北师大版七年级数学上册全册教案教学设计.docx
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北师大版七年级数学上册全册教案教学设计
第五章一元一次方程
1认识一元一次方程
一、学生起点分析
学生在小学期间已学过等式、等式的基本性质以及方程、方程的解、解方程等知识,经历了分析简单数量的关系,并根据数量关系列出方程、求解方程、检验结果的过程。
对方程已有初步认识,但并没有学习“一元一次方程”准确的理性的概念。
二、学习任务分析
本节从有趣的“猜年龄”游戏入手,通过对五个熟悉的实际问题的分析,学生结合已有知识,能得出一元一次方程。
在此过程中,学生逐渐体会方程是刻画现实世界、解决实际问题的有效数学模型.
本节的重点:
学生在实际问题中分析、找到等量关系,准确列出方程,并总结所列方程的共同特点,归纳出一元一次方程的概念。
本节的难点:
由特殊的几个方程的共同特点归纳一元一次方程的概念。
三、教学目标
、在对实际问题情境的分析过程中感受方程模型的意义;
、借助类比、归纳的方式概括一元一次方程的概念,并在概括的过程中体验归纳方法;
、使学生在分析实际问题情境的活动中体会数学与现实的密切联系。
四、教学过程设计
环节一:
阅读章前图
内容:
请一位同学阅读章前图中关于“丟番图”的故事。
(大约分钟)
丢番图( )是古希腊数学家.人们对他的生平事迹知道得很少,但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平:
坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了其所经历的人生旅程.上帝赐予他的童年占六分之一,又过十二分之一他两颊长出了胡须,再过七分之一,点燃了新婚的蜡烛.五年之后喜得贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半便入黄泉.悲伤只有用数学研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.
——出自《希腊诗文选》( )第题
目的:
通过阅读章前图中的故事,激发同学们探索丟番图年龄的兴趣,进而引导学生通过列方程解决问题,感受利用方程可以解决实际问题,感受方程是刻画现实世界有效地模型。
效果:
学生对丟番图的故事很感兴趣,有的学生提出问题:
他的年龄是多少呢?
教师借机也提出问题:
用什么方法可以求解丟番图的年龄呢?
紧接着呈现内容。
内容:
回答以下个问题:
(大约分钟)
、你能找到题中的等量关系,列出方程吗?
、你对方程有什么认识?
、列方程解决实际问题的关键是什么?
目的:
第一个问题考查学生根据等量关系列方程的能力,对于解方程这里不做要求。
第二个问题意在鼓励学生用自己的语言对方程进行描述,锻炼学生的数学语言表达能力。
第三个问题强调列方程解应用题的关键是:
寻找等量关系。
实际效果:
第一个问题学生可以完成问题。
如下:
解:
设丟番图的年龄为岁,则:
第二个问题学生的表述合理即可,教师可以用规范的语言再次强调:
方程是刻画现实世界有效地模型。
第三个问题学生回答较好。
内容:
阅读学习目标:
(大约分钟)
学习本章内容,你将感受方程是刻画现实生活中等量关系的有效模型。
掌握等式的基本性质,能解一元一次方程。
能用一元一次方程解决一些简单的实际问题。
在探索一元一次方程解法的过程中,感受转化思想。
目的:
通过阅读学习目标,学生了解了本章知识的学习内容共有两部分:
解一元一次方程和能用一元一次方程解决一些简单的实际问题。
学生对于本章知识的学习和数学思想有一个整体的概念。
实际效果:
学生通过阅读,目标明确了,学习更有针对性。
尤其是认识了“转化思想”的重要性。
环节二:
自主阅读、学习
内容:
让学生阅读本节教材随堂练习之前的内容。
结合课本多以问题串的形式呈现内容的特点,粗读并完成书上的填空题。
(大约分钟)
目的:
通过读书的过程,首先让学生回忆起小学学过的等式的概念、方程的概念,对课文所设置的较简单又熟悉的实例中的各种量的关系分析清楚,找出等量关系,列出方程,体会不同类型的方程.
实际效果:
通常,多数学生能够分析教材实例中所蕴含的各种数量关系,并列出方程。
教学过程中需要注意学生在这个环节的活动中所表现出来的书写不规范,错误的地方,提醒学生注意。
环节三:
情境引入
内容:
与学生共同分析完成课本呈现的五个情境:
( )如果设小彬的年龄为岁,那么“乘再减”就是,所以得到方程:
组织活动:
四人小组做猜年龄的游戏,每个小组会有几个不同的等式.
如:
我的年龄乘减等于,你知道老师多大了吗?
学生算出老师岁了
( )小颖种了一株树苗,开始时树苗高为,栽种后每周树苗长高约,大约几周后树苗长高到?
如果设周后树苗长高到,那么可以得到方程:
( )甲、乙两地相距,张叔叔从甲地出发到乙地,每时比原计划多行走
,因此提前到达乙地,张叔叔原计划每时行走多少千米?
设张叔叔原计划每时行走,可以得到方程:
( )根据第六次全国人口普查统计数据,截至年月日时,全国每万人中具有大学文化程度的人数为人,与年第五次全国人口普查相比增长了.
如果设年第五次全国人口普查时每万人中约有人具有大学文化程度,那么可以得到方程:
( )
( )某长方形操场的面积是,长和宽之差为,这个操场的长与
宽分别是多少米?
如果设这个操场的宽为,那么长为( ).可以得到方程
目的:
通过准确列五个方程,感受:
、列方程解应用题的关键是:
寻找等量关系;、五个方程可分为三种类型:
一元一次方程,分式方程,一元二次方程。
注意事项:
学生在列方程时要注意以下问题:
、让学生读题、审题,锻炼学生的审题能力;
、( )中单位换算:
米厘米。
等量关系为:
最后树高初始树高每周生长高度;
、( )中单位换算:
分小时。
等量关系为:
原计划所用时间现在所用时间提前时间;
、( )中数字在前,字母在后。
环节四:
归纳一元一次方程的定义,了解一元一次方程的解的含义
内容:
议一议
( )由上面的问题你得到了哪些方程?
其中哪些是你熟悉的方程?
与同伴
进行交流.
共得到五个方程。
其中( )、( )、( )都只有一个未知数,在小学学习时常见。
( )方程,,( )有什么共同点?
它们都只含有一个未知数,且未知数的指数都是。
目的:
由( )引导学生逐步深入地思考所列的五个方程的特点:
未知数的次数、位置不同;由( )得出一元一次方程的定义:
在一个方程中,只含有一个未知数,且未知数的指数都是,这样的方程叫做一元一次方程。
实际效果:
逐步引发学生对方程特点的研究,由此让学生自己说出一元一次方程的定义,并判断上述五个方程只有三个一元一次方程。
结论的得出源于学生在实际问题中分析,并不断地综合总结,体现了学生思维的主动性.
内容:
判断下列各式是不是一元一次方程,是的打“√”,不是的打“x”。
目的:
巩固定义,准确判断一元一次方程的形式。
效果:
( )、( )、( )是一元一次方程。
学生易出现以下错误:
、漏掉( );事实上( )是最简洁的方程形式;
、错选( ),次数不满足条件。
内容:
方程的解得含义:
使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解。
完成随堂练习题:
是下列方程的解吗?
目的:
了解方程的解的含义;判断是否为方程的解的方法:
将解带入原方程,分别计算左和右,看是否相等。
相等则为原方程的解。
实际效果:
、学生有小学的基础,能理解方程的解的含义;
、学生熟练将方程的解带入方程进行验证,得出结论。
环节五:
达标检测
内容:
完成教材上的随堂练习、根据题意,列出方程:
( )在一卷公元前年左右遗留下来的古埃及纸草书中,记载着一些数学问题.其中一个问题翻译过来是:
“啊哈,它的全部,它的,其和等于.”
你能求出问题中的“它”吗?
解:
设“它”为,则:
( )甲、乙两队开展足球对抗赛,规定每队胜一场得分,平一场得分,负一场得分.甲队与乙队一共比赛了场,甲队保持了不败记录,一共得
了分.甲队胜了多少场?
平了多少场?
解:
设甲队赢了场,则乙队赢了( )场。
则:
、达标练习:
1、如果是一元一次方程,那么.
2、下列各式中,是方程的是(只填序号)
①②③7m④()
3、下列各式中,是一元一次方程的是(只填序号)
①②③④
4、的%加上等于.则可列出方程:
.
5、某数的一半减去该数的等于,若设此数为,则可列出方程
6、一桶油连桶的重量为千克,油用去一半后,连桶重量为千克,桶内有油多少千克?
设桶内原有油千克,则可列出方程
、小颖的爸爸今年岁,是小颖年龄的倍还大岁,设小明今年岁,则可列出方程:
、年前,父亲的年龄是儿子年龄的倍,年后父亲的年龄是儿子年龄的倍,求父子今年各是多少岁?
设年前儿子年龄为岁,则可列出方程:
目的:
对本节知识进行巩固练习
实际效果:
、学生基本能很好地对随堂练习的问题给出准确的解答。
、由同学选自己组的代表发言,对随堂练习中的各个量及所表示的意义进行说明,加深对背景下的数学模型的理解。
、达标练习中的题可以有选择的做。
环节六:
课堂小结
内容:
师生互动,梳理本节内容。
(本节课你的收获,你的疑惑)
目的:
鼓励学生结合学习本节课本内容及课前的预习,谈谈自己的收获与感想,包括如何调整自己的读书方法.
实际效果:
学生一方面总结出了:
1.本节给出了四个知识点:
等式(回顾巩固),方程(给出描述性定义),一元一次方程及一元一次的解(根).
2.感觉在解决实际问题时,列方程相比小学算术法,给出的思维方式与途径更具普遍性.
3.列方程的核心:
实际问题“数学化”,关键是找到等量关系。
另一方面:
每位同学都在现有程度上,适当调整自己的读书预习方式及自己独立思考问题的途径.
环节七:
布置作业
、习题
、思考:
如何得到所列三个一元一次方程的解?
五、教学反思:
1.此阶段的学生有比较强烈的自我发展意识,对与自己的主观经验相冲突的现象,教师只有进行得当合理的诠释方可得到学生的认可。
授课时要设法让学生体会运用方程建模的优越性,将能使众多实际问题“数学化”的重要数学模型成为学生学习后续知识的自觉选择。
2.让学生在简单的背景问题中,一点一滴地体会分析已知量、未知量之间的数量关系,对列方程的帮助,其正做到分解难点、降低难度、突破难点的目的.
3.学生的读书仍然停留在表面上的阅读,还须继续坚持和及时引导。
2求解一元一次方程
一、学生起点分析
学生在上一节已经掌握了用移项法则解一元一次方程,用等式的基本性质二将方程中未知数的系数化为1,从而转化方程为x=a(a为常数)的形式,本节课在第一节的基础上进行去括号的应用,学生在之前已经学习了去括号法则,但仍然存在不少问题,教学时需复习巩固.二、学习任务分析
第一课时要求学生完成用等式基本性质一解方程,分析、观察、归纳出用移项法则,从而简化解方程的步骤.第二课时,让学生体会当方程左右两边含有括号时,如何通过去括号法则将方程化简再运用等式的基本性质一、二使方程变形到“x=a(a为常数)”的形式.三、教学目标
知识与能力:
经历解方程的基本思路是把“复杂”转化为“简单”,把“未知”转化为“已知”的过程,进一步
理解并掌握如何去括号的解题方法。
教学思考:
研究在解方程时如何去括号,并从中体会转化思想。
解决问题:
通过解方程的方法、步骤的灵活多样,培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观:
培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确(不要求写出检验步骤)的良好
习惯,体验求知的成功,增强学习的兴趣和信心。
教学重点和难点
重点:
灵活掌握和运用解一元一次方程的基本程序。
难点:
解方程时如何去括号。
(①不漏乘括号外的因数②注意括号外为负因数时,去括号后各项的符号都要改变。
)
四、教学过程设计
本节课通过过关形式进行设计了四关:
第一关:
课前练习;第二关:
我参与我讨论,合作学习;第三关显身手,验效果,探索交流,深化认识,巩固提高;最后:
课堂小结;第布置作业.
第一关,课前练习内容:
设置问题串,
1.上一节课解一元一次方程的题型有什么特点?
一般步骤是什么?
移项有什么注意事项?
2.课前练习,有信心吗?
通过两个练习,一去括号三个题目,回忆巩固去括号法则,为本节学习奠定基础。
二解方程,熟练上节所学解
方程的一般步骤。
第二关:
合作学习,我参与,我讨论内容:
请同学们分析理解图解题.
1.由同学根据图示编出一道合理的应用题.
2.比较此题与本章节第一节引例的实际问题有何区别?
目的:
进一步让学生体会数学中问题的提出大都是因人们的生活实践需要,因社会的发展需要,实际问题的“数学化”,数学服务于生活实际随处可见.
在学生由图示内容编题过程中,让学生强化“三种语言”的互话能力.即:
文字语言,符号语言和图例语言
之间的互相转化.学生着方面能力的培养在教师授课的过程中需要引起关注,将是一个事半功倍的方法,尤其是设法充分利用教材中所呈现内容这一资源,显得尤为重要.实际效果:
1、同学完整编出此题:
小林到超市,准备买1听果奶和4听可乐,小明告诉他一听可乐比一听果奶贵5角钱,小林给了营业员20元钱,找回了3元,大家帮助小林算算一听果奶,一听可乐各是多少钱?
完成的过程体现出学生对图例中已知、未知等相关方面的信息掌握全面,梳理清晰,表达准确.
1、本例及本章节的背景问题,学生们发现设问中的未知量由原来的一个增加到现在的两个,并给出完整的解答
过程.这些方面学生都能很完整、准确地给予书面语言的表达,完成得非常好,为后续课程的学习奠定了很好的基础
让同学们讨论一下,如何列出方程?
.列出方程:
4(x+0.5)+x=20-3.
这个方程列的对吗?
怎样解所列的方程?
让同学们分析此方程与上节方程的不同解方程:
4(x+0.5)+x=17.解:
去括号,得4x+2+x=17.
移项,得4x+x=17-2.合并同类项,得5x=15.方程两边同除以5,得x=3.
此题通过师生合作解决,强调规范的步骤格式.
接着给出两个方程试一试,我能行。
4x—3(2—x)=15
可由同学上台板演,教师巡视指导、订正。
再次叮嘱学生注意符号。
让同伴帮助出错的同学找原因,通过组内交流、合作,解决问题,达到团结协作精神。
同时鼓励灵活解题,培养学生的分析问题和解决问题的能力。
通过上述过程,强调学生在去括号时注意:
①不漏乘括号外的因数;②括号前是“-”号,要变号。
探索交流,深化认识
内容:
1.课本175页,例4解方程:
-2(x-1)=4.
解法一:
去括号,得-2x+2=4.
移项,得-2x=4-2.化简,得-2x=2.方程两边同时除以-2,得x=-1.
解法二:
方程两边同时除以-2,得x-1=-2.
移项,得x=-2+1.
即x=-1.
此题通过学生板演解决,观察两种解方程的方法,说出它们的区别,同伴间进行交流.
目的:
一方面让学生继续巩固含括号的一元一次方程的解法;另一方面让学生感受将(x-1)或其他的未知数的代数式看成整体的数学思想.培养学生分析,问题归纳问题,灵活解决问题的能力,优化学生的思维结构。
第三关:
显身手,验效果
1.给出两方程,让学生到黑板做
(1)?
3(x+3)=24;
(2)2x—2(3—2x)=3
2.解方程3-(x+6)=-5(x-1)时,去括号正确的是()A.3-x+6=-5x+5B.3-x-6=-5x+5C.3-x+6=-5x-5D.3-x-6=-5x+1
【解析】选B.选项A,C的6及-5没变号;选项D出现了漏乘.3.【想一想错在哪?
】解方程:
3(x-3)-(3-x)=8.
解:
去括号,得:
3x-3-3+x=8
移项,得:
3X+x=8+3+3合拼同类项,得:
4X=24
4.如果2(x+3)的值与3(1-x)的值互为相反数,那么x=_______.环节四:
课堂小结
1.本节课我们学习了哪些内容?
哪些思想方法?
2.解含有括号的一元一次方程的一般步骤是什么?
每步变形的依据及需注意什么?
内容:
学生归纳总结本节内容,并回顾复习每步变形的依据及注意事项.
目的:
学生的课堂小结看似简单,但是却反映学生知识内化的重要方面,这个过程的实现,通过学生的书面表达完成,更能体现了学生的综合能力.
环节五:
布置作业习题第5.4第1、2小题
课后反思
创造性地使用教材,是教师的主导作用的体现.本课时教材在使用时至少有三处贯穿了这样的思想.教师这个“教练”、“导演”应该引导学生充分利用其课文内在的资源,使其发挥最大的作用.如:
(1)开始引例“图示”的内容,让学生用其素材编题.
(2)本例解题过程回答题中两个未知量的解答环节.(3)通过让学生自编用整体思想解答的方程.
这些环节的设置,对系统地、全面地培养学生捕捉信息、分析信息和处理信息的能力有非常大的作用,对学生课上反思、课上内化知识的能力提高.作为教师,应该长期坚持与学生在这方面切磋、探索,把课堂充分还给学生,充分尊重学生的个性思维,引导学生构建自己的认知结构,并给予适时调控和指导。
3应用一元一次方程——水箱变高了
教学目标:
1.通过分析图形问题中的基本等量关系,建立方程解决问题;
2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用;
3、通过对实际问题的解决,体会方程模型的作用,发展分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.
重点:
列出一元一次方程解有关形积变化问题;
难点:
依题意准确把握形积问题中的等量关系。
教学过程:
一、预习阅读教材P141-142,将书上的空格内容填好,并勾出不懂的地方。
1.方程解应用题的5个步骤是什么?
(1)__________________.
(2)________________.(3)__________________.
(4)_________________.(5)_________________.
2.填空
长方形的周长=_________,面积=__________.
长方体的体积=_________,正方体的体积=__________.
圆的周长=___________;面积=_______________.圆柱的体积=_______________.
二、探索新知
1、理解解应用题的关键是找等量关系列方程
阅读课本P141思考下列问题:
(1)、这个问题中的等量关系是:
旧水箱的=新水箱的
(2)、设水箱的高变为xm,填写下表:
(3)、根据等量关系,列出方程:
(记得用π不要用3.14)解得:
x.因此,水箱的高变成了m
变式练习:
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米
的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱,高变成了多少?
这个问题中的等量关系是:
设锻压后圆柱的高为x厘米,填写下表:
(提示:
1、题目中已知的是“底面直径”,而不是“底面半径”,所以应注意转化.2、π的值不用写出,
在计算过程中可根据等式基本性质2约去.3、根据锻压前后体积不变这个等量关系来建立方程!
)
解:
根据等量关系,列出方程:
解得x=因此,“矮胖”形圆柱,高变成了m.
归纳:
本节主要研究形积变化问题.对于这类问题,虽然形状和体积都可能发生变化,但应用题中任然含有一个相等关系,要通过分析题意和题目中的数量关系,把这个能够表示应用题全部含义的相等关系找出来,然后根据这个相等关系列出方程.此类问题常见的有以下几种情况:
1、形状发生了变化,而体积没变.此时,相等关系为变化前后体积相等.
2、形状、面积发生了变化,而周长没变.此时,相等关系为变化前后周长相等.
3、形状、体积不同,但根据题意能找出体积之间的关系,把这个关系作为相等关系.
三.应用
1.例1阅读课本P141-142例题,完成下列问题
⑴使得该长方形的长比宽多1.4m,此时长方形的长和宽各为多少米?
⑵使得该长方形的长比宽多0.8m,此时长方形的长和宽各为多少米?
它所围成的长方形与⑴中所围成长方形相比,面积有什么变化?
⑶使得该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,此时正方形的边长是多少米?
它所围成的面积与⑵中相比又有什么变化?
解题感悟:
解决这道题的关键是什么?
从解这道题中你有何收获和体验?
2.练习:
用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆,已知正方形边长比圆的半径长2(π-2)米,求两个等长铁丝长度,并通过计算比较说明谁的面积大.
(分析:
正方形周长=圆的周长)
解:
设
3.归纳:
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
(1)审:
审题,分析题中已知什么、求什么,明确各数量之间的关系;
(2)找:
找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系;(3)设:
设未知数(一般求什么,就设什么);
(4)列:
根据相等关系列出需要的代数式,从而列出方程;
(5)解:
解所列的方程,求出未知数的值;
(6)检:
检查所求解是否符合题意;
(7)答:
写出答案(包括单位名称).
4.例1制造一个长5cm,宽3cm的无盖水箱,箱底的造价每平方米为60元,箱壁每平方米的造价是箱底每平方米造价的2,若整个水箱共花去1860元,求水箱的高度.3
分析:
本题已知箱底和箱壁每平方米的造价,所以应分两部分分别计算出箱底和箱壁的面积,相等关
系是箱底的造价+箱壁的造价=1860元,可直接设未知数来解.
5.练习:
用直径为4cm的圆钢,铸造三个直径为2cm,高为16cm的圆柱形零件,
问:
需要截取多长的圆钢?
分析:
本题是等积变形问题,其相等关系是:
铸造前圆钢的体积=底面积×高.设所需圆钢的长为xcm,则铸造前圆钢的体积为
四.小结π∙⎪x,铸造后3个圆柱的体积为⎛4⎫⎝2⎭.⎛2⎫3×π×⎪×16⎝2⎭2
1、形积变化问题常见的有以下几种情况:
(1)
(2)(3)
2、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤:
五.评价检测
1、用直径为40mm、长为1m的圆钢,能拉成直径为4mm、长为_______m的钢丝。
2、用一根铁丝可围成一个长24厘米、宽12厘米的长方形。
若将它围成一个正方形,则这个正方形的面积是()
A、81㎝²B、18㎝²C、324㎝²D、326㎝²
3、将底面直径为12厘米,高为30厘米的圆柱水桶装满水,倒人一个长方体水箱中,水只占水箱容积的2,设水箱容积为x立方厘米,则可列方程_________________.3
4、把一块长、宽、高分别为5㎝、3㎝、3㎝的长方体铁块,浸入半径为4㎝的圆柱形水杯中(盛有水),水面将增高多少?
(不外溢)(40分)
六.拓展
1、把直径6cm,长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢,求锻造后的圆钢的长。
2.小圆柱的直径是8厘米,高6厘米,大圆柱的直径是10厘米,并且它的体积是小圆柱体体积的2.5倍,那么大圆柱的高是多少?
4应用一元一次方程——打折销售
这节课是北师版七年级上第五章第四节的内容,前面已经完成了一元一次方程定义和解法的初步学习,同学们会解方程,能对简单的实际问题建立方程模型,上节课在等积变换问题上应用了列表的方法分析等量关系,学生已经积累了部分活动经验,这节课的学习进一步强化学生的建模意识,能从实际问题中理清数量关系,能把具体情景中等量关系找出来,教学的重点就是列方程,感受方程在解决实际问题中的有效模型作用,难点就是理清销售问题中数量关系,突破难点的手段就是运用合适的方法辅助分析数量关系,让学生感悟各个量之间的关联,同时进一步积累活动经验,提升解决实际问题的能力。
让学生了解商品标价、进价、售价等概念,掌握他们之间的关系,通过商场体验、情景模拟等方式方法感悟概念的内涵,体验商品交易过程中的数学背景,探究商品交易过程中的数学原理,感悟方程建模在实际生活中的有效模型作用,通过合作交流互助,积累活动经验,提升概括销售问题数量关系的能力,进一步建立合作的能力和意识。
学生
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