专题05 破译空间中有关外接球的问题解析版.docx
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专题05破译空间中有关外接球的问题解析版
专题05破译空间中有关外接球的问题
一、单选题
1.(2020·重庆市育才中学高三月考)过球的一条半径的中点,作与该半径所在直线成30°的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题画出图形,设球心为
则
为一条半径,
为
中点,过点
的平面与
所成角为30°,截面的圆心为
截面与球一交点为
则
截面,则
设
则
所以在
中,
则
所以所得截面的面积与球的表面积的比为
故选:
C
2.(2020·湖北省高三)已知三棱锥
的所有顶点在球
的球面上,
平面
,
是等腰直角三角形,
,
是
的中点,过点
作球
的截面,则截面面积的最小值是()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】点
是
的外心,过点
作
平面
使
,
是外接球球心,半径设为
,则
.
在直角梯形
中,
,
,
,得
,
过点
作球
的截面,当
截面时,截面面积最小,
此时截面圆的半径为
,
截面面积的最小值是
.故选:
B.
3.(2020·福建省高三月考)在三棱锥
中,
底面
,
,
是线段
上一点,且
.三棱锥
的各个顶点都在球
表面上,过点
作球
的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为
,则球
的表面积为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】将三棱锥
补成直三棱柱,且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球
,
记三角形
的中心为
,设球的半径为
,
,
则球心
到平面
的距离为
,即
,
连接
,则
,∴
.
在
中,取
的中点为
,连接
,
则
,
,
所以
.在
中,
,
由题意得到当截面与直线
垂直时,截面面积最小,
设此时截面圆的半径为
,
则
,
所以最小截面圆的面积为
,
当截面过球心时,截面面积最大为
,
所以
,
,
球的表面积为
.故选:
C.
4.(2020·福建省福州第一中学高三开学考试)在棱长为6的正方体
中,点
满足
,则三棱锥
的外接球的表面积是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
连接
,如图建立空间直角坐标系,
设P为三棱锥
的外接球的球心,
故P到
三点的距离相等,
由正方体的性质,P点在直线
上
不妨设
由于
外接球半径:
故表面积
故选:
C
5.(2020·云南省云南师大附中高三月考)四边形
是菱形,
,
,沿对角线
翻折后,二面角
的余弦值为
,则三棱锥
的外接球的体积为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】如下图所示,取
的中点为
,设球心
在平面
内的射影为
,在平面
内的射影为
,则二面角
的平面角为
,
,
所以
,
,
,设
,
则
,
,则
,
,
,
,
球
的半径
,所求外接球的体积为
,
故选:
B.
6.(2020·河北省高三月考)圆锥
(其中
为顶点,
为底面圆心)的侧面积与底面积的比是
,则圆锥
与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l,则侧面积为
,
侧面积与底面积的比为
则母线l=2r,圆锥的高为h=
则圆锥的体积为
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图,则OB=OS=R,OD=h-R=
BD=r,
在直角三角形BOD中,由勾股定理得
即
展开整理得R=
所以外接球的体积为
故所求体积比为
,故选:
A
7.(2020·湖南省高三期末)设三棱柱
的侧棱垂直于底面,
,
,
,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意知底面外接圆的圆心为斜边
的中点
,则外接圆的半径
,而
,
,
所以
,所以
,过
的中点做垂直于底面的直线交中截面与
点,则
为外接球的球心,
由题意得:
,所以外接球的表面积
,
故选:
.
8.(2020·全国高三课时练习)体积为
的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为正方体的体积为8,所以棱长为2,所以正方体的体对角线长为
,所以正方体的外接球的半径为
,所以该球的表面积为
,故选A.
二、填空题
9.(2020·全国高三课时练习)已知圆台的上、下底面都是球
的截面,若圆台的高为
,上、下底面的半径分别为
,
,则球
的表面积为__________.
【答案】
【解析】设球半径为R,球心O到上表面距离为x,则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理,建立等式
,解得
,所以半径
因而表面积
10.(2020·山东省高三)若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则该圆柱的外接球的表面积为_______.
【答案】
.
【解析】作出圆柱与其外接球的轴截面如下:
设圆柱的底面圆半径为
,则
,所以轴截面的面积为
,解得
,因此,该圆柱的外接球的半径
,
所以球的表面积为
.故答案为
11.(2020·广西壮族自治区广西师大附属外国语学校高三)在平面四边形ABCD中,ΔBCD是边长为2的等边三角形,ΔBAD为等腰三角形,且∠BAD=
,以BD为折痕,将四边形折成一个
的二面角
,并且这个二面角的顶点A,B,C,D在同一个球面上,则这个球的球面面积为________________
【答案】
【解析】
折成的立体图形如图所示,O为球心,E为BD的中点,∠CEH=
,
CE=
,所以由
得:
,所以,球面积为
故答案为:
12.(2020·湖南省长郡中学高三月考)已知三棱锥
,
,
,
,当
取最大值时,三棱锥
的外接球表面积是______.
【答案】
【解析】当
取最大值时
,
,
两两垂直,
此时以
,
,
为长方体的三条棱,
长方体的外接球也即是三棱锥
的外接球,
长方体的对角线长为
,设球的半径为R,则
,
球的表面积为
.故答案为:
13.(2020·广东省高三期末)已知三棱锥
中,
,当三棱锥
体积最大值时,三棱锥
的外接球的体积为______.
【答案】
【解析】三棱锥
,以
为底,
到平面
的距离为高,
则可知
平面
时,
到平面
的距离最大为
,
底面
为等腰三角形,
,
所以,当
时,
的面积最大,即
,
所以,当
两两垂直时,三棱锥
体积最大,
此时三棱锥
的外接球可以看作是以
为棱长的正方体的外接球,
设球的半径为
,则
,
解得
,所以所求球的体积为
.
故答案为:
.
14.(2020·全国高三专题练习)如图所示,六氟化硫
的分子是一个正八面体结构,其中6个氟原子
恰好在正八面体的顶点上,而硫原子
恰好是正八面体的中心.若把该分子放入一个球内,则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为________.
【答案】
.
【解析】由正八面体的性质可得:
当这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值时,此时这个球为正八面体的外接球,且球心为点
,设外接球的半径为
,则正八面体的体积为
,
又正八面体的外接球的体积为
,
则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为
故答案为:
.
15.(2020·河南省高三)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知
平面
,四边形
为正方形,
,
,若鳖臑
的外接球的体积为
,则阳马
的外接球的表面积等于______.
【答案】
【解析】鳖臑
可看做如下图所示的长方体的一部分:
则长方体外接球即为鳖臑
的外接球
外接球半径为:
又
连接
,
,交于
,取
中点
,连接
可知:
则
,
可知
为阳马
的外接球球心,则外接球半径
阳马
的外接球表面积
本题正确结果:
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