第八讲三角函数同角及诱导公式经典难题复习巩固.docx
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第八讲三角函数同角及诱导公式经典难题复习巩固
DSE金牌化学专题系列
精典专题系列第8讲
任意角和弧度制及任意角的三角函数同角三角函数基本关系式与诱导公式
1、导入:
《难解的结》
古罗马时代,一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结,并且预言,将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。
长久以来,虽然许多人勇敢尝试,但是依然无人能解开这个结。
当时身为马其顿将军的亚历山大,也听说了关于这个结的预言,于是趁着驻兵这个城市之时,试着去打开这个结。
亚历山大连续尝试了好几个月,用尽了各种方法都无法打开这个结,真是又急又气。
有一天,他试着解开这个结又失败后,恨恨地说:
“我再也不要看到这个结了。
”
当他强迫自己转移注意力,不再去想这个结时,忽然脑筋一转,他抽出了身上的佩剑,一剑将结砍成了两半儿–结打开了。
大道理:
勇敢地跳出思想的绳索,打开心结。
过后会发现,事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。
积极一点,什么都会给你让路。
二、知识点回顾:
1.角的有关概念
(1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角.
(2)从终边位置来看,可分为象限角和轴线角.
(3)若α与β是终边相同的角,则β可用α表示为β=
{β|β=α+k·360°,k∈Z}(或{β|β=α+2kπ,k∈Z}).
2.象限角
象限角
集合表示
第一象限角的集合
2kπ<α<2kπ+ k∈Z}
第二象限角的集合
2kπ+<α<2kπ+π k∈Z}
第三象限角的集合
2kπ+π<α<2kπ+π k∈Z}
第四象限角的集合
2kπ-<α<2kπ k∈Z}
3.弧度与角度的互化
(1)1弧度的角
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示.
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=
(3)角度与弧度的换算①1°=rad;②1rad=()°
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad),半径为r,又l=rα,则扇形的面积为S=lr=|α|·r2
4.三角函数的定义
(1)定义:
设角α的终边与单位圆交于P(x,y),则
sinα=,cosα=,tanα=
(x≠0).
(2)几何表示:
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是坐标原点,正切线的起点都是单位圆与x轴正半轴的交点.
(3)正弦、余弦、正切函数值的符号规律.
正弦、余弦、正切函数值的符号规律可概括为“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
①“一全正”是指第一象限的三个三角函数值均为正.
②“二正弦”是指第二象限仅正弦值为正.
③“三正切”是指第三象限仅正切值为正.
④“四余弦”是指第四象限仅余弦值为正.
5.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1;
(2)商数关系:
tanα=.
6.诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
即α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号;±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
三、专题训练:
考点一象限角、终边相同的角的表示
【例1】
(1)如果α是第三象限的角,那么-α,2α的终边落在何处?
(2)写出终边在直线y=x上的角的集合.
[自主解答]
(1)由α是第三象限的角得π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z)
⇒--2kπ<-α<-π-2kπ.(k∈Z)
即+2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z).∴角-α的终边在第二象限;
由π+2kπ<α<+2kπ得2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).
∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.
(2)在(0,π)内终边在直线y=x上的角是,
∴终边在直线y=x上的角的集合为{α|α=+kπ,k∈Z}.
1.为第几象限角?
当k=2n时,+2nπ<<π+2nπ,
当k=2n+1时,π+2nπ<<π+2nπ
∴为第二或第四象限角.
2.已知角α是第一象限角,确定2α,的终边所在的位置.
解:
∵α是第一象限的角,
∴k·2π<α (1)k·4π<2α 即2k·2π<2α<2k·2π+π(k∈Z), ∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上. (2)k·π< 当k=2n(n∈Z)时,2nπ<<2nπ+(n∈Z),∴的终边在第一象限. 当k=2n+1(n∈Z)时,(2n+1)π<<(2n+1)π+(n∈Z),即2nπ+π<<2nπ+(n∈Z), ∴的终边在第三象限. 综上,的终边在第一象限或第三象限. 考点二三角函数的定义 【例2】已知角α的终边上一点P(-,m)(m≠0),且sinα=,求cosα,tanα的值. 由题设知x=-,y=m, ∴r2=OP2=(-)2+m2,得r=,从而sinα===, ∴r==2,于是3+m2=8,解得m=±. 当m=时,r=2,x=-,∴cosα==-,tanα=-; 当m=-时,r=2,x=-,∴cosα==-,tanα=. (1)已知角α的终边过点P(-3cosθ,4cosθ),其中θ∈(,π),求sinα,cosα,tanα的值. (2)已知角α的终边过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x,求sinα,tanα的值. 解: (1)∵θ∈(,π),∴-1 ∴r==-5cosθ,∴sinα=-,cosα=,tanα=-. (2)∵P(x,-)(x≠0), ∴点P到原点的距离r=,∴cosα=. 又∵cosα=x,∴=x. ∵x≠0,∴x=±,∴r=2. 当x=时,P(,-),由三角函数的定义,得sinα=-,tanα=-. 当x=-时,P(-,-),由三角函数的定义,得sinα=-,tanα=. 考点三同角三角函数基本关系式的应用 【例3】已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=. (1)求tanα的值; (2)把用tanα表示出来,并求其值. [自主解答] (1)法一: 联立方程 由①得cosα=-sinα, 将其代入②,整理得25sin2α-5sinα-12=0, ∵α是三角形内角,∴,∴tanα=-. 法二: ∵sinα+cosα=, ∴(sinα+cosα)2=()2,即1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-, ∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=. ∵sinαcosα=-<0且0<α<π,∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0, ∴sinα-cosα=,由,得,∴tanα=-. (2)=== ∵tanα=-,∴===-. 1.保持题目条件不变,求: 2sin2α+2sinαcosα的值. 解: 由例题可知tanα=- (1)===. (2)sin2α+2sinαcosα====-. 2.已知=,求下列各式的值: (1); (2)1-4sinθcosθ+2cos2θ. 解: 法一: 由=得sinθ=2cosθ. (1)===1; (2)1-4sinθcosθ+2cos2θ=sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ+2cos2θ=5cos2θ-8cos2θ+2cos2θ =-cos2θ=-=-=-. 法二: 由=得=,解得tanθ=2. 于是: (1)===1; (2)1-4sinθcosθ+2cos2θ= ===-. 考点四利用诱导公式化简、求值 【例4】 (1)设f(α)=(1+2sinα≠0),求f(-π)的值. (2)化简sin(nπ+π)·cos(nπ+π)(n∈Z). =[自主解答] (1)∵f(α)= ===, ∴f(-)====. (2)当n=2k(k∈Z)时, 原式=sin(2kπ+π)·cos(2kπ+π)=sinπ·cosπ =sin·(-cos)=×(-)=-. 当n=2k+1(k∈Z)时,原式=sin[(2k+1)π+π]·cos[(2k+1)π+π] =sin(π+π)·cos(π+π)=-sinπ·cos =-sin·cos=-×=-.∴原式=-. 1.化简(k∈Z). 解: 当k为偶数2n(n∈Z)时, 原式= ====-1; 当k为奇数2n+1(n∈Z)时, 原式====-1. ∴当k∈Z时,原式=-1. 2.(2010·全国卷Ⅰ)记cos(-80°)=k,那么tan100°=( ) A.B.-C.D.- [规范解答] cos(-80°)=cos80°=k,sin80°=,tan80°= ,tan100°=-tan80°=-. [答案] B 四、技法巧点总结: 1.常见的终边相同的角的表示 角α终边的位置 角α的集合 在x轴的非负半轴上 {α|α=2kπ,k∈Z} 在x轴的非正半轴上 {α|α=2kπ+π,k∈Z} 在y轴的非负半轴上 {α|α=2kπ+,k∈Z} 在y轴的非正半轴上 {α|α=2kπ+,k∈Z} 在x轴上 {α|α=kπ,k∈Z} 在y轴上 {α|α=kπ+,k∈Z} 在坐标轴上 {α|α=,k∈Z} 2.三角函数定义的拓展 已知角α终边上一点P(x,y),求α的三角函数值时,可先求出该点到原点的距离r,再利用下式求解: sinα=,cosα=,tanα=,这也可看作三角函数的定义. 3.三角函数求值应注意的问题 (1)由一个角的一个三角函数值求其他三角函数值时,要注意讨论角的范围. (2)注意公式的变形使用,弦切互化、三角代换、消元是三角代换的重要方法,要尽量减少开方运算,慎重确定符号. 4.应用同角三角函数基本关系式的常见规律 (1)sinα+cosα、sinα-cosα与sinαcosα的关系 (sinα+cosα)2=1+2sinαcosα; (sinα-cosα)2=1-2sinαcosα; (sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2; (sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα. 对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值. (2)“1”的代换 在求值、化简、证明时,常把1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算.使问题得以简化,常见的代换如下: 1=sin2α+cos2α,1=tan,1=(sinα+cosα)2-2sinαcosα. 5、巩固练习: 1.若点P在角π的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标为( ) A.(1,) B.(,-1) C.(-1,-)D.(-1,) 解析: 设P(x,y),则x=2cosπ=-1, y=2sinπ=,即P(-1,). 2.若角α的终边与角β的终边关于原点对称,则( ) A.α=β B.α=180°+β C.α=k·360°+β,k∈Z D.α=k·360°+180°+β,k∈Z 解析: 借助图形可知,若角α与β的终边关于原点对称, 则α=k·360°+180°+β. 3.(2011·大连模拟)点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为( ) A.(-,)B.(-,-) C.(-,-)D.(-,) 解析: 根据题意得Q(cos(-),sin(-)),即Q(-,-). 4.(2011·南昌模拟)已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在第________象限. 解析: 由题意知即 ∴α为第二象限角. 5.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是________. 解析: 设圆的半径为r,则sin1=, 即r= ∴弧长l=rα=. 6.已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值. 解: ∵角α的终边在直线3x+4y=0上, ∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0), 则x=4t,y=-3t, r===5|t|, 当t>0时,即x>0时,r=5t, sinα===-, cosα===, tanα===-; 当t<0时,即x<0时,r=-5t, sinα===, cosα===-, tanα===-. 综上可知,当角α的终边在直线3x+4y=0的x>0部分时, sinα=-,cosα=,tanα=-; 当角α的终边在直线3x+4y=0的x<0部分时, sinα=,cosα=-,tanα=-. 7.(2011·顺义模拟)已知△ABC中,tanA=-,则cosA=( ) A.B.C.-D.- 解析: 由tanA=-知A为钝角,cosA<0排除A和B,再由 tanA==-,和sin2A+cos2A=1求得cosA=-. 8.已知f(α)=,则f(-π)的值为( ) A.B.-C.-D. 解析: ∵f(α)==-cosα, ∴f(-π)=-cos(π)=-cos(10π+) =-cos=-. 9.(2011·宁波模拟)已知实数u,v,定义运算u*v=(u-1)v.设u=cosθ+sinθ,v=cosθ-sinθ-1,则当≤θ≤时,u*v的值域为( ) A.[-,]B.[-,0]C.[0,4]D.[1-,] 解析: u*v=(cosθ+sinθ-1)×(cosθ-sinθ-1) =2(cos2θ-cosθ)=2(cosθ-)2-, 当≤θ≤时,cosθ∈[-,], 所以(u*v)∈[-,]. 10.sin21°+sin22°+…+sin290°=________. 解析: 原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+… +(sin244°+sin246°)+sin245°+sin290° =(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+ cos244°)++1= ++1=45. 11.f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a、b、α、β均为非零实数),若f(2011)=6,则f(2012)=________. 解析: f(2011)=asin(2011π+α)+bcos(2011π+β)+4=-asinα-bcosβ+4=6, ∴asinα+bcosβ=-2, ∴f(2012)=asin(2012π+α)+bcos(2012π+β)+4=asinα+bcosβ+4=4-2=2. 12.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根. (1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值; (2)求tan(π-θ)-的值. 解: 由已知原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0, ∴a≥4或a≤0. 又,(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ, 则a2-2a-1=0, 从而a=1-或a=1+(舍去), 因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-. (1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ =(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ) =(1-)[1-(1-)]=-2. (2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+) =-=-=1+. 六、反思总结: 当堂过手训练(快练五分钟,稳准建奇功! ) 1.终边与坐标轴重合的角α的集合为( ) A.{α|α=k·360°,k∈Z} B.{α|α=k·180°,k∈Z} C.{α|α=k·90°,k∈Z} D.{α|α=k·180°+90°,k∈Z} 解析: 终边与坐标轴重合的角α的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}. 答案: C 2.点P(tan2012°,cos2012°)位于( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析: ∵2012°=360°×6-148°, ∴2012°与-148°的终边相同, ∴2012°是第三象限角, ∴tan2012°>0,cos2012°<0. ∴P点在第四象限. 3.已知角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在( ) A.x轴上B.y轴上 C.直线y=x上D.直线y=-x上 解析: 由角α的余弦线长度为1分析可知,角α的终边与x轴重合. 答案: A 4.已知角α的终边过点(-1,2),则cosα=________. 解析: cosα===-=-. 5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为________,面积为________. 解析: 弧长l=3π,圆心角α=π, 由弧长公式l=α·r得r===4, 面积S=lr=6π. 6.(2010·全国卷Ⅰ)cos300°=( ) A.- B.- C.D. 解析: cos300°=cos(360°-60°)=cos60°=. 7.已知点P(sin,cos)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( ) A.B. C.D. 解析: r==1,由三角函数的定义, tanθ===-1. 又∵sin>0,cos<0,∴P在第四象限. ∴θ=. 答案: D 8.(2011·海口模拟)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是( ) A.(,)B.(π,π) C.(,π)D.(,)∪(π,π) 解析: 由已知得,解得α∈(,)∪(π,). 答案: D 9.“tanα=”是“sinα=-”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 因为tanα==,sin2α+cos2α=1,所以sinα=±,当sinα=-时,tanα=±,所以“tanα=”是“sinα=-”的既不充分也不必要条件. 10.(2011·镇江模拟)已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=( ) A.-B.C.-D. 解析: sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ = ===. 答案: D 二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分) 11.若角α的终边落在直线y=-x上,则+的值等于________. 解析: 因为角α的终边落在直线y=-x上,α=kπ+,k∈Z,sinα,cosα的符号相反.当α=2kπ+, 即角α的终边在第二象限时,sinα>0,cosα<0; 当α=2kπ+,即角α的终边在第四象限时, sinα<0,cosα>0. 所以有+=+=0. 答案: 0 三、解答题(共3小题,满分35分) 12.设α为第四象限角,其终边上的一个点是P(x,-),且cosα=x,求sinα和tanα. 解: ∵α为第四象限角,∴x>0 ∴r= ∴cosα===x ∴x= ∴r==2 13.已知sinθ+cosθ=,且0≤θ≤π,求sinθ-cosθ. 解: ∵sinθ+cosθ=, ∴两边平方得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=, 即1+2sinθcosθ=,2sinθcosθ=-. ∴<θ<π,∴sinθ>0,cosθ<0. ∴sinθ-cosθ= ==. ∴sinα===-. tanα===-. 14.已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径长为6, (1)求 的弧长; (2)求弓形OAB的面积. 解: (1)∵α=120°=,r=6, ∴ 的弧长为l=×6=4π. (2)∵S扇形OAB=lr=×4π×6=12π, S△ABO=r2·sin=×62×=9, ∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12π-9. 7.已知sin(α+)=,α∈(-,0),则tanα等于( ) A.-2B.2 C.-D. 解析: ∵sin(α+)=,α∈(-,0) ∴cosα= ∴sinα=-=- ∴tanα==-2. 8.若tanα=2,则的值是( ) A.-B.- C.D. 解析: ∵tanα=2, ∴===-. 9.在△ABC中,cosA=,则sin(B+C)=________. 解析:
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