷3.14,=25.12÷3.14,
=8(圈);答:
油桶从这侧滚到那侧要滚8圈,故答案为:
8.
针对性练习:
1、在一张边长是8cm的正方形纸上剪下一个最大的半圆,这个半圆的周长是 20.56 cm.
【解答】解:
3.14×8÷2+8=12.56+8=20.56(厘米)答:
这个半圆的周长是20.56厘米.故答案为:
20.56.
2、小红量得一棵古树最粗处的周长约是4.71米,这棵古树的直径最大是 1.5 米.
【解答】解:
4.71÷3.14=1.5(米)答:
这棵古树的直径最大是1.5米.故答案为:
1.5.
3、如图,求阴影部分的周长(单位:
厘米)
【解答】解:
3.14×8+8×4=25.12+32=57.12(厘米)答:
阴影部分的周长是57.12厘米.
4、求阴影部分的周长.(单位:
cm)
【解答】解:
3.14×(4+8)=3.14×12=37.68(厘米).答:
阴影部分的周长是37.68厘米.
5、一个半圆形工件,未搬动前如图所示,直径平行地面放置,搬动时为保护圆弧部分不受损伤,先将半圆如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移50m,半圆的直径为4m,则圆心O所经过的路线长是 2π+50 米.
【解答】解:
由图形可知,圆心先向前走O1O2的长度即
圆的周长,然后沿着弧O2O3旋转
圆的周长,
然后后向右平移50米,所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50m,由已知得圆的半径为2m,设半圆形的弧长为l,则半圆形的弧长l=
═2π米,故圆心O所经过的路线长=(2π+50)米.故答案为:
2π+50.
圆的面积
1.圆的面积:
圆所占面积的大小叫圆的面积。
2.把一个圆割成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,用字母(
r)表示,宽相当于圆的半径,用字母(r)表示,因为长方形的面积=长×宽,所以圆的面积=
r×r。
圆的面积公式:
S=
r²。
3.圆的面积公式:
S=
r² 或者S=
(d
2)²或者S=
(C
2)²
圆的面积推导
如图,把一个圆分成若干等份后,还可以拼成近似的长方形。
拼成的图形与原来的圆之
间有什么联系?
推导一下圆的面积计算公式
圆的面积长方形的面积
长方形的面积=长×宽圆的面积=圆周长的一半×半径
【例题5】求下列各圆的面积.
(1)r=2分米
(2)d=20厘米
(3)c=6.28厘米.
【解答】解:
(1)3.14×22=3.14×4=12.56(平方分米);答:
它的面积是12.56平方分米.
(2)3.14×(20÷2)2=3.14×100=314(平方厘米);答:
它的面积是314平方厘米.
(3)3.14×(6.28÷2÷3.14)2=3.14×1=3.14(平方厘米);答:
它的面积是3.14平方厘米.
【例题6】计算下面图形的面积.(单位:
厘米)
【解答】解:
(1)3.14×52=78.5(平方厘米);
(2)3×2﹣3.14×(2÷2)2=6﹣3.14=2.86(平方厘米);
(3)3.14×(42﹣22)=3.14×(16﹣4)=3.14×12=37.68(平方厘米);
(4)12÷2=6(厘米)3.14×62÷2﹣12×6÷2=56.52﹣36=20.52(平方厘米).
【例题7】一块环形铁片,外圆半径12分米,内圆半径10分米,它的面积是多少平方分米?
【解答】解:
3.14×(122﹣102)=3.14×(144﹣100)=3.14×44=138.16(平方分米),
答:
它的面积是138.16平方分米.
针对性练习:
1、半径是2厘米的圆,它的周长和面积相比( )
A.周长大B.面积大
C.周长和面积相等D.无法比较
【解答】解:
因为周长和面积的概念不同,单位名称不同,所以周长和面积不能比较大小;故选:
D.
2、直径2分米的圆,它的面积是( )
A.31.4平方分米B.314平方厘米
C.12.56平方分米D.3.14平方厘米
【解答】解:
半径为:
2÷2=1(分米)圆的面积为:
3.14×12=3.14(平方分米)=314(平方厘米)
答:
这个圆的面积是314平方厘米.故选:
B.
3、大小两个圆的半径之比是3:
1,则它们的面积之比是( )
A.3:
1B.6:
1C.9:
1D.9:
2
【解答】解:
设小圆的半径为r,则大圆的半径为3r小小圆的面积=πr2,大圆的面积=π(3r)2=9πr2,
9πr2:
πr2=9:
1;故选:
C.
4、在一张长6cm,宽4cm的长方形纸片上,画一个最大的圆,圆的直径是 4 cm,周长是 12.56 cm,面积是 12.56 cm2,剪下圆后剩下的面积是 11.44 cm2.
【解答】解:
3.14×4=12.56(厘米),3.14×(4÷2)2=3.14×22=3.14×4=12.56(平方厘米),
6×4﹣12.56=24﹣12.56=11.44(平方厘米),答:
圆的直径是4厘米、周长是12.56厘米、面积是12.56平方厘米,剪下后剩下的面积是11.44平方厘米.故答案为:
4、12.56、12.56、11.44.
5、求阴影部分的面积.
【解答】解:
(1)由题意得,半圆的面积:
×3.14×(4÷2)2,=3.14×2,=6.28(平方米).
空白部分的面积:
6.28×2=12.56(平方米),阴影部分的面积=正方形的面积﹣空白部分的面积,
=4×4﹣12.56,=16﹣12.56,=3.44(平方米).答:
阴影部分的面积是3.44平方米.
(2)阴影的面积:
3.14×(102﹣62),=3.14×64,=200.96(cm2).答:
阴影部分的面积是200.96cm2
二、同步巩固:
一、细心填写
1.圆周率表示一个圆的 周长 和 直径 的倍数关系.π约等于 3.14 .
【解答】解:
圆周率表示一个圆的周长和直径的倍数关系.π约等于3.14;故答案为:
周长,直径,3.14.
2.在一个圆中,圆的周长是直径的 π 倍,是半径的 2π 倍.
【解答】解:
在一个圆中,圆的周长是直径的π倍,是半径的2π倍.故答案为:
π,2π.
3.一个圆的直径是20厘米,这个圆的面积是 314平方厘米 .
【解答】解:
3.14×(20÷2)2=3.14×100=314(平方厘米)答:
这个圆的面积是314平方厘米.
故答案为:
314平方厘米.
4.要画一个周长是31.4厘米的圆,圆规两脚之间的距离是 5 厘米.
【解答】解:
31.4÷3.14÷2=10÷2=5(厘米)答:
圆规两脚之间的距离是5厘米.故答案为:
5.
5.大圆的半径相当于小圆的直径,已知大圆面积比小圆面积多9.42平方分米,大圆的面积是 12.56 平方分米.
【解答】解:
设小圆的半径为r,则大圆的半径就是2r,大圆的面积为:
π(2r)2=4πr2,
小圆的面积为:
πr2,所以大圆的面积是小圆的面积的4倍,则大圆面积比小圆面积大4﹣1=3倍,
9.42÷3=3.14(dm2),3.14×4=12.56(dm2)答:
大圆的面积是12.56dm2.故答案为:
12.56.
6.在一个正方形里面画一个最大的圆,这个圆的周长是6.28厘米,这正方形的面积是 4 平方厘米.剩下的面积是 0.86 平方厘米.
【解答】解:
(1)6.28÷3.14=2(厘米);2×2=4(平方厘米);答:
这个正方形的面积是4平方厘米;
(2)4﹣3.14×(2÷2)2,=4﹣3.14,=0.86(平方厘米),答:
剩下的面积是0.86平方厘米,
故答案为:
4,0.86.
7.大圆半径是3分米,小圆半径是2分米,小圆面积是大圆面积的
.
【解答】解:
(π×22)÷(π×32),=9π÷4π,=
;答:
小圆面积是大圆面积的
.故答案为:
.
8.有大小两个圆,大圆直径是小圆半径的4倍,大圆周长是小圆的 2倍 ,大圆面积是小圆的 4倍 .
【解答】解:
(1)设小圆的半径为r,则大圆直径为4r,大圆周长是小圆的:
[π(4r)]÷(π2r),
=[4πr]÷(2πr),=2;
(2)大圆面积:
π×(4r÷2)2=4πr2,小圆面积:
π×r2=πr2,大圆面积是小圆面积的比:
4πr2:
πr2=4.
答:
大圆周长是小圆的2倍,大圆面积是小圆的4倍,故答案为:
2倍,4倍.
9.用一根长12.56厘米的铁丝围成一个正方形,正方形的面积是 9.8596 平方厘米;如果用这根铁丝围成一个圆,这个圆的面积是 12.56 平方厘米.
【解答】解:
(1)12.56÷4=3.14(厘米)3.14×3.14=9.8596(平方厘米).
(2)12.56÷2÷3.14=2(厘米)3.14×22=3.14×4=12.56(平方厘米).故答案为:
9.8596,12.56.
10.时钟的分针转动一周形成的图形是 圆形 .
【解答】解:
根据圆的定义,时钟的分针转动一周形成的图形是圆形.故答案为:
圆形.
11.有一个圆形鱼池的半径是10米,绕其周围走一圈,要走 62.8米 ,这个鱼池的占地面积是 314平方米 .
【解答】解:
周长:
2×3.14×10=62.8(米)面积:
3.14×102=3.14×100=314(平方米)
答:
要走62.8米,这个鱼池的面积是314平方米.故答案为:
62.8米,314平方米.
12.一个挂钟的时针长5厘米,一昼夜这根时针的尖端走了 62.8 厘米,针尖扫的面积是 157 平方厘米.
【解答】解:
2×3.14×5×2=62.8(厘米),3.14×52×2,=3.14×25×2,=157(平方厘米),
答:
一昼夜这根时针的尖端走了62.8厘米,针尖扫的面积是157平方厘米.故答案为:
62.8,157.
13.圆的半径和直径的比是 1:
2 ,圆的周长和直径的比是 π:
1 .
【解答】解:
(1)因为在同一个圆或等圆中,圆的直径等于半径的2倍,
所以圆的半径与直径的比是1:
2;
(2)周长和直径的比是:
2πr:
d=2πr:
2r=π:
1.故答案为:
1:
2;π:
1
14.小圆的半径是6厘米,大圆的半径是9厘米.小圆直径和大圆直径的比是 2:
3 ,小圆周长和大圆周长的比是 2:
3 .面积的比是 4:
9 .
【解答】解:
(1)小圆直径和大圆直径的比:
(2×6):
(2×9),=12:
18,=(12÷6):
(18÷6),=2:
3;
(2)小圆周长和大圆周长的比:
(2π×6):
(2π×9),=12π:
18π,=(12π÷6π):
(18π÷6π),
=2:
3;
(3)小圆面积和大圆面积的比:
62π:
92π,=36π:
81π,=(36π÷9π):
(81π÷9π),
=4:
9;故答案为:
2:
3,2:
3,4:
9.
15.圆的半径是7厘米,它的面积是 153.86平方 厘米,圆的直径是13米,它的周长是 40.82 米.圆的周长是75.36分米,它的面积是 452.16平方 分米.
【解答】解:
(1)3.14×72=3.14×49=153.86(平方厘米)答:
它的面积是153.86平方厘米.
(2)3.14×13=40.82(米)答:
它的周长是40.82米.
(3)75.36÷3.14÷2=12(分米)3.14×122=3.14×144=452.16(平方分米)
答:
它的面积是452.16平方分米.故答案为:
153.86平方;40.82;452.16平方.
16.要在底面半径是14厘米的圆柱形水桶外面打上一个铁丝箍,接头部分是6厘米,需用铁丝 93.92 厘米.
【解答】解:
3.14×2×14+6,=87.92+6,=93.92(厘米);答:
需用铁丝93.92厘米.故答案为:
93.92.
17.用圆规画一个圆,如果圆规两脚之间的距离是6厘米,画出的这个圆的周长是 37.68 厘米.这个圆的面积是 113.04 平方厘米.
【解答】解:
周长是:
3.14×6×2=37.68(厘米),
面积是:
3.14×62=113.04(平方厘米),
答:
这个圆的周长是37.68厘米,是113.04平方厘米.
故答案为:
37.68;113.04.
18.已知圆的周长是50.24分米,圆的面积是 200.96平方分米 .
【解答】解:
r=50.24÷3.14÷2=8(分米)82×3.14=200.96(平方分米)
答:
圆的面积是200.96(平方分米).故答案为:
200.96平方分米.
2、我会辨一辨
19.两端都在圆上的线段,直径最长. √ (判断对错)
【解答】解:
由题意可作图如下:
通过观察可知,两端都在圆上的所有线段中,直径是最长的一条.故答案为:
√.
20.圆的周长是6.28分米,那么半圆的周长是3.14分米. × .(判断对错)
【解答】解:
已知C=6.28分米d=6.28÷3.14=2(分米)6.28÷2+2=3.14+2=5.14(分米)
答:
半圆的周长是5.14分米.故答案为:
×.
21.圆的直径是半径的2倍. × .(判断对错)
【解答】解:
在同圆或等圆中,直径等于半径的2倍,也就是“圆的直径是圆的半径的2倍”的前提条件是“同圆或等圆”.所以原题说法错误;故答案为:
×.
22.π=3.14 × .(判断对错)
【解答】解:
根据圆周率的含义可知:
π是一个无限不循环小数,π的近似值为3.14;故答案为:
错误.
23.圆的半径扩大4倍,圆的周长也扩大4倍. 正确 .
【解答】解:
设半径为2,则扩大4倍后的半径为8,原来的周长:
2×π×2=4π,
扩大后的周长:
2×π×(2×4)=16π,周长扩大:
16π÷4π=4倍;所以原题说法正确.答案为:
正确.
24.如果两个圆的周长相等,那么这两个圆的半径和直径的长度也一定分别相等. √ .(判断对错)
【解答】解:
由圆的周长公式:
c=πd=2πr可知,圆的周长是由半径或直径的大小决定的,如果两个圆的周长相等,由于圆周率π是一个定值,则这两个圆的半径和直径的长度也一定分别相等.所以原题说法正确.
故答案为:
√.
三、我会选
25.周长相等的图形中,面积最大的是( )
A.长方形B.圆C.正方形
【解答】解:
比较圆、正方形及长方形在周长相等的情况下,哪种图形面积最大;设一个圆的半径是1,它的周长是6.28,面积是3.14,和它周长相等的正方形的面积是:
(6.28÷4)2=2.4649,
和它周长相等的长方形的面积是:
6.28÷2=3.14,设这个长方形的长、宽分别为a、b:
取一些数字(0.1,3.04),(0.5,2.64),(1,2.14),…(2.14,1),(2.64,0.5),(3.04,0.1)
可以发现长方形的长和宽越接近,面积就越大,当长和宽相等时,也就是变成正方形了,所以这个长方形的面积一定小于正方形的面积.所以在周长相等的情况下,面积:
圆>正方形>长方形.故选:
B.
26.圆的半径扩大3倍,它的面积就扩大( )
A.3倍B.6倍C.9倍
【解答】解:
假设这个圆原来的半径是1厘米,则扩大3倍后半径是3厘米,原来圆的面积S=πr2=π×12=π(平方厘米),扩大后圆的面积S=πr2=π×32=9π(平方厘米),9π÷π=9倍;答:
面积扩大9倍.故选:
C.
27.以正方形的边长为半径的圆,它的面积是正方形的( )正确答案是:
A.4倍B.3.5倍C.3.14倍D.3倍
【解答】解:
设圆的半径为r则正方形的面积=r×r=r2圆的面积=3.14r2所以3.14r2÷r2=3.14.
答:
它的面积是正方形的3.14倍.故选:
C.
28.在下面各圆中,面积最大的圆是 A ,面积相等的圆是 B、C
A.半径3厘米B.直径4厘米C.周长12.56厘米D.周长9.42厘米.
【解答】解:
(1)3.14×32=28.26(平方厘米);
(2)3.14×(4÷2)2=12.56(平方厘米);
(3)3.14×(12.56÷3.14÷2)2=12.56(平方厘米);(4)3.14×(9.42÷3.14÷2)2=7.065(平方厘米);
所以面积最大的圆是A,面积相等的圆是B和C;故选:
A;B、C.
29.一个环形,内圆半径是3分米,外圆半径是5分米,这个环形的面积是多少平方分米?
列式正确的有( )
A.3.14×(5×2﹣3×2)B.3.14×52﹣3.14×32C.3.14×(52﹣32)
【解答】解:
3.14×(52﹣32),=3.14×16,=50.24(平方分米),答:
这个环形的面积是50.24平方分米.
故选:
BC.
四、我会算
30.求阴影部分的面积.
【解答】解:
(1)16÷2=8(厘米)3.14×82÷2+16×8÷2=100.48+64=164.48(平方厘米)
答:
阴影部分面积是164.48平方厘米.
(2)6×(6÷2)÷2×2=6×3÷2×2=18(平方厘米)答:
阴影部分面积是18平方厘米.
(3)10×10﹣3.14×(10÷2)2=10×10﹣3.14×52=100﹣78.5=21.5(平方厘米)
答:
阴影部分面积是21.5平方厘米.
(4)6÷2=3(厘米)3+1=4(厘米)3.14×(42﹣32)÷2=3.14×7÷2=10.99(平方厘米)
答:
阴影部分面积是10.99平方厘米.
五、解决问题
31.饭店的大厅内挂着一只大钟,它的分针长48厘米.这根分针的尖端转动一周所走的路程是多少厘米?
【解答】解:
3.14×48×2,=3.14×96,=301.44(厘米).答:
所走的路程是301.44厘米.
32.学校操场(如图,单位:
米),操场的周长是多少米?
面积是多少平方米?
【解答】解:
3.14×32+75×2=100.48+150=250.48(米)
3.14×(32÷2)2+75×32=3.14×256+2400=803.84+2400=3203.84(平方米)
答:
操场的周长是250.48米,面积是3203.84平方米.
33.一辆自行车的车轮半径是40厘米,车轮每分钟转100圈,要通过2512米的桥,大约需要几分钟?
【解答】解:
2×3.14×40=251.2(厘米);251.2×100=25120(厘米);25120厘米=251.2米;
2512÷251.2=10(分钟);答:
要通过2512米的大桥,大约需要10分钟.
34.在一个圆形喷水池的周长是62.8米,绕着这个水池修一条宽2米的水泥路.求路面的面积.
【解答】解:
水池的半径为:
62.8÷3.14÷2=10(米),路面的面积为:
3.14×[(10+2)2﹣102]
=3.14×(144﹣100),=3.14×44,=138.16(平方米),答:
路面的面积是138.16平方米.
35.一个圆形养鱼池,直径是4米,这个养鱼池的周长是多少米?
占地面积是多少平方米?
【解答】解:
3.14×4=12.56(米);4÷2=2(米),3.14×22=12.56(平方米);
答:
这个养鱼池的周长是12.56米,占地面积是12.56平方米.
36.一个环形铁片,内圆直径是14厘米,外圆直径是18厘米,这个环形铁片的面积是多少?
【解答】解:
14÷2=7(厘米),18÷2=9(厘米),3.14×(92﹣72),=3.14×(81﹣49),
=3.14×32,=100.48(平方厘米);答:
这个环形铁片的面积是100.48平方厘米.
37.在一个直径是16米的圆心花坛周围,有一条宽为2米的小路围绕,小路的面积是多少平方米?
【解答】解:
16÷2=8(米),8+2=10(米),3.14×(102﹣82),
=3.14×(100﹣64),=3.14×36,=113.04(平方米).答:
小路的面积是113.04平方米.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第二 周长 面积 讲义 教师版