电路定律.docx

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电路定律

第三章电路分析的几个定理54

3.1叠加定理54

3.2置换定理56

3.3戴维南定理57

3.4诺顿定理60

3.5应用戴维南定理分析受控源电路61

习题64

第三章电路分析的几个定理

上一章讨论了分析线性网络的一般方法，如果能够掌握一些线性网络的性质，将会有助于简化分析工作，并且更深入地了解电路的一般关系。

限于篇幅，本章仅讨论几个主要的定理。

首先讨论叠加定理，并由它导出戴维南定理。

3.1叠加定理

由独立源和线性元件组成的电路称为线性电路。

叠加定理（superpositiontheorem）是体现线性电路特性的重要定理。

独立电源代表外界对电路的输入，统称激励。

电路在激励作用下产生的电流和电压称为响应。

叠加定理的内容是：

在任何由线性电阻、线性受控源及独立电源组成的电路中，多个激励共同作用时，在任一支路中产生的响应，等于各激励单独作用时在该支路所产生响应的代数和。

下面通过例子来说明应用叠加定理分析线性电路的方法、步骤以及注意点。

例3-1图3-1（a）所示电路，其中R1=3Ω、R2=5Ω、Us=12V、Is=8A，试用叠加定理求电流I和电压U。

解：

（1）画出各独立电源作用时的电路模型。

图3-1（b）是为电压源单独作用时的电路，电流源置为零（即将含电流源的支路开路）；图3-1（c）为电流源单独作用时的电路，置电压源为零（即将电压源短路）。

（2）求出各独立源单独作用时的响应分量。

对于图（b）电路，由于电流源支路开路，R1与R2为串联电阻，所以

对于图（c）电路，电压源支路短路后，R1与R2为并联电阻，故有

（3）由叠加定理求得各独立电源共同作用时的电路响应，即为各响应分量的代数和。

（

与I参考方向一致，而

则相反）

（

、

与U的参考方向均一致）

使用叠加定理分析电路时，应注意以下几点：

（1）叠加定理仅适用于计算线性电路中的电流或电压，而不能用来计算功率，因为功率与独立电源之间不是线性关系。

（2）各独立电源单独作用时，其余独立源均置为零（电压源用短路代替，电流源用开路代替）。

（3）响应分量叠加是代数量叠加，当分量与总量的参考方向一致时，取“+”号；与参考方向相反时，取“-”号。

（4）如果只有一个激励作用于线性电路，那么激励增大K倍时，其响应也增大K倍，即电路的响应与激励成正比。

这一特性称为线性电路的齐次性或比例性。

线性电路的齐次性是比较容易验证的。

在电压源激励时，其值扩大K倍后，可等效成K个原来电压源串联的电路；在电流源激励时，电流源输出电流扩大K倍后，可等效成K个电流源相并联的电路。

然后应用叠加定理，其响应也增大K倍，因此线性电路的齐次性结论成立。

例3-2图3-2所示线性无源网络N，已知当Us=1V，Is=2A时，U=-1V；当Us=2V，Is=-1A时，U=5.5V。

试求Us=-1V，Is=-2A时，电阻R上的电压。

解：

根据叠加定理和线性电路的齐次性，电压U可表示为

代入已知数据，可得到

求解后得

K1=2K2=-1.5

因此，当Us=-1V，Is=-2A时，电阻R上输出电压为

例3-3求图3-3（a）电路中R4的电压U。

解：

用叠加定理求解。

先计算Us单独作用时在R4产生的电压

，此时应认为电流源为零值，即Is=0，这就相当于把电流源用开路代替，得电路如图（b）。

显然，R2和R4组成一个分压器，根据分压关系，可得

再计算电流源单独作用时R4的电压

，此时电压源Us应以短路代替。

经过整理，电路可画如图4-4（c）。

显然，R2和R4组成一个分流器，根据分流关系，可得

故

因此，

3.2置换定理

在任意的线性或非线性网络中，若某一支路的电压和电流为Uk和Ik，则不论该支路是由什么元件组成的，总可以用下列的任何一个元件去置换，即：

（1）电压值为Uk的独立电压源；

（2）电流值为Ik的独立电流源；（3）电阻值为Uk/Ik的电阻元件。

这时，对整个网络的各个电压、电流不发生影响。

这就是置换定理（substitutiontheorem）。

下面我们通过具体的例子来说明这个定理的正确性。

图3-4（a）所示电路中的电压、电流已在第二章例2-7中求得，它们是：

U1=14.286V、I1=1.143A、I2=-0.4286A、I3=0.7143A。

现在，为了表明置换定理得正确性，将含有20Ω电阻的支路换为一个电流源，这个电流源的电流值为0.7143A，即原支路的电流值（I3），如图3-4（b）所示。

对于置换后的电路我们进行计算可知，置换对电路中的各电压、电流并无影响。

对于图4-3（b）电路，可以列出节点方程

解得

U1=14.286V

进一步可算得

I1=1.143AI2=-0.4286A

由此可知各电压和电流并未发生变化。

这就说明电流为Ik的支路可以用一个电流值为Ik的电流源去置换，对网络不会产生影响。

现在来论证这一定理。

设U1、U2、……Ub和I1、I2、……Ib为某一给定网络中已知的各支路电压和支路电流。

如所已知，它们必须满足基尔霍夫定律方程和支路伏安的关系。

考虑网络中第k个支路为一电流源所置换的情况，该电流源的电流值为Ik。

由于原网络和置换后的网络几何结构仍然相同，因此基尔霍夫定律方程仍然相同。

除了第k条支路以外，所有支路的伏安关系也未改变。

在置换后的网络中，第k个支路为一电流源，其唯一的约束关系就是支路电流应等于电流源的电流值，而该电流值已选定为Ik，电压则可为任意值。

因此，原网络中的各支路电压、电流满足置换后网络的所有条件，因而这些电压、电流也就是置换后网络的解答。

也即，置换前后网络各电压、电流是一致的。

显然，上述的证明对线性网络和非线性网络都是适用的。

其它两种置换情况的证明与此类似。

3.3戴维南定理

戴维南定理（Thevenin’stheorem）指出：

对于线性有源二端网络，均可等效为一个电压源与电阻串联的电路。

如图3-5（a）、（b）所示，图中N为线性有源二端网络，R为求解支路。

等效电压源Uoc数值等于有源二端网络N的端口开路电压。

串联电阻Ro等于N内部所有独立电源置零时网络两端之间的等效电阻，如图3-5（c）、（d）所示。

图3-5（b）中的电压源串联电阻电路称为戴维南等效电路。

戴维南定理可用叠加定理证明，此处从略。

例3-4求图3-6（a）电路中二极管的电流。

解：

在分析二极管电路时，先需要确定二极管是否导通，当这个二极管在较复杂的电路中时，这往往不易判断。

运用戴维南定理可以很好的解决这个问题。

可以先把含有二极管的支路断开，求得电路其余部分的戴维南等效电路之后，再把含二极管的支路接上。

在一个简单的单回路电路中，很容易判断二极管是否导通。

在图3-6（a）电路中除二极管支路以外，电路的其余部分如图3-7（a）所示，其等效电路可求得如下：

把二极管支路与这等效电路接上后，即得图3-6（b）。

可知二极管阴极电位比阳极电位高2.4V，因此二极管不导通，I=0。

例3-5用戴维南定理求图3-8（a）电路中的电流I。

解：

（1）求开路电压Uoc。

自a、b处断开RL支路，设出Uoc参考方向，如图3-8（b）所示，应用叠加定理求得有源二端网络的开路电压

（2）求等效电阻Ro。

将图（b）中的电压源短路，电流源开路，得如图（c）所示电路，其等效电阻

（3）画出戴维南等效电路，接入RL支路，如图3-8（d）所示，于是求得

例3-6试说明：

若含源二端网络的开路电压为Uoc，短路电流为Isc，则戴维南等效电路的串联电阻为

解：

已知一个含源二端网络N可以用一个电压源Uoc—串联电阻Ro的等效电路来代替。

因此，原网络N的短路电流Isc应等于这个等效电路的短路电流，而这个等效电路的短路电流显然为Uoc/Ro，故得

见图3-9（b）。

由上式可得

3.4诺顿定理

一个含源二端网络N也可以简化为一电流源—并联电阻等效电路。

这个电流源的电流等于该网络N的短路电流Isc，并联电阻Ro等于该网络中所有独立电源为零值时所得网络N0的等效电阻Rab，见图3-10。

这就是诺顿定理（Norton’stheorem）。

例3-7用诺顿定理求图3-11电路中流过4Ω电阻的电流I。

解：

把原电路除4Ω电阻以外的部分（即图3-11中a-b右边部分）简化为诺顿等效电路。

（1）将拟化简的二端网络短路，如图3-12（a）所示，求短路电流Isc。

根据叠加定理可得

（2）将二端网络中的电源置零（即此电路中电压源短路），如图3-12（b）所示，求等效电阻Ro，可得

（3）求得诺顿等效电路后，将4Ω电阻接上，得图3-12（c），由此可得

3.5应用戴维南定理分析受控源电路

在学习叠加定理的时候曾经指出，叠加定理适合由独立源和线性元件组成的线性电路，而戴维南定理是由叠加定理推导而来的，因此，原则上戴维南定理是对含有独立电源和线性元件的电路而言的。

在运用戴维南定理分析含受控源的电路，在求等效电阻Ro时，必须计其受控源的作用，特别要注意不能像处理独立源那样把受控源也用短路或开路代替，否则将导致错误结果。

所以对于含受控源的二端网络可用如下方法求出等效电阻：

在无（独立）源二端网络两端施加电压U，如图3-13所示，计算端钮上的电流I，则

例3-8求图3-14所示电路的戴维南等效电路。

解：

先求开路电压Uoc，参见图3-14，此时I为零，电流控制电流源CCCS的电流0.5I也为零，相当于开路。

各电阻上也无电压，故得

Uoc=Uab=10V

由于这个电流中包含有CCCS，其电流为0.5I。

图中的I方向必须标出，因为作为受控源，电流0.5I所示的方向取决于控制量I的方向，没有I的方向，也就谈不上CCCS电流的方向。

下面求ab端的等效电阻，为此将原电路中的独立电压源用短路代替，根据图3-13所示的方法，在ab端施加电压U如图3-15（a）所示，得出I，从而求得ab端的等效电阻。

为了算出I，可把受控电流源变换为等效受控电压源，如图3-15（b）所示。

由基尔霍夫电压定律得

2000I-U-500I=0

即1500I=U

所以

故原电路的等效电路由10V的电压源与1500Ω电阻串联组成。

例3-9求含受控源电路的等效电路时，其内阻Ro也可根据端钮上的开路电压Uoc及短路电流Isc求得。

试用此方法求上例电路的等效电源内阻。

解：

在上例中已根据原电路求得

Uoc=10V

再把原电路ab端短路，如图3-16（a）所示。

注意一切电源均应保留（为什么？

）。

设短路电流的方向如图中所示，则CCCS电流为0.5Isc，且其方向应与图3-15（a）中的方向相反（为什么？

）。

经过电源等效变换得图3-16（b），由此可得

-10+2000Isc-500Isc=0

即1500Isc=10

因此

例3-10求图3-17（a）电路中流过R2的电流

解：

电源U2对电路两处供电，可以用两个电源来代替，如图3-17（b）所示。

图中ab左边的电路是拟简化的电路，这部分中a’b’左边的部分又是在逐步简化过程中可以先简化的部分。

对这部分来说

其等效电路如图3-17（c）中a’b’左边所示。

现在来简化ab左边的整个部分，其开路电压

Uoc=-rmIc1+R3Ic1

Ic1是ab开路时Ic之值，其值为

故得

下面计算ab端的短路电流Isc。

在短路时，R3的电压与受控源的电压相等，可表示为rmIc2，Ic2是ab短路时Ic之值。

又流过R3的电流为（Ic2-Isc），因此

rmIc2=R3（Ic2-Isc）

现在的问题是要把Ic2求出来，Isc即可解决。

看到R’o两端的电压为（U’oc-rmIc2），它应等于R’oIc2，故得

R’oIc2=U’oc-rmIc2

由此得

因此，算得

因此，等效电路的电阻Ro可以算得

最后求流过R2的电流I2应为

习题

3-1网络“A”与“B”联接如题图3-1所示，求使I为零得Us值。

3-2

（1）题图3-2电路中R是可变的，问电流I的可能最大值及最小值各为多少？

（2）问R为何值时，R的功率为最大？

3-3求题图3-3电路中3k电阻上的电压（提示：

3k两边分别化为戴维南等效电路）。

3-4试求题图3-4所示的桥式电路中，流过5Ω电阻的电流。

3-5试推导出题图3-5（a）所示电路的戴维南等效电路如图3-5（b）所示。

要求写出推导过程。

3-6求题图3-6所示电路的Ua。