微积分上理工课程试题A附其答案.docx

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微积分上理工课程试题A附其答案

微积分（上）理工课程试题（A）

题号

一

二

三

四

五

总分

分数

合分人：

复查人：

一、求解下列各题（每小题5分，共25分）

分数

评卷人

1.设

求

其中

.

2.求

.

3.求

4.已知

在

上连续，在

内

且

求

5.讨论级数

的敛散性.

二、求解下列各题（每小题6分，共30分）

分数

评卷人

1.设

求

.

2.求

的极值.

3.设

由方程

所确定,其中

可导,且

求

4.设

，　求

5.将

展开为

的幂级数,并指出其收敛区间.

三、求下列积分（每小题7分，共28分）

分数

评卷人

1.

求

.

2.求

.

3.求

.

4.求

.

四、应用题（共10分）

分数

评卷人

设曲线为

.

（1）求该曲线过原点的切线方程;

（2）求由上述切线与曲线及

轴所围平面图形的面积;

（3）求

（2）中平面图形绕

轴旋转一周所生成的旋转体的体积.

五、证明题（共7分）

分数

评卷人

若

在

上连续,且

证明:

当

为单调递减时,

必定单调递增.

2009级微积分（上）理工课程试题（A）（答案）

一．1解：

原式=

=

2解：

故原式=1

3解：

原式=

=

=45分

4解：

因

在

上连续，且

故

5解：

故当

时，级数发散；

当

时，级数收敛；

但

时，

，级数发散。

二．1解：

2解：

当

时，

不存在，且当

时，

；当

时，

所以

是

的极大值。

3解：

4解：

解出

5解：

=

=

由

可知，

。

三．1解:

原式=

=

2解:

原式=

3解:

原式=

=

4解：

原式=

四．解：

（1）设切点为

又

切线方程为

让

代入上式可得

，故切线方程为

（2）

（3）

五．证明:

介于

与

之间。

由此可知，若

则

于是

；

若

则

于是

，

综上，

单增。