上海市浦东新区学年高二第一学期期末质量测试数学试题.docx
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上海市浦东新区学年高二第一学期期末质量测试数学试题
上海市浦东新区2020-2021学年高二第一学期期末质量测试数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、填空题
1.直线
的倾斜角为_____________________
2.直线
与
的距离是________________
3.直线
的一个方向向量可以是________.
4.若某线性方程组对应的增广矩阵是
,且此方程组有唯一一组解,则实数m的取值范围是________.
5.正方形
中,点
为坐标原点,且向量
,边
所在直线的点法向式方程为______.
6.直线
与直线
互相垂直,则实数
=____.
7.设直线
和圆
相交于点A、B,则弦AB的长度是_________.
8.已知向量
,
.若向量
在
方向上的投影为6,则实数
_________.
9.若数列
是首项为1,公比为
的无穷等比数列,且
各项的和为
,则
的值是____.
10.设
,则
的最大值是____
11.在△
中,
,
,
,则线段
长的最小值为____________.
二、单选题
12.直线
关于直线
对称的直线方程是( )
A.
B.
C.
D.
13.用数学归纳法证明
,在证明
等式成立时,等式的左边是
A.
B.
C.
D.
14.下列方程是圆
的切线方程的是()
A.
B.
C.
D.
15.已知
中,
,
,点
是
边上的动点,点
是
边上的动点,则
的最小值为()
A.
B.
C.
D.
三、解答题
16.已知向量
,
,
.
(1)当
,求向量
与
的夹角大小.
(2)
∥
,求实数
的值.
17.已知定点
,动点
满足行列式
,求线段
的中点
的轨迹方程
18.在直角坐标平面内,
、
分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,
对任意正整数n,
.
(1)若实数
,求
;
(2)设
证明点
在直线
上.
19.已知点
在直线
(
)上,点
在函数
图像上,过
作
轴的垂线,垂足为
,
(1)当
时,数列
前
项和是
,设
,求
;
(2)当
时,设
,求
的值.
20.一束光从从光源
射出,经
轴反射后(反射点为
),射到线段
上
处.
(1)若
,
,求光从
出发,到达点
时所走过的路程;
(2)若
,求反射光的斜率的取值范围;
(3)若
,求光从
出发,到达点
时所走过的最短路程.
参考答案
1.
【解析】
试题分析:
根据题意,由于直线
的斜率为y=x-1,即可知斜率为1,借助于特殊角的正切值为1可知,其倾斜角为
,故答案为
考点:
直线的斜率与倾斜角
点评:
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题.
2.3
【解析】
【分析】
利用两条平行直线间的距离公式可得:
,可得到答案。
【详解】
由两条平行直线间的距离公式可得:
.
【点睛】
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
.
3.(2,1)
【解析】
【分析】
由直线
,可以知道直线方程为
,从而可以得到直线的方向向量。
【详解】
由题意知,
,故直线
的一个方向向量可以是
.
【点睛】
本题考查了直线的方向向量的求法,直线Ax+By+C=0的一个方向向量是
,属于简单题。
4.m≠±2
【解析】
因为方程组有唯一解,所以
,即
,所以填
.
5.
【分析】
分别求出直线
的法向量和它经过的一个点
,即可写出它的点法向式方程.
【详解】
由题意知
是直线
的法向量,且直线
经过点
,故边
所在直线的点法向式方程为
.
【点睛】
本题考查直线的法向量,直线的点法向式方程,属于基础题.
6.1或2
【解析】
【分析】
利用两直线垂直的充要条件,列方程求解即可。
【详解】
由题意知,
,解得
或者
.
【点睛】
直线
与
垂直的充要条件:
.
7.
【分析】
先求出圆的圆心和半径
,然后求出圆心到直线
的距离
,则弦AB的长度为
.
【详解】
圆的方程为:
,圆心
到直线
的距离为
,
则弦AB的长度为
.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程,点到直线的距离公式,圆中弦长的计算,属于基础题.
8.
【分析】
由向量
在
方向上的投影为
,代入计算即可得到答案.
【详解】
由题意知,
,
因为向量
在
方向上的投影为
,所以
,解得
.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算,向量的数量积,及一个向量在另一个向量上的投影,考查了学生分析能力及计算能力,属于基础题.
9.2
【分析】
由无穷等比数列
各项的和为
,结合等比数列的前n项和公式列方程求解即可.
【详解】
由题意知,
,
,且
,所以
各项的和
,解得
或
,因为
,所以只有
满足题意.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n项和公式与极限思想,属于基础题.
10.
【解析】
【分析】
设
,可得
,代入
中,可以得到关于
的一元二次方程,令
,即可求出
的范围,进而得到
的最大值。
【详解】
设
,则
,代入
中,
可得
,即
,
则关于
的一元二次方程有解,
即
,
解得
,即
,
故
的最大值是
.
【点睛】
本题主要考查了利用函数法求最值的问题,解题的关键就是构造一个一元二次方程,根据判别式求范围,属于中档题。
11.
【分析】
由
,可以求出
,由
,即可求出答案.
【详解】
由题意知
,可得
,
则
,(当且仅当
,即2
时取“=”.)
故
,即线段
长的最小值为
.
【点睛】
本题考查向量的数量积,向量的模,向量在几何中的应用,及基本不等式求最值,属于中档题.
12.A
【解析】
【分析】
所求直线的斜率与直线
的斜率互为相反数,且在
处有公共点,求解即可。
【详解】
直线
与直线
的交点为
,则所求直线过点
因为直线
的斜率为
,所以所求直线的斜率为
,
故所求直线方程为
,即
.
故答案为A.
【点睛】
本题考查了直线的斜率,直线的方程,直线关于直线的对称问题,属于基础题。
13.D
【解析】
【分析】
由
知,
时,等式的左边是
,即可得到答案.
【详解】
由
知,
时,等式的左边是
,故答案为D.
【点睛】
本题考查了数学归纳法的步骤,考查了学生对基础知识的掌握情况,在平常学习中要重视基础知识.
14.C
【解析】
试题分析:
已知圆的圆心为
,半径为1,圆心
只有到直线
的距离为1,即此直线与圆相切.故选C.
考点:
直线与圆的位置关系.
15.C
【分析】
建立直角坐标系,
,
,
,设
,
,
,
,即可得到
,结合m,n的范围即可求出最小值.
【详解】
如图建立平面直角坐标系,
,
,
,设
,
,
,
,则
,
,
,
因为
,所以
,即
的最小值
.
故答案为C.
【点睛】
本题考查了向量的坐标表示,向量的数量积,向量在平面几何中的应用,属于基础题.
16.
(1)
(2)
【分析】
(1)由
,求解即可;
(2)由平行向量的性质列方程求解即可.
【详解】
(1)设向量
与
的夹角为
,
∵
,
,
∴
.
∵
,∴
,即向量
与
的夹角为
.
(2)
∥
【点睛】
本题考查了向量夹角的求法,考查了平行向量的性质,属于基础题.
17.
【解析】
【分析】
点
在
上,设
,由中点坐标公式可得
,代入圆
即可得到答案.
【详解】
设
,
,
为所求点
的轨迹方程.
【点睛】
代入法求轨迹方程,适合已知的轨迹方程的点与所求动点有固定关系,用所求轨迹方程的点的坐标表示已知轨迹方程的点的坐标,然后代入已知的轨迹方程,从而求出动点的坐标所满足的方程.
18.
(1)
=
(2)见解析
【分析】
(1)将
代入,由
,即可求出答案;
(2)由
,可知
,结合
,得到
,
,进而可以求出
的坐标
,即可证明点
在直线
上.
【详解】
(1)
,
=
(2)设
,则
,
所以
;
即
满足方程
,所以点
在直线
上.
【点睛】
本题考查了向量的坐标表示及运算,考查了点与直线的位置关系,属于基础题,解题时要认真审题,注意挖掘题中的条件.
19.
(1)
(2)
【分析】
(1)由题意知
(
),可知
是等比数列,进而可以求出
,
,
,由
,可得到答案;
(2)先求出
,进而可知道
,可知
是以
为首项,
为公比的等比数列,结合
及等比数列的前
项和公式,可求出
.
【详解】
由题意知,
,
.
(1)当
时,
,
,
,
(2)
,
当
时,
当
时,
当
时,
(n
)是以
为首项,
为公比的等比数列,n=1时,
也符合题意.
【点睛】
本题考查了数列与函数的综合问题,考查了数列的极限,考查了三角形的面积公式,属于中档题.
20.
(1)
(2)
(3)
【分析】
(1)求出
关于
轴的对称点
,进而可以求出反射光线所在直线
,从而可以求出
,求出
即可;
(2)将
代入线段
中,结合
关于
轴的对称点
,可求出反射光斜率的取值范围;(3)分析可知反射光与直线
垂直时,光所走过的路程最短,可求出反射光线所在直线的方程,进而求出反射直线与
的交点,然后分别讨论交点在线段上与不在线段上,可求出对应的最短路程.
【详解】
(1)
关于
轴的对称点
,
,则此时
所以光所走过的路程即
(2)对于线段
,令其端点
则
,所以反射光斜率的取值范围是
(3)若反射光与直线
垂直,光所走过的路程最短,则由
①当
,即
时,光所走过的最短路程为点
到直线
的距离,
所以路程
;
②当
,即
时,光所走过的最短路程为线段
,其中
所以
综上:
【点睛】
本题考查了直线的方程,考查了点关于直线的对称问题,考查了斜率问题,距离问题,属于中档题.
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- 上海市 浦东新区 学年 第一 学期 期末 质量 测试 数学试题