北师大版初二上勾股定理讲义.docx
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北师大版初二上勾股定理讲义
第一章:
勾股定理
◆1.1探索勾股定理
1.勾股定理的探索
如图,在单位长度为1的方格纸中画一等腰直角
三角形,然后向外作三个外正方形:
观察图形可知:
(1)各正方形的面积:
正方形①的面积S1为1,正方形②的面积S2为1,正方形③的面积S3为2;
(2)各正方形面积之间的关系:
S1+S2=S3;
(3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是:
两直角边的平方和等于斜边的平方.
【例1】如图,Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中,它的外围是以它的三条边为边长的正方形.回
答下列问题:
(1)a2=__________,b2=__________,
c2=__________;
(2)a,b,c之间有什么关系?
(用关系式表示)
2.勾股定理
(1)勾股定理的有关概念:
如图所示,我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边,用弦(c)来表示斜边.
(2)勾股定理的内容:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即:
勾2+股2=弦2.
(3)勾股定理的表示方法:
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C
的对边分别为a,b,c,则a2+b2=c2.
辨误区应用勾股定理的几个误区
(1)勾股定理的前提是直角三角形,对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系.
(2)利用勾股定理时,必须分清谁是直角边,谁是斜边.尤其在记忆a2+b2=c2时,此关系式只有当c是斜边时才成立.若b是斜边,则关系式是a2+c2=b2;若a是斜边,则关系式是b2+c2=a2.
(3)勾股定理有许多变形,如c是斜边时,由a2+b2=c2,得a2=c2-b2,b2=c2-a2等.熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助.
【例2-1】在△ABC中,∠C=90°,
(1)若a=3,b=4,则c=__________;
(2)若a=6,c=10,则b=__________;
(3)若a
∶b=3∶4,c=5,则a=__________,b=__________.
【例2-2】有一飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000m处,过了20s,飞机距离这个男孩头顶5000m,那么飞机每时飞行多少千米?
3.勾股定理的验证
方法1:
用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)构成如图所示的正方形.
由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得
(a+b)2=c2+4×
ab.化简可得:
a2+b2=c2.
方法2:
用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)构成如图所示的正方形.
由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得
c2=(b-a)2+4×
ab.化简可得:
a2+b2=c2.
方法3:
用两个完全相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)构成如图所示的梯形.
由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得:
(a+b)(a+b)=2×
ab+
c2.化简可得:
a2+b2=c2.
说明:
勾股定理的验证还有很多方法.
在一些几何问题中,利用图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积就不会改变.
利用拼图来验证勾股定理,就是根据同一种图形(或两个全等的图形)面积的不同表示方法列出等式,从而推导出勾股定
理.
【例3】在北京召开的第24届国际数学家大
会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,那么(a+b)2的值为( ).
A.169B.144C.100D.25
4.利用勾股定理求长度
利用勾股定理求长度,关键是找出直角三角形或构造直角三角形,把实际问题转化为直角三角形问题.
常见的方法有:
(1)利用高(作垂线)构造直角三角形;
(2)利用已知直角构造直角三角形;
(3)利用勾股定理构造直角三角形.
已知直角三角形的两边,求第三边,关键是弄清已知什么边,求什么边,用平方和还是用平方差.
【例4】如图,校园内有两棵树,相距12m,一棵树高13m,另一棵树高8m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,至少要飞多少米?
5.利用勾股定理求面积
(1)利用勾股定理求面积,关键是注意转化思想的应用.把所求的面积转化到已知的数量关系中去.
如求图中阴影部分的面积,可转化为中间正方形的面积,而中间正方形的面积等于右侧直角三角形短直角边的平方,借助于右侧的直角三角形,
利用勾股定理解答即可.
(2)利用勾股定理求面积,还要注意整体思想的应用.
【例5】如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4m,高3m,长20m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计
墙的厚度,请计算阳光透过的最大面积.
6.勾股定理与方程相结合的应用
(1)在进行直角三角形的有关计算时,一般要运用勾股定理,在运用过程中,有时直接运用,有时是通过勾股定理来列方程求解.
具体问题如下:
①已知直角三角形的两边,求第三边的长;
②说明线段的平方关系;
③判断三角形的形状或求角的大小;
④解决实际问题.
(2)利用勾股定理解决生活中的实际问题时,关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形),利用列方程或方程组来解决.
(3)勾股定理与代数中的平方差公式相结合,解决此类问题可以先根据勾股定理列出关于两
直角边的数量关系式,再通过恒等变形巧妙求解.
【例6】如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角,已知滑杆AB长2.5m,顶端A在AC上运动,量得
滑杆下端B距C点的距离为1.5m,当端点B向右移动0.5m时,求滑杆顶端A下滑了多少米?
◆中考实战演练
1、(山东聊城中考)河坝横断面如右上图所示,堤高
,则
。
2、(四川达州中考)如图是一株美丽的勾股数,其中所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是
3、(贵州安顺中考)下图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到如图所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(右图的实线部分)是
4、(湖北孝感)[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b为底,以
为高的直角梯形(如图2),请你利用图2,验证勾股定理;
[知识拓展]
利用图2中的直角梯形,我们可以证明
其证明步骤如下:
。
又∵在直角梯形ABCD中有BCAD(填大小关系),即,
………………………………………………………………………………
◆1.2一定是直角三角形吗
1.勾股定理的逆定理
(1)勾股定理的逆定理的内容:
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
(2)勾股定理的逆定理的释疑:
不少的同学对知道三角形三边满足a2+b2=c2能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度,其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来.比如:
如果在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,并且满足a2+b2=c2
(如图所示),那么∠C=90°.
作△A1B1C1,使∠C1=90°,B1C1=a,C1A1=b,则A1B
=a2+b2.
∵a2+b2=c2,∴A1B1=c(A1B1>0).在△ABC和△A1B1C1中,
∵BC=a=B1C1,CA=b=C1A1,AB=c=A1B1,∴△ABC≌△A1B1C1.∴∠C=∠C1=90°.
辨误区勾股定理的逆定理的条件
(1)不能说成在直角三角形中,因为还没有确定直角三角形,当然也不能说“斜边”和“直角边”.
(2)当满足a2+b2=c2时,c是斜边,∠C是直角.
利用勾
股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是:
先确定最长边,算出最长边的平方及另两边的平方和,如果最长边的平方与另两边的平方和相等,则此三角形为直角三角形.
对啊!
到目前为止判定直角三角形的方法有:
①说明三角形中有一个直角;②说明三角形中有两边互相垂直;③勾股定理的逆定理.
【例1】如图所示,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD=12,BD=13,问:
AD⊥AB吗?
试说明理由.
2.勾股定理的逆定理与勾股定理的关系
勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的,而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的.
(1)勾股定理是直角三角形的
性质定理,勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,二者是互逆的.
(2)联系:
①两者都与a2+b2=c2有关,②两者所讨论的问题都是直角三角形问题.
(3)区别:
勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形三边的数量关系“a2+b2=c2”;勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是“直角三角形”.
(4)二者关系可列表如下:
定理
勾股定理
勾股定理的逆定理
内容
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
题设
直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c
三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2
结论
a2+b2=c2
三角形是直角三角形
用途
是直角三角
形的一个性质
判定直角
三角形的一种方法
【例2】如图,在△ABC中,D为BC边上的点,已知:
AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求DC.
3.勾股数
勾股数:
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
(1)由定义可知,一组数是勾股数必须满足两个条件:
①满足a2+b2=c2;②都是正整数.缺一不可.
(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2+b2=c2(但不一定是勾股数),以它们为
边长的三角形是直角三角形,比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm
为边长的三角形是直角三角形.
【例3】①7,24,25;②8,15,19;③0.6,0.8,1.0;④3n,4n,5n(n>1,且为自然数).
上面各组数中,勾股数有______组.(
).
A.1B.2C.3D.4
【例4】如图是一农民建房时挖地基的平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你帮他看一下,挖的地基是否合格?
5.利用非负数的性质判定三角形的形状
在由一个等式求三角形的三边长时,往往先把等式化为a2+b2+c2=0的形式,再由a=0,b=0,c=0,求得三角形三边之长,利用计算来判断△ABC是否是直角三角形.
谈重点判定三角形的形状
由条件等式来判断三角形的形状,就是将已知的条件等式变形,再根据它的结构特点,得出a,b,c的关系,从而判断三角形的形状.
【例5】如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试说明这个三角形是直角三角形.
6.勾股定理及其逆定理的综合应用
(1)利用勾股定理解决生活中的实际问题时,关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)来解决.
(2)综合运用勾股定理及其逆定理,将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法,在这里,一方面要熟记常用的勾股数;另一方面要注意到:
如果一个三角
形的三边长
已知或具有某些比例关系,那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形.
【例6】如图所示,在四边形ABCD中,AD=3cm,AB=4cm,∠BAD=90°,BC=12cm,CD=13cm.求四边形ABCD的面积.
◆中考实战演练
1、(广东湛江中考)下列四组线段中,可以构成直角三角形的是()
A.1,2,3B.2,3,4C.6,8,10D.4,5,6
2、(山东滨州中考)在△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8(AD在△ABC内),则BC=
3、(辽宁丹东市)已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.
4、(广西南宁)如图,每个小正方形的边长为1,
的三边
的大小关系式()
A.
B.
C.
D.
………………………………………………………………………………
◆1.3勾股定理的应用
1.长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离
长方体(或正方体)是立体图形,但它的每个面都是平面.若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易,若计算不同面上的两点之间的距
离,就必须把它们转化到同一个平面内,即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面,使计算距离的两个点处在同一个平面中,这样就可以利用勾股定理加以解决了.所以立体图形中求两点之间的
最短距离,一定要审清题意,弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题.
谈重点长方体表面上两点间最短距离
因为长方体的展开图不止一种情况,故对长方体相邻的两个面展开时,考虑要全面,不要有所遗漏.不过要留意展开时的多种情况,虽然看似很多,但由于长方体的对面是相同的,所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开,前面和上面展开,左面和上面展开,从而比较取其最小值即可.
【例1-1】如图①是一个棱长为3cm的正方体,它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形,其边长为1cm.现在有一只爬行速度为2cm/s的蚂蚁,从下底面的A点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B点,小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来,是2.5s.经过简短的思考,小明先是脸上露出了惊讶的表情,然后又露出了欣赏的目光.
你
知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗?
【例1-2】如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?
最短路线长为多少?
2.圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离
圆柱体(或圆锥体)是立体图形,从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线,那么怎样确定哪一条是最短的呢?
解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开,
转化
为平面图形,应用勾股定理解决,而不能盲目地凭感觉来确定.
【例2】如图①所示,一只蚂蚁在底面半径为20cm,高为30πcm的圆柱下底的点A处,发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫,便决定捕捉这只小昆虫,为了不引起这只小昆虫的注意,它故意不走直线,而绕着圆柱,沿一条螺旋路线,从背后对小昆虫进行突然袭击,结果蚂蚁偷袭成功,得到了一顿美餐.根据上述信息,请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫?
3.生活中两点间的最短距离
用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形,再正确利用两点之间线段最短解答.
【例3】如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为5dm,3dm和1dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少?
4.如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题
利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题,重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型),将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”,再转化为“数”.解题的关键是深刻理解题意,并画出符合条件的图形.
解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形,具体步骤是:
(1)把立体图形展成平面图形;
(2)确定点的位置;
(3)确定直角三角形;
(4)分析直角三角形的边长,用勾股定理求解.
【例4】如图①,圆柱形玻璃容器的高为18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点S处有一只蜘蛛,在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点F处有一只苍蝇,急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.
5.勾股定理与方程相结合的应用
方程思想是一种重要的数学思想.所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手,将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组),然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式.而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础.故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合.方程思想是勾股定理中的重要思想.
【例5】如图,有一张直角三角形状纸片ABC,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?
◆中考实战演练
(广西南宁中考)在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是
………………………………………………………………………………
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………………………………………………………………………………
第一章:
勾股定理章末总结
【基础知识】
1、勾股定理:
如果直角三角形的两条直角边长分别是
,斜边长为
,那么
;
2、勾股定理的证明方法:
一般是通过剪拼,借助面积进行证明,其中依据的是图形经过割补拼接后,只要没有重叠、没有空隙,面积不变;
3、勾股定理的应用条件:
勾股定理只适用于直角三角形,所以常作辅助线
高,构造直角三角形;
4、勾股定理的应用:
①已知直角三角形的两边,求第三边;②表示长度为无理数的线段;③在数轴上作出表示无理数的点;
5、勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长
满足
,那么这个三角形是直角三角形;
点拨:
①能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数。
若
是一组勾股数,则
(
是正整数)也是一组勾股数;②若
为一直角三角形的三边长,则以
(
)为三边的三角形也是直角三角形;
6、互逆命题:
一般地,如果两个命题的题设、结论正好相反,这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题;
点拨:
①每个命题都有逆命题,说逆命题时只需将题设和结论调换即可,但要分清题设和结论,并注意语言的运用;②原命题有真有假,逆命题也有真有假,它们可能都真,也可能一真一假,还可能都假;
【解题方法总结】
方法1:
矩形折叠问题:
利用勾股定理求得相关的边长,从而得到所求结论,求解的基本步骤是:
①分析题意,确定相关的等量关系以及可求出的量;②设出未知数,找到其所在的直角三角形,利用勾股定理列出方程;③解方程,求得未知线段,得出结论。
方法2:
利用勾股定理证明线段间的关系。
解决三角形中线段平方关系的证明问题,主要思想是找到直角三角形,利用勾股定理进行转化,求解的基本步骤是:
①找直角三角形,利用勾股定理列出线段平方的关系式,若没有直角三角形,常常通过作垂线来构造直角三角形;②根据所列线段平方的关系式,寻找关系式中线段与待求结论中的线段之间的等量关系;③将待求线段代入所列线段平方关系式中,化简即可得出结论。
方法3:
利用勾股定理求面积,其基本步骤是:
①分析题意,将已知各正方形边长分别看作是一个直角三角形的边长或逐渐向一个直角三角形靠拢;②利用勾股定理将直角三角形三边长的关系式与正方形的面积联系起来;③根据直角三角形三边长的关系求得正方形的面积的值或其和差关系;
方法4:
求立体图形上的最短距离,其基本步骤是:
①将几何体展开,确定所要求的是哪两点之间的距离;②根据两点之间线段最短的原理,在展开图上确定最短距离;③利用勾股定理列式求解。
………………………………………………………………………………
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◆勾股定理培优
【例1】已知一直角三角形的斜边长是2(斜边上的中线为1),周长是2+
,求这个三角形的面积.
【练习1】已知:
如图,AD=4,CD=3,∠ADC=90°,AB=13,∠ACB=90°,求图形中阴影部分的面积.
【练习2】已知:
长方形ABCD,AB∥CD,AD∥BC,AB=2,AD≠DC,长方形ABCD的面积为S,沿长
方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形,求这个新长方形的对角线的长.
【练习3】若线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比值可以是()
A.1:
2:
4B.1:
3:
5C.3:
4:
7D.5:
12:
13
【例2】如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A、C重合,若其长BC为a,宽AB为b,则折叠后不重合部分的面积是多少?
【练习4】如图,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C′的位置上,已知AB=3,BC=7,
重合部分△EBD的面积为________.
【练习5】如图,一架长2.5m的梯子,斜放在墙上,梯子的底部B离墙脚O的距离是0.7m,当梯
子的顶部A向下滑0.4m到A′时,梯子的底部向外移动多少米?
【练习6】如图,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使C点与A点重合,则折叠后痕
迹EF的长为()
A.3.74B.3.75C.3.76D.3.77
【练习7】如图折叠长方形的一边BC,使点B落在AD边的F处,已知:
AB=3,BC=5,
求折痕EF的长.
【例3】试判断,三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n为正整数)的三角形是否是直角三角形?
【练习8】若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则△ABC是()
A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
【练习9】如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=
BC,猜想AF与EF
的位置关系,并说明理由.
【练习10】△ABC中的三边分别是m2-1,2m,m2+1(m>1),那么()
A.△ABC是直角三角形,且斜边长为m2+1.
B.△ABC是直角三角形,且斜边长为2m.
C.△ABC是直角三角形,但斜边长由m的大小而定.
D.△ABC不是直角三角形.
【例4】已知:
如图所示,△ABC中,D是AB的中点,若AC=12,BC=5,CD=6.5.
求证:
△ABC是直角三角形.
【练习11】已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a2-b2,试判断△ABC的形状.
先阅读下列解题过程:
解:
∵a2c2-b2c2=a4-b4,①
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②
∴c2=a2
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