九年级数学下册 第二章二次函数教案 湘教版精品教案.docx
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九年级数学下册第二章二次函数教案湘教版精品教案
湘教版九年级数学下册第二章二次函数教案(共15课时)
课
题
第2章 二次函数
2.1建立二次函数模型
共_1_课时
第_1_课时
课
型
新 授
教
学
目
标
1.通过对实际问题情境分析,建立二次函数的模型.
2.初步理解二次函数的概念,并能确定自变量的取值范围.
3.进一步体验建立数学模型的思想方法.
重
点
难
点
重点:
建立二次函数数学模型和理解二次函数概念.
难点:
建立二次函数数学模型.
教
学
策
略
探究、讲解、练习
教 学 活 动
课前、课中反思
(一)创设情境
1.欣赏一组录像画面:
篮球场上同学们传球投篮,田径场上同学们投掷铅球,同学们课余游戏抛硬币,石拱桥的桥拱……
2.观察:
篮球投篮时,掷铅球时,抛硬币时……在空中运行的路线是一条什么样的路线?
(二)复习引入
我们已知道,可以建立数学模型一次函数y=kx+b(k≠0)来刻画直线,反比例函数y=k/x(k≠0)来刻画双曲线,那么像前面所看到的曲线,我们又该建立一个什么样的数学模型来刻画它们呢?
要刻画它,我们今天还需要学习一种新的函数关系———二次函数.(点出课题)
(三)探求新知
1.出示投影1,教科书P.21“动脑筋”中问题———植物园的面积随着砌法的不同怎样变化
(1)学生阅读审题,独立思考,自主探索.
设与围墙相邻的每一面墙的长都为xm,则与围墙相对的一面墙的长为(100-2x)m,于是矩形植物园的面积S=x(100-2x),即S=-2x2+100x.
(2)学生合作讨论x的取值范围.
由x>0,
100-2x>0, 得0<x<50.
(3)概括.由上述
(1)、
(2)可得关系式S=-2x2+100x,0<x<50,有了这个关系式,我们对植物园的面积S随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了.
2.出示投影2,教科书P.21”动脑筋”中问题———电脑的价格.
师生共同分析交流,得出:
平均降价率x与售价y之间的关系:
y=6000(1-x)2,0<x<1.
即y=6000x2-12000x+6000,0<x<1.
引导学生观察上述两个函数解析式,并说出函数关系式S=-2x2+100x(0<x<50)和y=6000x2-12000x+6000(0<x<1)有什么共同特点?
通过上述分析抽象出:
函数解析式是自变量的二次多项式,这样的函数称为二次函数,它的一般形式为
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).
二次函数的自变量的取值范围是所有实数.但对于实际问题中的二次函数的自变量的取值范围一般会有一些限制.
二次函数有下列特殊形式:
y=ax2(a≠0,b=0,c=0);
y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0);
y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).
(四)讲解例题
例1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1;(2)y=3x2+1;(3)y=3x3+2x2;
(4)y=2x2-2x+1;(5)y=x2;(6)y=kx2-2.
例2.已知y=(m2-2m)x2m2-3m是二次函数,求m的值.
(五)应用新知
教科书P.22练习题.
选取部分学生的解题过程在投影上显示,师生共同评价订正.
(六)课堂小结
1.判断一个函数是否是二次函数,关键看什么?
自变量最高次数是2,二次项系数a≠0.
2.二次函数中,自变量取值有什么限制?
从两方面考虑:
一是自变量取值要使函数解析式有意义;二是自变量取值要使实际问题有意义.
(七)布置作业
教科书P.23习题A组第1,2题,选做B组.
课
后
反
思
编写时间20年月日执行时间20年月日。
总序第__11__个教案
课
题
2.1二次函数的图象与性质
(一)
共_5__课时
第_1__课时
课
型
新 授
教
学
目
标
1.会用描点法画二次函数y=ax2(a>0)的图象.
2.能结合图象直观初步了解函数y=ax2(a>0)的某些性质.
3.让学生经历探索二次函数y=ax2的图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.
重
点
难
点
重点:
会用描点法画出二次函数y=ax2(a>0)的图象以及探索函数性质.
难点:
探索二次函数性质.
教
学
策
略
探究、练习
教 学 活 动
课前、课中反思
(一)复习引入
1.什么是二次函数?
一般形式是什么?
2.反比例函数的图象是什么呢?
它有哪些性质?
3.二次函数的图象是什么呢?
它又有哪些性质?
(二)探究新知
问题一 如何作二次函数y=1/2x2的图象呢?
引导学生探索二次函数y=1/2x2的图象的画法.
(1)列表.让学生讨论,引导学生先给自变量取值,再算出相应的函数值.列表如下.
x
-3
-
-2
-1
-
0
1
2
3
Y=
x2
2
0
2
(2)描点.在平面直角坐标系内,以x的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出相应的点,如图2-1.
观察和分析:
①从图2-1看出,点A和点A′,点B和点B′……它们有什么关系?
②y轴右边描出的各点,当横坐标增大时,纵坐标怎样变化?
学生通过观察、分析、思考、讨论和交流,得出:
y=1/2x2的图象关于y轴对称;
y轴右边,函数值随自变量的增大而增大,简称为“右升”.
(3)连线.用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来,然后利用对称性,画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来),这样就得到了y=1/2x2的图象,如图2-2.
图2-1
图2-2
问题二 二次函数y=1/2x2的图象有哪些性质呢?
引导学生探索二次函数y=1/2x2的图象性质.
二次函数y=1/2x2的图象关于y轴对称和“右升”外,还有哪些特性?
①对称轴与图象的交点是O(0,0),图象开口向上;
②图象在对称轴左边的部分,函数值随自变量取值的增大而减小,简称为“左降”. ③当x=0时,函数值最小.
由此归纳出:
二次函数y=ax2(a>0)的图象画法和性质:
(1)y=ax2(a>0)的图象画法:
先用描点法(列表、描点、连线)画出图象在y轴右边的部分,然后利用对称性画出图象在y轴左边的部分.
(2)y=ax2(a>0)的性质:
①对称轴是y轴;②对称轴与图象的交点是O(0,0),图象开口向上;
③当x=0时,函数值最小为0.
(三)讲解例题
例 教科书P.27例1.
分析:
先用描点法画出图象在y轴右边的部分,然后利用对称性画出图象在y轴左边的部分.([解]见教科书P.27)
(四)应用新知
教科书P.27练习题.
学生独立完成后,拿几份学生所画的图象放在投影上展示,大家评价修正.
(五)课堂小结
引导学生思考以下两个问题:
1.画二次函数y=ax2(a>0)的图象的步骤有哪些?
列函数值表要注意些什么?
2.什么叫二次函数y=ax2(a>0)的图象的“左降”和“右升”?
(六)思考与拓展
1.若二次函数y=(m+3)x2+m2-9的图象与对称轴的交点是原点,则m=_3__________.
2.若函数y=ax2的图象与直线y=x-1只有一个交点,则a=____.
布置作业
1.填空:
二次函数y=2x2的图象开口向_____,对称轴是______,在对称轴的左边部分,y随x的增大而__________,在对称轴的右边部分,y随x的增大而_______,图象与对称轴的交点坐标是__________,当x=__________时,函数y有最小值___________.
2.画出函数y=3x2的图象.
课
后
反
思
编写时间20年月日执行时间20年月日。
总序第_12__个教案
课
题
2.1二次函数的图象与性质
(二)
共_5__课时
第_2__课时
课
型
新 授
教
学
目
标
1.会用描点法画出二次函数y=ax2(a<0)的图象
2.了解y=ax2与y=-ax2(a≠0)的图象的位置关系.了解y=ax2与y=-ax2(a≠0)的图象的位置关系.
3.进一步体验类比迁移的思想方法
重
点
难
点
重点:
理解抛物线的有关概念,体会“轴反射”在作函数图象中的应用.
难点:
区别y=ax2(a<0)与y=ax2(a>0)的图象性质.
教
学
策
略
探究、讲解、练习
教 学 活 动
课前、课中反思
(一)复习引入
1.怎样画出函数y=ax2(a>0)的图象?
2.我们已经画过y=1/2x2的图象,能不能由它得出y=-1/2x2的图象?
(二)探究新知
(1)讨论回顾:
反比例函数y=2/x与y=-2/x的图象有什么关系?
当画出了双曲线y=2/x后,又怎样得到双曲线y=-2/x?
(突出图象“复印”这一点)
(2)请你猜一猜y=-1/2x2的图象与y=1/2x2的图象会是怎样的关系呢?
(运用类比迁移的思想方法,可以猜想出:
y=-1/2x2的图象与y=1/2x2的图象关于x轴对称.)
(3)验证猜想:
你能验证你的猜想吗?
引导学生分析讨论.
在y=1/2x2的图象上任取一点P(a,1/2a2).点P关于x轴对称的点Q的坐标是(a,-1/2a2).检验Q点是否在y=-1/2x2的图象上.当x=a时,y=-1/2x2=-1/2a2,所以Q点在y=-1/2x2的图象上.
由此可知,y=-1/2x2的图象与y=1/2x2的图象关于x轴对称.因此,只要把y=1/2x2的图象沿x轴翻折并将图象“复印”下来,就得到y=-1/2x2的图象.(有条件的话,用多媒体动画演示图2-3,让同学们真实体验“复印”过程.)
(4)y=-1/2x2的图象有哪些性质?
引导学生观察、分析图2-3,并结合教科书P.28“观察”栏目,进行自主探索,得出y=-1/2x2的性质.
用类比的方法归纳出y=ax2(a<0)的性质:
①图象开口向下,对称轴是y轴,图象与对称轴的交点是(0,0);当x=0时,函数值最大,y最大值=0;②对称轴右边图象,y随x的增
图2-3
大而减小(右降),对称轴左边图象,y随x的增大而增大(左升).
(三)讲解例题
例. (教科书P.29例2)画二次函数y=-1/4x2的图象.
[解]①列表:
(略) ②描点和连线:
画出图象在y轴右边的部分.利用对称性画出y轴左边的部分.这样就得到了y=-1/4x2的图象,如图.
引导学生探索抛物线的有关概念.
(1)说一说,y=-1/4x2的图象跟实际生活中的什么相像?
(2)让同学们合作交流,抽象概括出抛物线的有关概念,不完整的地方,教师补充完整.
二次函数y=ax2的图象叫做抛物线,关于y轴对称,抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点,抛物线y=ax2的顶点是原点.
(四)应用新知
教科书P.30练习第1,2题.学生独立完成后,抽样放在投影仪上展示,集体评价,交流解题思路.便于大家共同提高.
(五)课堂小结
1.二次函数图象是什么?
刻画它的数学模型是什么?
二次函数图象是抛物线,刻画抛物线的数学模型是二次函数解析式.
2.抛物线y=ax2的哪些性质与a无关,哪些性质与a有关?
抛物线顶点,对称轴与a无关.抛物线开口方向,函数值y与自变量x的变化关系都与a有关.
3.谈谈你对这节课的学习体会,大家交流.
(六)思考与拓展
1.当m为何值时,抛物线y=(m+1)xm2-2的开口向下,对称轴是y轴;当x为何值时,y随x的增大而减小?
2.已知抛物线y=-3x2绕顶点旋转180°得到抛物线y=ax2,求a.
(七)布置作业
1.填空.(1)抛物线y=-1/3x2的开口向_____,顶点坐标是_____,对称轴是_____,当x_____0时,y随x的增大而增大,当x_____0时,y随x的增大而减小,当x_____0时,y有最_____值为_____.
(2)抛物线y=3x2的开口向_____,顶点坐标是_____,对称轴是_____,当x_____0时,y随x的增大而增大,当x_____0时,y随x的增大而减小,当x_____0时,y有最______值为_____.
2.在同一坐标中画出下列二次函数的图象,并探究图象开口大小规律.
(1)y=2x2;(2)y=-2x2;(3)y=3x2;(4)y=-3x2.
图2-4
课
后
反
思
编写时间20年月日执行时间20年月日。
总序第 13个教案
课
题
2.2二次函数的图象与性质(三)
共 5课时
第 3课时
课
型
新 授
教
学
目
标
1.运用平移知识理解二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象的位置关系.
2.能说出抛物线y=a(x-h)2的对称轴,顶点坐标和开口方向.
3.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象.
重
点
难
点
重点:
用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象;理解二次函数y=a(x-h)2的性质.
难点:
理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象之间的相互关系
教
学
策
略
探究、讲解、练习
教 学 活 动
课前、课中反思
(一)创设情境
1.设计一个小船平移的多媒体动画进行演示.
引导学生回顾,什么叫平移?
平移由那些要素决定?
平移有哪些性质?
2.提问:
抛物线y=ax2(a>0)是否也可以这样平移?
将抛物线y=ax2(a>0)进行多媒体动画演示,沿x轴左、右平移,或沿着y轴上、下平移.让学生观察有哪些改变了,哪些没有改变.
3.引入:
将抛物线y=ax2(a>0)平移后,形状和开口方向没有改变,但位置发生了变化,那么平移后的抛物线所对应的二次函数解析式还会是y=ax2吗?
如果不是,那么解析式会发生什么变化呢?
(二)探究新知
学生活动一:
(1)观察多媒体动画演示教科书P.31图2-7.
把二次函数y=1/2x2的图象E向右平移1个单位后得到图象F,如图.
(2)各自记录观察结果,然后进行交流讨论,合作填好下表
图象
原象E
抛物线E:
y=1/2x2
象F
图形F也是抛物线
顶点
对称轴
开口方向
教师:
(1)指导观察:
注意平移性质——平移不改变图象形状和大小,只改变位置.
(2)引导讨论:
突出“向右平移1个单位后”,抛物线改变位置,这意味着什么?
(意味着顶点的改变,对称轴的改变.)
(3)提出问题:
抛物线F是哪个函数的图象呢?
这是已知抛物线找出刻画它的函数模型,即二次函数解析式.
学生活动二:
(1)自主探索.在抛物线y=1/2x2上任取一点P(a.1/2a2),它在向右平移1个单位后,P的象点Q的坐标是什么?
(2)小组合作讨论交流.把P点的横坐标a加上1,纵坐标1/2a2不变,就得到象
点Q的坐标为(a+1,1/2a2).设b=a+1,则a=b-1,从而点Q的坐标为(b,1/2(b-1)2)。
所以抛物线F是二次函数y=1/2(x-1)2的图象.它的顶点是(1,0),它的对称轴是过点O′(1,0)且平行于y轴的直线l′,直线l′为x=1,抛物线y=1/2(x-1)2的开口向上.
由此引导学生归纳出函数y=a(x-h)2的图象性质:
函数y=a(x-h)2的图象是抛物线,它的对称轴是直线x=h,它的顶点坐标是(h,0).当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,开口向下.
(三)讲解例题
例。
教科书P.32例3.
分析:
先找出顶点坐标和对称轴,再列表、描点、连线画出二次函数图象在对称轴右边的部分,最后利用对称性画出对称轴左边的部分.
(四)应用新知
学生随堂练习,教科书P.33练习题第1,2题.
做完后,放投影上显示,集体评价交流,指出优劣,互相帮助,共同提高.
(五)课堂小结
1.抛物线沿x轴左右平移,实际上只改变了顶点横坐标,纵坐标不变.
2.如何作y=a(x-h)2(a≠0)的图象?
(六)思考与拓展
让学生自主探索,小组交流讨论,教师引导点拨,解决以下问题.
1.抛物线y=1/2x2向左平移1个单位后,得到抛物线y=1/2(x+1)2,如果将抛物线y=1/2x2向右平移1个单位后,又是怎样的抛物线呢?
2.
(1)抛物线y=2(x-5)2向左平移3个单位后得到的抛物线是 .
(2)抛物线y=2(x-5)2向右平移4个单位后得到的抛物线是 .
布置作业
1.填空.(1)抛物线y=2x2与y=-2x2关于x轴对称.
(2)抛物线y=-1/2(x+1)2向右平移3个单位后,得到的抛物线是y=-1/2(x-2)2.
(3)抛物线y=-1/3(x+2)2开口向下,顶点坐标是(-2,0),对称轴是直线x=-2,当x>-2时,y随x的增大而减小.
2.选择题.(1)比较y=3x2和y=-3x2的图象的不同之处是( )
A。
对称轴 B。
顶点坐标C.开口方向D.开口大小
(2)对于抛物线y=a(x-h)2(a≠0),下列叙述正确的是( )
Aa越大开口越大Ba越大开口越小C|a|越大开口越大D|a|越大开口越小
课
后
反
思
编写时间20年月日执行时间20年月日。
总序第 14 个教案
课
题
2.2二次函数的图象与性质(四)
共 5课时
第 4课时
课
型
新 授
教
学
目
标
1.理解y=a(x-h)2的图象与y=a(x-h)2+k的图象的关系.
2.能说出抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴,顶点坐标和开口方向.
3.让学生经历y=a(x-h)2+k的性质的探究过程,理解二次函数图象性质.
重
点
难
点
重点:
探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的性质以及画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.
难点:
理解y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图象之间的关
教
学
策
略
探究、练习
教 学 活 动
课前、课中反思
(一)复习引入
1.填空.
(1)抛物线y=1/2x2的顶点是____,对称轴是___,开口向_____.
(2)抛物线y=1/2(x+1)2的顶点是_____,对称轴是_____,开口向_____.
2.说一说,下列函数是将抛物线y=2x2经过怎样的平移得到的?
(1)y=2(x+3)2; (2)y=2x-1)2.
3.引入:
将抛物线y=1/2(x+1)2经过怎样的平移可以得到抛物线y1/2(x+1)2-3?
(二)探究新知
1.理解抛物线y=1/2(x+1)2与抛物线y=1/2(x+1)2-3的平移关系.
(1)引导学生完成下表.
二次函数
图象上的点
横坐标
纵坐标
y=1/2(x+1)2
a
y=1/2(x+1)2-3
a
(2)指导学生观察上表中两个函数,当图象上的点的横坐标相同时,纵坐标相差3。
从
而理解由抛物线y=1/2(x+1)2向下平移3个单位后,就得到抛物线y=1/2(x+1)2-3.它的对称轴是直线x=-1,顶点坐标为(-1,-3).
2.探索y=a(x-h)2+k的图象性质.
用观察比较的方法得到y=a(x-h)2+k的图象性质:
函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线,它的对称轴是直线x=h,它的顶点坐标是(h,k).当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,开口向下.
3.探索y=a(x-h)2+k的图象画法.
(1)师生共同探讨:
讨论从图形平移入手,抛物线平移不改变形状和开口
方向,只改变顶点坐标.因此,要画抛物线,先必须找出顶点坐标和对称轴.
(2)师生共同归纳概括图象画法的步骤.
第一步.写出对称轴和顶点坐标,并且在平面直角坐标系内画出对称轴,描出顶点.
第二步.列表(自变量x从顶点横坐标开始取值),描点和连线,画出图象在对称轴右边的部分.
第三步.利用对称性,画出图象在对称轴左边的部分.
(三)讲解例题
例. 教科书P.34例4.
分析:
按画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的三个步骤进行.
(四)应用新知
教科书P.35练习第1,2题.学生独立完成后,抽样放投影上进行集体讲评修正.
(五)课堂小结
1.抛物线沿x轴左右平移,只改变顶点的横坐标;沿y轴上下平移,只改变顶点的纵坐标.即
y=ax2沿x轴平移|h|个单位→y=a(x-h)2沿y轴平移|k|个单位→h>0向右,h<0向左k>0向上,k<0向下
y=a(x-h)2+k
2.说出下列二次函数图象的顶点坐标、对称轴.
(1)y=ax2+c(2)y=a(x+m)2; (3)y=a(x-h)2+k+1
布置作业
(1)将抛物线y=x2向左平移2个单位后,再向上平移2个单位所得到的抛物线是( )
A)y=x2+2B)y=(x+2)2-2
C)y=(x+2)2+2D)y=(x-2)2+2
(2)将抛物线y=-12(x+1)2+4向右平移3个单位后,再向下平移5个单位所得到的抛物线是( )
(3)抛物线y=a(x+2)2与抛物线y=-2.5(x-h)2的开口方向和形状相同,只是位置不同,则a、h的值分别是( )
A)a=-2.5,h=2;B)a=2.5,h=2;
C)a=-2.5,h=-2;D)a=2.5,h=-2.
(4)函数y=-3(x-2)2+4.它的图象开口向____,顶点坐标是______,对称轴是直线______,当x______时,y随x的增大而增大,当x______时y随x的增大而减小,当x______时,y有最______值是_______.
课
后
反
思
编写时间20年月日执行时间20年月日。
总序第 15个教案
课
题
2.2二次函数的图象与性质(五)
共 5课时
第 5课时
课
型
新 授
教
学
目
标
1.会用配方法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点和对称轴;会求它的最大值与最小值.
2.会用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象.
重
点
难
点
重点:
用配方法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点和对称轴.
难点:
用配方法将y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式.
教
学
策
略
探究、练习
教 学 活 动
课前、课中反思
(一)复习引入
1.已知二次函数y=2x2,y=2(x+1)2,y=2(x+1)2-3.
分别说出它们图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.
(二)创设情境
二次函数y=a(x-h)2+k的图象的对称轴是直线x=h,顶点坐标是(h,k).如果已知二次函数y=-2x2+6x-1,你能求出其图象的顶点坐标吗?
(三)探究新知
1.如何将二次函数y=-2x2
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