浙教版八年级上册数学特殊三角形全部知识点考点及练习.docx
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浙教版八年级上册数学特殊三角形全部知识点考点及练习
浙教版数学八年级上册第二章《特殊三角形》复习
一、知识构造
本章重要学习了等腰三角形性质与鉴定、直角三角形性质与鉴定以及勾股定理、HL定理等知识,这些知识点之间构造如下图所示:
二、重点回顾
1.等腰三角形性质:
等腰三角形两腰_______;等腰三角形两底角______(即在同一种三角形中,等边对_____);等腰三角形三线合一,这三线是指________________、________________、________________,也就是说一条线段充当三种身份;等腰三角形是________图形,它对称轴有_________条。
2.等腰三角形鉴定:
有____边相等三角形是等腰三角形;有_____相等三角形是等腰三角形(即在同一种三角形中,等角对_____)。
注意:
有两腰相等三角形是等腰三角形,这句话对吗?
3.等边三角形性质:
等边三角形各条边______,各内角_______,且都等于_____;等边三角形是______图形,它有____条对称轴。
4.等边三角形鉴定:
有____边相等三角形是等边三角形;有三个角都是______三角形是等边三角形;有两个角都是______三角形是等边三角形;有一种角是____________三角形是等边三角形。
5.直角三角形性质:
直角三角形两锐角_______;直角三角形斜边上中线等于_______;直角三角形两直角边平方和等于________(即勾股定理)。
30°角所对直角边等于斜边________
6.直角三角形鉴定:
有一种角是______三角形是直角三角形;有两个角_______三角形是直角三角形;两边平方和等于_______三角形是直角三角形。
一条边上中线等于该边长度一半,那么该三角形是直角三角形,但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形,但有助于解题。
7.直角三角形全等鉴定:
斜边和___________相应相等两个直角三角形全等。
8.角平分线性质:
在角内部到角两边___________在这个角平分线上。
三、重点解读
1.学习特殊三角形,应重点分清性质与鉴定区别,两者不能混淆。
普通而言,依照边角关系判断一种图形形状通惯用是鉴定,而依照图形形状得到边角关系那就是性质;
2.等腰三角形腰是在已知一种三角形是等腰三角形状况下才给出名称,即先有等腰三角形,后有腰,因而在鉴定一种三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等三角形是等腰三角形”;
3.直角三角形斜边上中线不但可以用来证明线段之间相等关系,并且它也是此后研究直角三角形问题较为惯用辅助线,纯熟掌握可觉得解题带来不少以便;
4.勾股定理反映是直角三角形两直角边和斜边之间平方关系,解题时应注意分清哪条是斜边,哪条是直角边,不要一看到字母“
”就认定是斜边。
不要一看到直角三角形两边长为3和4,就以为另一边一定是5;
5.“HL”是仅合用于鉴定直角三角形全等特殊办法,只有在已知两个三角形均是直角三角形前提下,此办法才有效,固然,此前学过“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等鉴定普通三角形全等办法对于直角三角形全等鉴定同样有效。
牢记!
!
!
两边及其中一边对角相应相等两个三角形不一定全等,也就是边边角,没有边边角定理。
因而在证明全等时千万不要这样做。
本章解题时用到重要数学思想办法:
⑴分类讨论思想(特别是在语言模糊等腰三角形中)(留意背面例题)
⑵方程思想:
重要用在折叠之后产生直角三角形时,运用勾股定理列方程;尚有就是在等腰三角形中求角度,求边长(留意背面例题)
⑶等面积法
四、典型例题
(一)、角平分线+平行线
1、在△ABC中,三内角互不相等,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB。
过O点作EF,使EF∥BC。
(1)图中有几种等腰三角形?
(2)猜测线段BE、CF、EF有什么数量关系,并阐明理由。
2、在△ABC中,∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过O点作EF,
使EF∥BC,且∠EBO=30°。
若BE=5,△ABC周长为_________。
(二)、角平分线+垂线
3、如图:
AB=AC,∠1=∠2,AE⊥CD于F交BC于点E,求证:
AB=CE。
4、如图,△ABC是等腰直角三角形,其中∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥BD交BD延长线于点E,求证:
BD=2CE
(三)、直角三角形一种锐角平分线+斜边上高线
5、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AE平分∠CAB,CD⊥AB于D,它们交于点F,△CFE是等腰三角形吗?
试阐明理由.
(四)、等边三角形几种基本图形:
6、等边三角形ABC中,BD=CE,连接AD、BE交于点F。
∠AFE=_________。
7、如图点A、C、E在同始终线上,△ABC和△CDE都是等边三角形,M、N分别是AD、BE中点。
阐明:
△CMN是等边三角形。
8、已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC距离分别是h1,h2,h3,△ABC高为h,若点P在一边BC上(图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h,请你摸索如下问题:
当点P在△ABC内(图2)和点P在△ABC外(图3)这两种状况时,h1、h2、h3与h之间有如何关系,请写出你猜想,并简要阐明理由.
(五)、等腰直角三角形几种基本应用
9、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN通过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥M于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时,阐明△ADC≌△CEB理由;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时,阐明DE=AD-BE理由;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时,试问DE、AD、BE有如何等量关系?
请写出这个等量关系,并阐明理由.
10、如图,在直角△ABC中,∠C=90,AC=BC,D,E分别在BC和AC上,且BD=CE,M是AB中点。
求证:
△MDE是等腰直角三角形。
(六)、勾股定理、勾股定理逆定理、勾股定理与方程
11、观测下面表格中所给出三个数a,b,c,其中a,b,c为正整数,且a
(1):
试找出她们共同点,并证明你结论
3,4,5
3
+4
=5
5,12,13
5
+12
=13
7,24,25
7
+24
=25
9,40,41
9
+40
=41
……..
……
21,b,c
21
+b
=c
(2):
当a=21时,求b,c值
12、如图,P是等边三角形ABC内一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ。
(1)观测并猜想AP与CQ之间大小关系,并证明你结论.
(2)若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连结PQ,试判断△PQC形状,并阐明理由.
13、等腰三角形底边上高为8,周长为32,求这个三角形面积
分析:
对于没有图形大题(指需要过程题目),最佳自己画图,与人以便,与己以便。
解:
设这个等腰三角形为ABC,高为AD,设BD为x,则AB为(16-x),
由勾股定理得:
x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
∴x=6
∴S∆ABC=BC•AD/2=2•6•8/2=48
14、矩形纸片ABCD边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B正好落在DC边上点G处,求BE长。
(七)、需要分类讨论(重要是由语言模糊导致要讨论)
有一种角等于50°,另一种角等于__________三角形是等腰三角形。
有一种直角三角形两条直角边为3,4,则第三条边长为__________
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上中线BD将这个等腰三角形周长提成15和6两某些,求这个三角形腰长及底边长。
(八)作图题
如图,求作一点P,使PC=PD,并且使点P到∠AOB两边距离相等,并阐明你理由.
作图题基本规定:
结论不能丢。
格式:
什么什么即为所求。
【考点精练】
一、基本训练
1.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BD为∠ABC平分线,则∠BDC=_____°.
(1)
(2)(3)
2.如图2,是由9个等边三角形拼成六边形,若已知中间小等边三角形边长是a,则六边形周长是_______.
3.如图3,一种顶角为40°等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一种四边形,则∠1+∠2=________度.
4.如图4,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则∠BAC′等于________.
(4)(5)
5.如图5,沿AC方向开山修渠,为了加快施工进度,要在小山另一边同步施工.从AC上一点B取∠ABD=135°,BD=520米,∠D=45°,如果要使A、C、E成始终线,那么开挖点E离D距离约为_______米(精准到1米).
6.等腰△ABC底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒速度运动,当点P运动到PA与腰垂直位置时,点P运动时间应为________.
7.如图7,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=20°,且AE=AD,则∠CDE=________.
(7)(8)(9)
8.如图8,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于()
A.44°B.68°C.46°D.22°
9.如图9,要在离地面5m处引拉线固定电线杆,使拉线和地面成60°角,若考虑既要符合设计规定,又要节约材料,则在库存L1=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m四种备用拉线材料中,拉线AC最佳选用()
A.L1B.L2C.L3D.L4
10.如图10,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上一点,且BD=BC=AD.则∠A等于()
A.30°B.36°C.45°D.72°
(10)(11)
11.同窗们都玩过跷跷板游戏.如图11所示,是一跷跷板示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板一头A着地时,∠OAC=25°,则当跷跷板另一头B着地时,∠AOA′等于()
A.25°B.50°C.60°D.130°
12、直角三角形两条直角边长为a,b,斜边上高为h,则下列各式中总能成立是()
A.ab=h2B.a
+b
=2h
C.
+
=
D.
+
=
如图所示,在△ABC中,AB=6,AC=9,AD⊥BC于点D,M为AD上任一点,则MC2-MB2等于
二、能力提高
13.如图,已知等腰三角形一腰上中线把三角形周长分为12cm和15cm两某些,求它底边长.
14.(计算型说理题)已知如图△ABC是等边三角形,BD是AC边上高,延长BC到E使CE=CD.试判断DB与DE之间大小关系,并阐明理由。
15.如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上点,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.
(1)上述三个条件中,哪两个条件可鉴定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形);
(2)选取第
(1)小题中一种状况,证明△ABC是等腰三角形.
三、应用与探究
16.如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上点.
(1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?
试证明你结论.
(2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?
试证明你结论.
直角三角形
1)直角三角形定义:
有一种角为90°三角形,叫做直角三角形。
直角三角形是一种特殊三角形,它除了具备普通三角形性质外,具备某些特殊性质。
又叫Rt三角形。
2)直角三角形性质:
(1)直角三角形两个锐角互余;
(2)直角三角形斜边上中线等于斜边一半;
(3)在直角三角形中,30度角所对直角边是斜边一半;且三边比为1比根号3比2;
(4)在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边一半,那么这条直角边所对锐角等于30°;
(5)在直角三角形中,两条直角边a、b平方和等于斜边c平方,即a^2+b^2=c^2(勾股定理);
(6)直角三角形斜边上高h等于该直角三角形外接圆半径斜边上中线等于该直角三角形内切圆半径.
(7)直角三角形垂直平分线交于斜边中点。
(8)直角三角形中,斜边上高是两直角边在斜边上射影比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上射影和斜边比例中项。
3)直角三角形鉴定:
(1)有一种角为90°三角形是直角三角形;
(2)一种三角形,如果这个三角形一边上中线等于这条边一半,那么这个三角形是以这条边为斜边直角三角形;
(3)若a^2+b^2=c^2,则以a、b、c为边三角形是以c为斜边直角三角形(勾股定理逆定理);
(4)若三角形30°内角所对边是某一边一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边直角三角形;
(5)两个锐角互余三角形是直角三角形.
4)直角三角形角性质
若直角三角形ABC中∠C=90°,则
sinA=cosB,sinB=cosA,sinA=cos(90°-A)=sin(180°-A)
cosA=sin(90°-A)=-cos(180°-A)
tanA=-tan(180°-A)
对于特殊角30°,45°,60°,15°,75°,90°
sin30°=cos60°=1/2
sin45°=cos45°=√2/2
sin60°=cos30°=√3/2
sin75°=cos15°=(根号6+根号2)/4cos75°=sin15°=(根号6-根号2)/4
tan75°=2+根号3tan15°=2-根号3
sin90°=1cos90°=0tan90°=无限大
等腰三角形
1)等腰三角形定义:
有两边相等三角形是等腰三角形
2)等腰三角形性质:
1.等腰三角形两个底角相等。
(简写成“等边对等角”)
2.等腰三角形顶角平分线,底边上中线,底边上高重叠(简写成“三线合一”)
3.等腰三角形两底角平分线相等。
(两条腰上中线相等,两条腰上高相等)
4.等腰三角形底边上垂直平分线到两条腰距离相等。
5.等腰三角形一腰上高与底边夹角等于顶角一半
6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上高(需用等面积法证明)
7等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它对称轴
3).等腰三角形鉴定:
有两条边相等三角形是等腰三角形
有两个角相等三角形是等腰三角形(简称:
等角对等边)
在一种三角形中,一边上高线与此边上中线,及此边对角角平分线中任意两线重叠可推知此三角形为等腰三角形。
等边三角形
等边三角形也称正三角形。
1)等边三角形定义:
有三边都相等三角形是等边三角形。
等边三角形是特殊等腰三角形。
2)等边三角形性质:
(具备等腰三角形所有性质,结合定义更特殊)
1等边三角形内角都相等,且为60度
2等边三角形每条边上中线、高线和所对角平分线互相重叠(三线合一)
3等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上中线、高线或所对角平分线所在直线
3)等边三角形鉴定:
(一方面考虑判断三角形是等腰三角形)
(1)三边相等三角形是等边三角形(定义)
(2)三个内角都相等三角形是等边三角形,且每个角都为60°
(3)有一种角是60度等腰三角形是等边三角形
等腰直角三角形定义
等腰直角三角形是一种特殊三角形,具备所有三角形性质:
稳定性,两直角边相等直角边夹亦直角锐角45,斜边上中线角平分线垂线三线合一,等腰直角三角形斜边上高为外接圆半径R,而高又为内切圆直径(由于等腰直角三角形两个小角均为45度,高又垂直于斜边,因此两个小三角形均为等腰直角三角形,则两腰相等);那么设内切圆半径r为1,则外接圆半径R就为(根号2加1),因此r:
R=1:
(根号2加1)。
关系
等腰直角三角形边角之间关系:
(1)三角形三内角和等于180°;
(2)三角形一种外角等于和它不相邻两个内角之和;
(3)三角形一种外角不不大于任何一种和它不相邻内角;
(4)三角形两边之和不不大于第三边,两边之差不大于第三边;
(5)在同一种三角形内,大边对大角,大角对大边.
等腰直角三角形中四条特殊线段:
角平分线,中线,高,中位线.
(1)三角形角平分线交点叫做三角形内心,它是三角形内切圆圆心,它到各边距离相等. (三角形外接圆圆心,即外心,是三角形三边垂直平分线交点,它到三个顶点距离相等).
(2)三角形三条中线交点叫三角形重心,它到每个顶点距离等于它到对边中点距离2倍。
(3)三角形三条高交点叫做三角形垂心。
(4)三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半。
注意!
①三角形内心、重心都在三角形内部
.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形边上。
(直角三角形垂心为直角顶点,外心为斜边 中点。
)④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
黄金三角形1、名称定义
所谓黄金三角形是一种等腰三角形,其腰与底长度比为黄金比值;相应尚有:
黄金矩形等。
2、黄金三角形分类
黄金三角形分两种:
一种是等腰三角形,两个底角为72°,顶角为36°;这种三角形既美观又原则。
这样三角形底与一腰之长之比为黄金比:
(√5-1)/2.另一种也是等腰三角形,两个底角为36°,顶角为108°;这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比:
(√5-1)/2
3、黄金三角形特性
黄金三角形是一种等腰三角形,它顶角为36°,每个底角为72°.它腰与它底成黄金比.当底角被平分时,角平分线分对边也成黄金比,并形成两个较小等腰三角形.这两三角形之一相似于原三角形,而另一三角形可用于产生螺旋形曲线.
黄金三角形一种几何特性是:
它是唯一一种可以由5个与其全等三角形生成其相似三角形三角形。
把五个黄金三角形称为“小三角形”,拼成相似黄金三角形称为“大三角形”。
则命题可以理解为:
五个小三角形可以不重叠又不超过地布满大三角形。
要满足这种填充,必要条件之一是大三角形每条边都可以由若干条小三角形边相加而成。
依照定义,第一种黄金三角形是腰与底比值为(√5+1)/2等腰三角形,顶角为36°,底角为72°。
设小三角形底为a,则腰为b=(√5+1)a/2,由于大三角形面积为小三角形5倍。
则大三角形边长
为小三角形相应边长√5倍,即大三角形底为A=√5a,腰为B=√5*(√5+1)a/2=(√5+5)a/2。
大三角形腰B与小三角形边关系满足:
B=2a+b
而大三角形底A与小三角形边关系可列举如下:
2ab 可见大三角形底边邻近区域无法由小三角形不重叠又不超地来填充(图1)。 故命题错。 此外一种黄金三角形是腰与底比值为(√5-1)/2等腰三角形,顶角为108°,底角为36°。 设小三角形底为a,则腰为b=(√5-1)a/2。 同样可以证明: A=2b+a 2b a 可见大三角形腰邻近区域无法由小三角形不重叠又不超过地填充(图2)。 故命题错。 事实上,勾为a,股为b=2a直角三角形可以满足命题规定。 显然,弦c=√a2+b2=√5a 大三角形相应边: A=√5a=c B=2A=2c C=√5*(√5a)=5a=2b+a 满足上述必要条件。 与否成立还要验证,成果是对(图3)。 本三角形与否唯一满足命题还不清晰。 顶角36°黄金三角形按任意一底角角平分线提成两个小等腰三角形,且其中一种等腰三角形底角是另一种2倍。 顶角是108°黄金三角形把顶角一种72°和一种36°角,这条分线也把黄金三角形提成两个小等腰三角形,且其中一种等腰三角形底角也是另一种2倍。
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