31 数系的扩充 教案 高中数学苏教版 选修12.docx

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31数系的扩充教案高中数学苏教版选修12

第3章　数系的扩充与复数的引入

3．1

数系的扩充

●三维目标

1．知识与技能

了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位；理解复数的有关概念与复数的分类；理解并掌握复数相等的定义．

2．过程与方法

体会实际需要与数学矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

3．情感、态度与价值观

体会数学的发展来源于实践，又利于推动社会的发展进步和数学问题的解决，形成数学应用意识．

●重点、难点

重点：

对引入复数的必要性的认识，复数的基本概念和复数相等的充要条件．

难点：

虚数单位i的引入和复数的基本概念．

●教学建议

1．关于复数概念的教学

关于复数概念的教学，建议教师很好的利用课本中解决x2＝－1这一问题，让学生了解复数引入的背景，很好的理解虚数单位i的意义，以及复数的形式，掌握复数的实部与虚部的概念．

2．关于复数分类的教学

关于复数分类的教学，建议教师从复数的实部与虚部出发，让学生掌握复数的分类取决于实部与虚部的取值，并且通过例题让学生能够熟练地对复数的分类进行判断，另外注意与以前学过的数的衔接．

3．关于复数相等的充要条件的教学

关于复数相等的充要条件的教学，建议教师在教学中先让学生自学，再进行点拨，使学生从练习中体会将复数相等的问题转化为方程组解的问题的思想．

●教学流程

创设问题情景，结合知识点1、2中的问题引入复数的概念并分类，定义复数相等的充要条件．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握复数的概念、性质及应用．⇒通过例2及其互动探究，使学生理解复数的分类，求解的关键是列出实部、虚部应满足的条件（方程或不等式）．⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握两个复数相等的充要条件．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识和数学思想方法．

课标解读

1.理解复数的基本概念、复数的代数表示．（重点）

2．利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用．（重点、难点）

3．实部、虚部的概念．（易混点）

复数的概念及代数表示

【问题导思】　

　若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？

【提示】　有解，x＝±i.

1．虚数单位

我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：

（1）i2＝－1；

（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．

2．复数、复数集

（1）形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.

（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．

复数的分类与复数相等

1.复数分类

z＝a＋bi（a，b∈R），当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z是虚数；当a＝0且b≠0时，z是纯虚数．

2．复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，特别地，若a＋bi＝0⇔a＝b＝0.

复数的概念与性质

　判断下列命题是否正确？

为什么？

（1）若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；

（2）当z∈C时，z2≥0；

（3）若实数a与ai对应，则实数与纯虚数一一对应；

（4）若a＞b，则ai＞bi.

【思路探究】　

（1）理解复数的有关概念；

（2）命题真假的判断，可根据复数的概念通过举反例的形式进行．

【自主解答】　

（1）错误，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立．

（2）错误，当且仅当z∈R时，z2≥0成立，但z＝i时，z2＜0.

（3）错误，当a＝0时，ai＝0，此时不满足实数与纯虚数对应．

（4）错误，两个复数不全是实数不能比较大小．

综上可知

（1）、

（2）、（3）、（4）四个命题均不正确．

1．数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立，这是特别应注意的，以防思维定势．

2．在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件，利用举反例的形式否定一个命题是常用的方法．

　下列给出的四个命题：

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；

③若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；

④复数z＝－1＋i的虚部是i.

其中，正确的命题个数是________．

【解析】　由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．

两个虚数不能比较大小（除非均为实数），②错．

当a＝－1时，（a＋1）i＝0不是纯虚数，③错．

复数z＝－1＋i的虚部是1不是i，④错．

∴正确的命题个数是0个．

【答案】　0

复数的分类

　当实数m为何值时，复数z＝

＋（m2－2m）i为

（1）实数？

（2）虚数？

　（3）纯虚数？

【思路探究】　复数的分类标准→列出方程（不等式）（组）

→解出m→结论

【自主解答】　

（1）当

即m＝2.

∴当m＝2时，复数z是实数；

（2）当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，

复数z是虚数；

（3）由

得m＝－3.

∴当m＝－3时，复数z是纯虚数．

1．本例中，极易忽略对m≠0的限制，从而产生增根，应引起注意．

2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式（等式或不等式），求解参数时，考虑问题要全面．

　若例题中的复数“z＝

＋（m2－2m）i”改为复数“z＝

＋（a2－5a－6）i（a∈R）”试求当a为何值时，z是实数？

z是纯虚数？

【解】　

（1）当z为实数时，

则

∴

∴当a＝6时，z为实数．

（2）当z为纯虚数时，

则有

∴

∴不存在实数a使z为纯虚数．

复数相等的充要条件

　已知2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i，求实数x，y的值．

【思路探究】　根据两复数相等的充要条件：

实部、虚部分别相等，列方程组求解．

【自主解答】　∵x，y为实数，

∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，

由复数相等的定义，知

∴

因此实数x＝3，y＝－2.

1．本题的解题关键是两复数相等的充要条件，要注意只有在代数形式下确定实部、虚部后才能运用复数相等的条件．

2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．

　如果（x＋y）＋（x＋3）i＝（3x＋2y）＋yi，求实数x、y的值．

【解】　由两复数相等的充要条件知：

解得

∴实数x＝－1，y＝2.

对纯虚数的概念把握不准致错

　实数m取何值时，复数z＝

＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数？

【错解】　由题意得

＝0，

解之得m＝－2或m＝1.

∴当m＝－2或m＝1时，复数z是纯虚数．

【错因分析】　错解中忽略了“纯虚数的虚部不能为零”这一条件，从而产生了增解．

【防范措施】　1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件为

二者缺一不可．

2．对复数分类时，切记复数的实部、虚部要都有意义．

【正解】　要使复数z是纯虚数，则有

解得

∴m＝1.

故当m＝1时，复数z是纯虚数．

1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：

实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi（b≠0，b∈R）不要只记形式，要注意b≠0.

2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解，为利用方程思想提供了条件．

3．当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等．若两个复数全是实数，则可以比较大小；反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．（如a＋bi>0（a，b∈R）⇔a＞0且b＝0

1．以2i－

的虚部为实部，以

i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．

【解析】　2i－

的虚部为2，

i＋2i2的实部为－2.

∴所求的复数z＝2－2i.

【答案】　2－2i

2．（2013·无锡高二检测）若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.

【解析】　由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，即1＋xi＝y＋2i.

根据两个复数相等的充要条件得

故x＋yi＝2＋i.

【答案】　2＋i

3．若a－b－2i＝1＋bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝________.

【解析】　

∴

∴a2＋b2＝5.

【答案】　5

4．当实数m为何值时，z＝

＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数？

【解】　若z为纯虚数，则

解得m＝3.故m＝3时，z为纯虚数．

一、填空题

1．（2012·北京高考）设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的________条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）．

【解析】　因为复数a＋bi（a，b∈R）是纯虚数⇔a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi（a，b∈R）是纯虚数”的必要不充分条件．

【答案】　必要不充分

2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________.

【解析】　

∴a＝－4.

【答案】　－4

3．若复数z＝（x2－1）＋（x－1）i为纯虚数，则实数x的值为________．

【解析】　

∴x＝－1.

【答案】　－1

4．若复数z1＝a＋2i，z2＝bi，a，b均为实数，且z1＝z2，则a－b＝________.

【解析】　由z1＝z2，得a＝0，b＝2，

∴a－b＝－2.

【答案】　－2

5．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则有下列结论：

①A∪B＝C；②∁SA＝B；③A∩∁SB＝∅；④B∪∁SB＝C.

其中正确的是________．

【解析】　①显然错误；∁SA＝{虚数}，故②错误；A∩∁SB＝A，故③错误；④正确．

【答案】　④

6．（2013·连云港高二检测）设a∈R，且a＋2i2为正实数，则a的范围是________．

【解析】　a＋2i2＝a－2为正实数，

∴a－2＞0，则a＞2.

【答案】　（2，＋∞）

7．下列说法正确的个数是________．

①若（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，其中x∈R，y∈∁CR，其中C为复数集，则必有

②2＋i＞1＋i；

③若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；

④若一个数是实数，则其虚部不存在．

【解析】　①中，由y∈∁CR，C为复数集知，y是虚数，则

不成立，故①错误；

②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；

③中，对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时为纯虚数，若a＝－1，则（a＋1）i是0，不是纯虚数，故③错误；

④中，实数的虚部为0，故④错误．

【答案】　0

8．若log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）＞1，则实数x的值为________．

【解析】　

∴x＝－2.

【答案】　－2

二、解答题

9．若log2（m2－3m－3）＋ilog2（m－2）为纯虚数，求实数m的值．

【解】　由纯虚数的定义知

log2（m2－3m－3）＝0且log2（m－2）≠0，

∴

解得m＝4.

故实数m＝4.

10．（2013·徐州高二检测）已知复数z＝m（m－1）＋（m2＋2m－3）i，当实数m取什么值时，复数z是

（1）零；

（2）纯虚数；（3）z＝2＋5i.

【解】　

（1）由

可得m＝1；

（2）由

可得m＝0；

（3）由

可得m＝2；

综上：

当m＝1时，复数z是0；当m＝0时，复数z是纯虚数；当m＝2时，复数z是2＋5i.

11．定义运算

＝ad－bc，如果（x＋y）＋（x＋3）i＝

，求复数z＝y－xi.

【解】　由题意

＝（3x＋2y）＋yi，

∴（3x＋2y）＋yi＝（x＋y）＋（x＋3）i，（x，y∈R）．

由复数相等定义，得

解之得

∴复数z＝2＋i.

（教师用书独具）

已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实数根，求实数k的值．

【思路探究】　设出方程的实数根，代入方程，利用两个复数相等的充要条件建立方程组求解．

【规范解答】　设x0是方程的实数根，代入方程并整理得（x

＋kx0＋2）＋（2x0＋k）i＝0.

由两个复数相等的充要条件，得

解得

或

∴实数k的值为±2

.

（2013·常州高二检测）求适合等式（2x－1）＋i＝y＋（y－3）i的x、y值．其中x∈R，y是纯虚数．

【解】　设y＝bi（b∈R且b≠0）代入等式得

（2x－1）＋i＝bi＋（bi－3）i，

即（2x－1）＋i＝－b＋（b－3）i，

∴

解得

因此x＝－

，y＝4i.