高中数学第一章三角函数111任意角学案新人教A版必修4.docx

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高中数学第一章三角函数111任意角学案新人教A版必修4

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2019-2020高中数学第一章三角函数1-1-1任意角学案新人教A版必修4

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1.1.1　任意角

1.理解任意角的概念.

2.掌握终边相同角的含义及其表示.（重点、难点）

3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法.（易错点）

[基础·初探]

教材整理1　任意角的概念

阅读教材P2～P3“第5行”以上内容，完成下列问题.

1.角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

2.角的表示：

如图111，

图111

（1）始边：

射线的开始位置OA，

（2）终边：

射线的终止位置OB，

（3）顶点：

射线的端点O.

这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.

3.角的分类：

按旋转方向，角可以分为三类：

正角

按逆时针方向旋转形成的角

零角

射线没有作任何旋转形成的角

负角

按顺时针方向旋转形成的角

时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.　

【解析】　时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的

，所以转动的角的大小是－

×360°＝－30°.

【答案】　－30°

教材整理2　象限角与轴线角

阅读教材P3“图1.13至探究”以上内容，完成下列问题.

1.象限角：

以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.

2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.

下列说法：

①第一象限角一定不是负角；

②第二象限角大于第一象限角；

③第二象限角是钝角；

④小于180°的角是钝角、直角或锐角.

其中错误的序号为________（把错误的序号都写上）.

【解析】　由象限角定义可知①②③④都不正确.

【答案】　①②③④

教材整理3　终边相同的角

阅读教材P3“探究”以下至P4“例1”以上内容，完成下列问题.

1.前提：

α表示任意角.

2.表示：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.（　　）

（2）终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.（　　）

（3）终边相同的角的表示不唯一.（　　）

【解析】　由终边相同角的定义可知

（1）

（2）（3）正确.

【答案】　

（1）√　

（2）√　（3）√

[小组合作型]

任意角的概念与终边相同的角

（1）已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是（　　）

A.A＝B＝CB.A⊆C

C.A∩C＝BD.B∪C⊆C

（2）下面与－850°12′终边相同的角是（　　）

【导学号：

00680000】

A.230°12′B.229°48′

C.129°48′D.130°12′

【精彩点拨】　正确理解第一象限角、锐角、小于90°的角的概念.

【自主解答】　

（1）第一象限角可表示为k·360°<α

（2）与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°（k∈Z），当k＝3时，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.

【答案】　

（1）D　

（2）B

1.判断角的概念问题的关键与技巧：

（1）关键：

正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.

（2）技巧：

判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.

2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：

（1）一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式（其中0°≤β<360°，k∈Z），其中的β就是所求的角.

（2）如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：

当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.

[再练一题]

1.有下列说法：

①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；

②终边相同的角一定相等；

③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°（k∈Z）.

其中正确说法的序号是________.

【解析】　①不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；

②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°（k∈Z）.

③正确.因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈（－180°，180°），且β∈（－180°，180°）时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°（k∈Z）.

【答案】　③

象限角与区间角的表示

（1）－1154°是（　　）

A.第一象限角　　　　　　　　B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

（2）已知角β的终边在如图112所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.

图112

【精彩点拨】　

【自主解答】　

（1）∵－1154°＝－4×360°＋286°，∴在0°～360°之间，与－1154°终边相同的角α＝286°，286°是第四象限角.故－1154°角为第四象限角.

【答案】　D

（2）阴影在x轴上方部分的角的集合为：

A＝{β|k·360°＋60°≤β

阴影在x轴下方部分的角的集合为：

B＝{β|k·360°＋240°≤β

所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β

{β|k·360°＋180°＋60°≤β

即{β|（2m＋1）×180°＋60°≤β<（2m＋1）×180°＋105°，m∈Z}.

集合A可以化为

{β|2m×180°＋60°≤β<2m＋180°＋105°，m∈Z}.

故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β

1.象限角的判定方法：

（1）在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限.

（2）第一步，将α写成α＝k·360°＋β（k∈Z,0°≤β<360°）的形式；

第二步，判断β的终边所在的象限；

第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限.

2.表示区间角的三个步骤：

第一步：

先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

第二步：

按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α

第三步：

起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.

[再练一题]

2.写出图113中阴影部分（不含边界）表示的角的集合.【导学号：

705120xx】

图113

【解】　在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分（不含边界）的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}.

[探究共研型]

所在象限的判定方法及角的终边对称问题

探究1　若α是第二象限角，则

是第几象限角？

【提示】　

（1）代数推导法：

由题意知90°＋k·360°<α<180°＋k·360°（k∈Z），

30°＋k·120°<

<60°＋k·120°（k∈Z）.

故

是第一或第二或第四象限角.

（2）画图法：

如图①将各个象限2等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，

就在标注2的区域，即第一或第三象限的后半区（如图①阴影区域）.

同理，可得

在第一、二、四象限（如图②阴影区域）.

探究2　若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？

【提示】　

（1）关于x轴对称：

若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.

（2）关于y轴对称：

若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.

（3）关于原点对称：

若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.

（4）关于直线y＝x对称：

若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.

　已知α为第二象限角，则2α，

分别是第几象限角？

【导学号：

705120xx】

【精彩点拨】　可由α范围写出2α，

的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定

的位置.

【自主解答】　∵α是第二象限角，

∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，

∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，

∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角.

同理45°＋

·360°<

<90°＋

·360°.

当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，

则45°＋n·360°<

<90°＋n·360°，

此时，

为第一象限角；

当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，

则225°＋n·360°<

<270°＋n·360°，

此时，

为第三象限角.∴

为第一或第三象限角.

1.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或

的范围，再根据k与n的关系进行讨论.

2.一般地，要确定

所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号为n的区域就是根据α所在第几象限时

的终边所落在的区域.

[再练一题]

3.若α是第四象限角，则180°－α是（　　）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【解析】　∵α是第四象限角，则角α应满足：

k·360°－90°<α

∴－k·360°<－α<－k·360°＋90°，

则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，

当k＝0时，180°<180°－α<270°，

故180°－α为第三象限角.

【答案】　C

1.若α是第一象限角，则－

是（　　）

A.第一象限角　　　　B.第一、四象限角

C.第二象限角D.第二、四象限角

【解析】　因为α是第一象限角，所以

为第一、三象限角，所以－

是第二、四象限角.

【答案】　D

2.与－457°角终边相同的角的集合是（　　）

A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}

B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}

C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}

D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}

【解析】　当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°.

【答案】　C

3.下列各角中，与角330°的终边相同的角是（　　）

A.510°B.150°

C.－150°D.－390°

【解析】　与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，

当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D.

【答案】　D

4.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.

【解析】　根据终边相同角的定义可知：

α－β＝k·360°（k∈Z）.

【答案】　k·360°（k∈Z）

5.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：

（1）－120°；

（2）640°.

【解】　

（1）与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}.

当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，

∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角.

（2）与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}.

当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，

∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角.