概率论与数理统计复习提纲doc.docx
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1含关系:
AcB,
2等价关系:
A=B,
3互不相容(互斥):
④对立关系(互逆):
A,事件3发生事件A必不发生,反之也成立;
互逆满足<
A AA=0 第一章随机事件及其概率 一、随机事件及其运算 1.样本空间、随机事件 1样木点: 随机试验的每一个可能结果,用仍表示; 2样本空间: 样本点的全集,用Q表示; 注: 样本空间不唯一. 3随机事件: 样本点的某个集合或样本空间的某个子集,用A,B,C,…表示; 4必然事件就等于样木空间;不可能事件(0)是不包含任何样木点的空集; 5基本事件就是仅包含单个样本点的子集。 2.事件的四种关系 事件A发生必有事件B发生; 事件A发生必有事件B发生,且事件B发生必有事件A发生;AB=0,事件A与事件B—定不会同时发生。 注: 互不相容和对立的关系(对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件。 ) 3.事件的三大运算 1事件的并: AuB,事件A与事件B至少有一个发生。 若49=0,则 2事件的交: AnB^AB,事件A与事件B都发生; 3事件的差: A-B,事件A发生且事件B不发生。 4.事件的运算规律 1交换律: AuB=BuA,AB=BA 2结合律: == 3分配律: ^u(5nC)=(? fu5)n(^uC),? Jn(5uC)=(? Jn5)u(/JnC) ④德摩根(DeMorgan)定律: A 对于n个事件,有 nn LJ4=门4, nn A4-U4 二、随机事件的概率定义和性质 1.公理化定义: 设试验的样本空间为Q,对于任一随机事件JG4cQ), 都有确定的实值P(A),满足十*列性质: (1)非负性: P(A)>0; (2)规范性: P(Q)=1; kk (3)有限可加性(概率加法公式): 对于A个互不相容事件為,冯…,小,有= /=1z=i 则称P(A)为随机事件A的概率. 2.概率的性质 ①P(Q)=1,尸(0)=0②尸(])=1-P(A) 3若Jc5,贝ljP(A) 4P(Au5)=P(d)+P(B)-P(AB) P(AuB 注: 性质的逆命题不一定成立的.如若尸04)2尸(5),贝Ud(=5。 (X)若PG4)=0,贝以=0。 (X) 三、古典概型的概率计算 古典概型: 若随机试验满足两个条件: ①只有有限个样本点, ②每个样本点发生的概率相同,则称该概率模型为古典概型,p(a)=L。 n 典型例题: 设一批产品共/V件,其中有件次品,从这批产品中随机抽取77件样品,则 (1)在放回抽样的方式下,取出的/H牛样品中恰好有/〃件次品(不妨设事件4)的概率为 Nn 尸⑷ (2)在不放回抽样的方式下,取出的/? 件样品中恰好有件次品(不妨设事件A)的概率为 Cn, 四、条件概率及其三大公式 1•条件概率: P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A\B) p(4為…4,)=p(4)尸(為14)尸(為14為)•••p(4,14…4,_,) 3.全概率公式: 若我,B2,…,BJ两足\」尽=Q,忍义=0,kj,则 1= P(A)=YPWP^A\Bi^ /=1 4.贝叶斯公式: 若事件S,,S2,…,氏和/f如全概率公式所述,且P(A)>0, 则P(Bi\A)=- ~n. /=i 五、事件的独立1.定义: 若PG4S)=PG4)P(5),则称A,B独立. 推广: 若4,為,…,4: 相互独立,尸(4…O户(4)…户(4,) 2.在{j,5},p,巧,p,5},{],司四对事件中,只要有一对独立,则其余三对也独立。 P(AB)=P(A)P(B) 3.三个事件A,B,C两两独立: P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) 注: Z7个事件的两两独立与相互独立的区别。 (相互独立=>两两独立,反之不成立。 ) 4.伯努利概型: P人k)=Cknpkqn'k二似工…,n,q=X-P. 1.事件的对立与互不相容是等价的。 (X) 2•若P(//)=0,则J=0。 (X) 3.若尸⑶=0.1,P(B)=0.5,则尸(J5)=0.05。 (X) 4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为++i应C。 (V) 5.n个事件若满足VZ,V(4O戸(4)八為),则n个事件相互独立。 (X) 6.当时,有P(B-A)=P(B)-P(A)。 (V) 第二章随机变量及其分布 一、随机变量的定义: 设样本空间为Q,变量^=;V(6y)为定义在£1上的单值实值函数,则称Y为随 机变量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值。 二、分布函数及其性质 1.定义••设随机变量X,对于任意实数xe7? 函数F(x)二称为随机变量X的概率分布 (1)J是离散随机变量,并有概率函数pU/V=l,2,...,则有 Xj (2)X连续随机变量,并有概率密度f(x),KlJ=P(X W—oo 2.分布函数性质: (1厂(%)是单调非减函数,即对于任意;〈%2,^F(x,) (20 x—>-oox—>+oo (3离散随机变量/,ACv)是右连续函数,即F(X)=F(X+0);连续随机变量X,在(―,+〜)上处处连续。 注: 一个函数若满足上述3个条件,则它必是某个随机变量的分布函数。 三、离散随机变量及其分布 1.定义.设随机变量J只能取得冇限个数值;v,,;v2,…,&,或可列无穷多个数值;q,;v2,…,&,…,且 P(X=Xi)=Pi(z=l,2,...),则称/为离散随机变量,AU=l,2,...)为Z的概率分布,或概率函数(分布律). 注: 概率函数A的性质: ⑴A々(),/=1,2,…; (2)[p,.=l 審 / 2.儿种常见的离散随机变量的分布: (1)超几何分布,X〜H(N,M,n), P{X=k}= =0,1,2,…,w (2)二项分布,X〜B(n.,p),P〈x=k)=cknPk(i-Prk々=o,i,…,n当n=l时称X服从参数为p的两点分布(或0—1分布)。 服从二项分布 77 若Xz.(i=l,2,n)服从同一两点分布且独立,则 (3)泊松(Poisson)分布,X〜P (2), P{X=k}= k\ (义〉0),仑=0,1,2,... 四、连续随机变量及其分布 1.定义.若随机变量J的取值范围是某个实数区间人且存在非负函数f(x),使得对于任意区间(a,b]c/,布 =j/0)6/x,则称7为连续随机变量;函数r~称为连续随机变量7的概率密度函数,简称概率密度。 注1: 连续随机变量/任取某一确定值的x()概率等于0,即PG¥=*o)=O; fX2 注2:
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