高考数学理备考黄金易错点专题09 等差数列与等比数列易错起源.docx
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高考数学理备考黄金易错点专题09等差数列与等比数列易错起源
2018高考数学(理)备考黄金易错点专题09等差数列与等比数列(易错起源)
1.【2017课标1,理4】记
为等差数列
的前
项和.若
,
,则
的公差为
A.1B.2C.4D.8
【答案】C
【解析】因为
,即
,则
,即
,解得
,故选C.
2.【2017课标II,理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
【答案】B
3.【2017课标1,理12】几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A.440B.330C.220D.110
【答案】A
【解析】由题意得,数列如下:
则该数列的前
项和为
,
要使
,有
,此时
,所以
是第
组等比数列
的部分和,设
,
所以
,则
,此时
,
所以对应满足条件的最小整数
,故选A.
4.【2016高考新课标1卷】已知等差数列
前9项的和为27,
则
()
(A)100(B)99(C)98(D)97
【答案】C
【解析】由已知,
所以
故选C.
5.【2016高考浙江理数】如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且
,
,
(
).若
()
A.
是等差数列B.
是等差数列
C.
是等差数列D.
是等差数列
【答案】A
6.【2016年高考北京理数】已知
为等差数列,
为其前
项和,若
,
,则
_______..
【答案】6
【解析】∵
是等差数列,∴
,
,
,
,
∴
,故填:
6.
7.【2016高考江苏卷】已知
是等差数列,
是其前
项和.若
,则
的值是▲.
【答案】
【解析】由
得
,因此
5、【2016高考新课标1卷】设等比数列
满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为.
【答案】64
【解析】设等比数列
的公比为
,由
得
,解得
.所以
,于是当
或
时,
取得最大值
.
8.【2016高考江苏卷】(本小题满分16分)
记
.对数列
和
的子集T,若
定义
;若
,定义
.例如:
时,
.现设
是公比为3的等比数列,且当
时,
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)对任意正整数
,若
,求证:
;
(3)设
求证:
.
【答案】
(1)
(2)详见解析(3)详见解析
(2)因为
,
,
所以
.
因此,
.
(3)下面分三种情况证明.
①若
是
的子集,则
.
②若
是
的子集,则
.
③若
不是
的子集,且
不是
的子集.
令
,
则
,
,
.
于是
,
,进而由
,得
.
设
是
中的最大数,
为
中的最大数,则
.
由
(2)知,
,于是
,所以
,即
.
又
,故
,
从而
,
故
,所以
,
即
.
综合①②③得,
.
易错起源1、等差数列、等比数列的运算
例1、
(1)已知数列{an}中,a3=
,a7=
,且
是等差数列,则a5等于( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知等比数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,且a1+a7=9,a4=2
,则S8等于( )
A.15(1+
)B.15
C.15
D.15(1+
)或15(1+
)
答案
(1)B
(2)D
解析
(1)设等差数列
的公差为d,则
=
+4d,∴
=
+4d,解得d=2.
∴
=
+2d=10,解得a5=
.
(2)由a4=2
,得a1a7=a
=8,故a1,a7是方程x2-9x+8=0的两根,所以
或
因为等比数列{an}的各项都为正数,所以公比q>0.当
时q=
=
,所以S8=
=15(1+
);
当
时,q=
=
,所以S8=
=15
.故选D.
【变式探究】
(1)已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=________,d=________.
(2)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1+a2=1,a3+a4=2,则log2
=________.
答案
(1)
-1
(2)1006
(2)在等比数列中,(a1+a2)q2=a3+a4,
即q2=2,所以a2013+a2014+a2015+a2016
=(a1+a2+a3+a4)q2012=3×21006,
所以log2
=1006.
【名师点睛】
在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体计算,以减少计算量.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.通项公式
等差数列:
an=a1+(n-1)d;
等比数列:
an=a1·qn-1.
2.求和公式
等差数列:
Sn=
=na1+
d;
等比数列:
Sn=
=
(q≠1).
3.性质
若m+n=p+q,
在等差数列中am+an=ap+aq;
在等比数列中am·an=ap·aq.
易错起源2、等差数列、等比数列的判定与证明
例2、已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且满足an+Sn=2n+1.
(1)求证:
数列{an-2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)求证:
+
+…+
<
.
证明
(1)∵an+Sn=2n+1,令n=1,
得2a1=3,a1=
.
∵an+Sn=2n+1,
∴an-1+Sn-1=2(n-1)+1(n≥2,n∈N*).
两式相减,得2an-an-1=2,整理an=
an-1+1,
an-2=
(an-1-2)(n≥2),
∴数列{an-2}是首项为a1-2=-
,公比为
的等比数列,
∴an-2=-
n,∴an=2-
.
(2)∵
=
=
=
-
,
∴
+
+…+
=(
-
)+(
-
)+…+(
-
)
=
-
<
.
【变式探究】
(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,则an=________.
(2)已知数列{bn}的前n项和为Tn,若数列{bn}满足各项均为正项,并且以(bn,Tn)(n∈N*)为坐标的点都在曲线ay=
x2+
x+b(a为非零常数)上运动,则称数列{bn}为“抛物数列”.已知数列{bn}为“抛物数列”,则( )
A.{bn}一定为等比数列
B.{bn}一定为等差数列
C.{bn}只从第二项起为等比数列
D.{bn}只从第二项起为等差数列
答案
(1)2n+1-3
(2)B
(2)由已知条件可知,若数列{bn}为“抛物数列”,设数列{bn}的前n项和为Tn,则数列{bn}满足各项均为正项,并且以(bn,Tn)(n∈N*)为坐标的点都在曲线ay=
x2+
x+b(a为非零常数)上运动,即aTn=
·b
+
·bn+b,当n=1时,aT1=
·b
+
·b1+b⇒ab1=
·b
+
·b1+b⇒
·b
-
·b1+b=0⇒a·b
-a·b1+2b=0,
即b1=
;
当n≥2时,由aTn=
·b
+
·bn+b,
及aTn-1=
·b
+
·bn-1+b,
两式相减得
a·bn=
·(b
-b
)+
·(bn-bn-1)
⇒
·(b
-b
)-
·(bn+bn-1)=0,
由各项均为正项,可得bn-bn-1=1(n≥2),
由等差数列的定义可知{bn}一定为等差数列.
【名师点睛】
(1)判断一个数列是等差(比)数列,也可以利用通项公式及前n项和公式,但不能作为证明方法.
(2)
=q和a
=an-1an+1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件,判断时还要看各项是否为零.
【锦囊妙计,战胜自我】
数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:
①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数;
②利用中项性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).
(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法:
①利用定义,证明
(n∈N*)为一常数;
②利用等比中项,即证明a
=an-1an+1(n≥2).
易错起源3、等差数列、等比数列的综合问题
例3、已知等差数列{an}的公差为-1,且a2+a7+a12=-6.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn;
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项,记{bn}的前n项和为Tn,若存在m∈N*,使对任意n∈N*,总有Sn 解 (1)由a2+a7+a12=-6得a7=-2,∴a1=4, ∴an=5-n,从而Sn= . (2)由题意知b1=4,b2=2,b3=1, 设等比数列{bn}的公比为q, 则q= = , ∴Tm= =8[1-( )m], ∵( )m随m增加而递减, ∴{Tm}为递增数列,得4≤Tm<8. 又Sn= =- (n2-9n)=- [(n- )2- ], 故(Sn)max=S4=S5=10, 若存在m∈N*,使对任意n∈N*总有Sn 则10<4+λ,得λ>6.即实数λ的取值范围为(6,+∞). 【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn-1=3(an-1),n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 若bn≤t对于任意正整数n都成立,求实数t的取值范围. 解 (1)由已知得Sn=3an-2,令n=1,得a1=1, 又an+1=Sn+1-Sn=3an+1-3an⇒an+1= an, 所以数列{an}是以1为首项, 为公比的等比数列,所以an= n-1. 【名师点睛】 (1)等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用性质,可使运算简便. (2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题. (3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数,通过求数列的值域求解. 【锦囊妙计,战胜自我】 解决等差数列、等比数列的综合问题,要从两个数列的特征入手,理清它们的关系;数列与不等式、函数、方程的交汇问题,可以结合数列的单调性、最值求解.
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