函数的奇偶性及周期性教案doc.docx
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函数的奇偶性及周期性教案doc
第二章 函数与导数第4课时 函数的奇偶性及周期性(对应学生用书(文)、(理)13~14页)
考点分析
考点新知
①函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命题的热点,命题时主要是考查函数的概念、图象、性质等.
②能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期性分析和解决有关问题.
1了解奇函数、偶函数的定义,并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.
2掌握奇函数与偶函数的图象对称关系,并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.
③了解周期函数的意义,并能利用函数的周期性解决一些问题.
1.(必修1P45习题8改编)函数f(x)=mx2+(2m-1)x+1是偶函数,则实数m=________.
答案:
解析:
由f(-x)=f(x),知m=
.
2.(必修1P43练习5改编)函数f(x)=x3-x的图象关于________对称.
答案:
原点
解析:
由f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-f(x),知f(x)是奇函数,则其图象关于原点对称.
3.(原创)设函数f(x)是奇函数且周期为3,若f
(1)=-1,则f(2015)=________.
答案:
1
解析:
由条件,f(2015)=f(671×3+2)=f
(2)=f(-1)=-f
(1)=1.
4.(必修1P43练习4)对于定义在R上的函数f(x),给出下列说法:
①若f(x)是偶函数,则f(-2)=f
(2);
②若f(-2)=f
(2),则函数f(x)是偶函数;
③若f(-2)≠f
(2),则函数f(x)不是偶函数;
④若f(-2)=f
(2),则函数f(x)不是奇函数.
其中,正确的说法是________.(填序号)
答案:
①③
解析:
根据偶函数的定义,①正确,而③与①互为逆否命题,故③也正确,若举例奇函数f(x)=
由于f(-2)=f
(2),所以②④都错误.
5.(必修1P54练习测试10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+x+1,则当x<0时,f(x)=________.
答案:
x3+x-1
解析:
若x<0,则-x>0,f(-x)=-x3-x+1,由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x3+x-1.
1.奇函数、偶函数的概念
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
2.判断函数的奇偶性
判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:
(1)考查定义域是否关于原点对称.
(2)根据定义域考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x).
若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.
若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.
若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数.
若存在x使f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数.
3.函数的图象与性质
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
4.函数奇偶性和单调性的相关关系
(1)注意函数y=f(x)与y=kf(x)的单调性与k(k≠0)有关.
(2)注意函数y=f(x)与y=
的单调性之间的关系.
(3)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上有相同的单调性.
(4)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上有相反的单调性.
5.函数的周期性
设函数y=f(x),x∈D,如果存在非零常数T,使得对任意x∈D,都有f(x+T)=f(x),则称函数f(x)为周期函数,T为函数f(x)的一个周期.(D为定义域)
题型1 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3-
;
(2)f(x)=
;
(3)f(x)=(x-1)
;
(4)f(x)=
+
.
解:
(1)定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,由f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)去掉绝对值符号,根据定义判断.
由
得
故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x+2>0.
从而有f(x)=
=
,
这时有f(-x)=
=-
=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)定义域为[-1,1),所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)因为f(x)定义域为{-
,
},所以f(x)=0,则f(x)既是奇函数也是偶函数.
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4+x;
(2)f(x)=
(3)f(x)=lg(x+
).
解:
(1)定义域为R,f(-1)=0,f
(1)=2,由于f(-1)≠f
(1),f(-1)≠-f
(1),所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数;
(2)因为函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+(-x)=-(x2+x)=-f(x)(x<0).当x>0时,-x<0,所以f(-x)=(-x)2+(-x)=-(-x2+x)=-f(x)(x>0).故函数f(x)为奇函数.
(3)由x+
>0,得x∈R,由f(-x)+f(x)=lg(-x+
)+lg(x+
)=lg1=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
题型2 函数奇偶性的应用
例2
(1)设a∈R,f(x)=
(x∈R),试确定a的值,使f(x)为奇函数;
(2)设函数f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,在(0,1)上是增函数,若f(a-2)-f(4-a2)<0,求实数a的取值范围.
解:
(1)要使f(x)为奇函数,
∵x∈R,∴需f(x)+f(-x)=0.
∵f(x)=a-
,
∴f(-x)=a-
=a-
.
由
+
=0,得2a-
=0,
∴a=1.
(2)由f(x)的定义域是
,知
解得
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