圆中最值问题.docx
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圆中最值问题
中考培优课程
5圆中最值
知识目标
模块一
线段条件的隐圆最值
例1、例2
难度:
★★★★
模块二
定边对定角(90度)
例3
难度:
★★★★
模块三
定边对定角(非90度)
例4、例5
难度:
★★★★
模块四
定边对动角
例6
难度:
★★★★
知识导航
1、圆中最值基本模型
(1)点与圆的最值
已知点Q为⊙O上一动点,P为平面内任意一点,现在来探究PQ的最值.
①当P为圆外一点时,连接PO交⊙O于Q2,PO延长线交⊙O于Q1.
则PQmin=PQ2,PQmax=PQ1.
②当P为圆内一点时,连接OP并延长交⊙O于Q2,连接PO并延长交⊙O于Q1.
则PQmin=PQ2,PQmax=PQ1.
③当P为圆上一点时,连接PO并延长交⊙O于Q1.
则PQmin=PQ2=0,PQmax=PQ1=直径.
(2)直线与圆的最值
已知点Q为⊙O上一动点,l为平面内任意一条直线,现在探究Q到直线l的距离d的最值.
①若l与⊙O相离,过点O作OP1⊥l于P1,交⊙O于Q2,延长P1O交⊙O于Q1.
则dmin=P1Q2,dmax=P1Q1.
②若l与⊙O相交,过点O作OP⊥l于P,分别交⊙O于Q1、Q2两点.
则dmin=0,优弧中的最大值为dmax=PQ1,劣弧中的最大值为dmax=PQ2.
③若l与⊙O相切,则dmin=0,dmax=直径.
2、题目一般会把“已知点Q为⊙O上一动点”这一条件进行隐藏,也就是说动点的运动轨迹需要我们去证明是一个圆,这就是接下来要给大家介绍的隐圆问题.
模块一线段条件产生的隐圆
(1)线段条件产生隐圆
若OA=OB=OC,则以O为圆心,OA为半径作圆,B、C两点在圆中.
到平面中定点O等于定长r的点A,可看作在以O为圆心,半径为r的圆上运动.
例1
在坐标系中,点A坐标为(4,0),点B为y轴正半轴上一点,点C是坐标系中一点,且AC=2,
则∠BOC度数取值范围为.
练习
在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△MNC,P、Q分别是AC、MN的中点,AC=2t,连接PQ,则旋转时PQ长度的最大值是.
例2
(2016年江汉区九上期中第10题)
如图,已知等边△ABC的边长为4,以AB为直径的圆交BC于点F,以C为圆心,CF的长为半径作圆,D是⊙C上一动点,E为BD的中点.当AE最大时,BD的长为( )
A.2
B.2
C.2
+1D.6
练习
(2016年洪山区九上期中第10题)
如图,在等腰Rt△ABC中,斜边AB=8,点P在以AC为直径的半圆上,M为PB的中点,当点P沿半圆从点A运动至点C时,点M运动的路径长是( )
A.2
πB.
πC.2πD.2
模块二线段与角度条件产生隐圆
线段与角度条件产生隐圆——定边对定角
BC为定长线段,A为动点,
∠BAC=90°时,A可以看作是
以BC为直径的圆上的动点.
BC为定长线段,A为动点,∠BAC为一定值,则作△ABC的外接圆,A可以看作是
上的动点.
题型一定边对定角(90度)
例3
1、(2013年武汉中考第16题)
如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.
2、(2015年洪山区九上期中)
如图,线段AB上有一动点M,分别以AM、BM为边作正方形AMFE、MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O'交于M、N两点,则直线MN的情况是( )
A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能
练习
在平面直角坐标系中,直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点,点P在y轴左边,且∠APB=90°,则点P的横坐标α的取值范围是.
题型二定边对定角(非90度)
例4
1、(2016年新洲区九上期中)
正方形ABCD的边长为4,E为正方形外一动点,∠AED=45°,AP=1,线段PE的最大值是.
2、如图,已知在等边△ABC中,AB=AC=BC=8,点D、E分别是边AC、AB上两点,且AE=CD,BD交CE于F,连接AF,则AF的最小值为.
3、如图,等边△ABC中,BC=2,射线AM∥BC,P是射线AM上一动点(P不与A点重合),△APC的外接圆交BP于Q,则AQ长的最小值为.
4、(2015年武昌区九上期中)
如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=45°,以4
为半径,过B、C两点作⊙O,连OA,则线段OA的最大值为.
例5
1、如图,⊙O的半径为2,弦AB的长为2
,点P为优弧
上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的面积的最大值是.
2、如图,在弓形BAC中,∠BAC=60°,BC=2
,若点A在优弧BAC上由点B向点C移动,记△ABC的内心为I,则△ABC内切圆半径的最大值为.
3、如图,在扇形AOB中,OA⊥OB,D是
上一动点,DE⊥OA于E,若OA=4
,记△DEO的内心为I,则△DEO内切圆半径的最大值为.
题型三定边对动角
例6
如图,在展览大厅中,墙壁上的展品最高处点P距离地面2.5米,最低处点Q距地面2米,观赏者的眼睛(在E点)距离地面1.6米.当视角∠PEQ最大时,站在这个位置的观赏效果最理想,求此时E到墙壁的距离为米.
练习
1、已知A(2,0),B(4,0)是x轴上的两点,点C是y轴上的动点,当∠ACB最大时,则点C的坐标为.
2、如图,P为⊙O内的一个定点,A为⊙O上的一个动点,射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点.若⊙O的半径长为3,OP=
,则弦BC的最大值为.
第5讲本讲课后作业
A基础巩固
1、如图,已知矩形ABCG(AB<BC)和矩形CDEF全等,点B、C、D在同一直线上,∠APE的顶点P在折线段B-D-E上移动,使∠APE为直角的点P的个数是.
2、如图,正方形ABCD的边长为4,∠AED=45°,P为AB的中点.当点E运动时,求PE的最大值和最小值.
3、如图,P为正方形ABCD的边CD上任意一点,E为AP上一点,BE=AB,∠CBE的平分线交AP延长线于点Q.若正方形的边长为a,当点P在CD边上由C移动到D时,则点Q到CD的最大距离为.
B综合训练
4、如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=45°,AC=2
,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F,连接EF,则线段EF的最小值为.
数学故事
贝多芬的成就
贝多芬的心中充满了自由、平等、博爱的理想,他是1789年法国资产阶级革命的热烈拥护者。
1798年,柏纳多特将军(1763-1844)出任法国驻维也纳大使,贝多芬常到他的家里,并和他周围的人有密切的交往。
1802年,贝多芬在柏纳多特的提议下,动手写作献给拿破仑的《第三交响曲》,在他的心目中,拿破仑是摧毁专制制度、实现共和理想的英雄。
1804年,贝多芬完成了《第三交响曲》。
正当他准备献给拿破仑时,拿破仑称帝的消息传到了维也纳。
贝多芬从学生李斯(1784-1838)那里得知这个消息时,怒气冲冲地吼道:
“他也不过是一个凡夫俗子。
现在他也要践踏人权,以逞其个人的野心了。
他将骑在众人头上,成为一个暴君!
”说着,走向桌子,把写给拿破仑的献词撕个粉碎,扔在地板上,不许别人把它拾起来。
过了许多日子,贝多芬的气愤才渐渐的平息,并允许把这部作品公之于世。
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