1718版 第10章 第1节 随机事件的概率.docx
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1718版第10章第1节随机事件的概率
第十章 概 率
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[五年考情]
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
随机事件的概率
全国卷Ⅱ·T18
全国卷Ⅱ·T18
—
全国卷Ⅱ·T19
全国卷·T18
古典概型
全国卷Ⅰ·T3
全国卷Ⅲ·T5
全国卷Ⅰ·T4
全国卷Ⅰ·T13
全国卷Ⅱ·T13
全国卷Ⅰ·T3
全国卷Ⅱ·T13
—
几何概型
全国卷Ⅱ·T8
—
—
—
—
[重点关注]
综合近5年的全国卷高考试题,我们发现高考命题在本章呈现以下规律:
1.从考查题型看:
一般有1个客观题或1个解答题;从考查分值看,占5~17分,基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握,中档题主要考查应用意识、转化与化归思想及运算求解能力.
2.从考查知识点看:
主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型.
3.从命题思路上看:
(1)随机事件的概率与统计知识相结合考查.
(2)概率的计算主要考查古典概型的应用.
[导学心语]
1.全面系统复习,深刻理解知识本质
(1)深刻把握随机事件、互斥事件、对立事件、古典概型、几何概型的概念,复习时可以通过选择一些易错易混的小题进行强化.
(2)重视古典概型概率公式、几何概型概率公式、互斥及对立事件概率公式的理解和应用,注意公式适用的条件.
2.熟练掌握解决以下问题的方法与规律
(1)随机事件的概率、互斥事件概率、对立事件概率的求法.
(2)古典概型概率与几何概型概率的计算.利用强化训练,总结规律方法,提升认识.
3.重视转化与化归思想的应用
(1)需要将实际问题的概率计算转化为某概率类型进而求解.
(2)将古典概型概率计算转化为计数问题;将几何概型概率计算转化为长度、面积的计算;将复杂事件的概率计算转化为互斥事件或对立事件的概率计算等.
(3)将图表信息转化为概率计算需要的数量,进而求解,并重视与统计知识交汇渗透.
第一节 随机事件的概率
[考纲传真] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
1.概率
(1)定义:
在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A),有0≤P(A)≤1.
(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而概率是一个确定的值,因此,人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.
2.互斥事件与对立事件
(1)互斥事件:
在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.
(2)对立事件:
在每一次试验中,两个事件不会同时发生,并且一定有一个发生的事件A和
称为对立事件.
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率:
P(A)=1.
(3)不可能事件的概率:
P(A)=0.
(4)互斥事件的概率加法公式:
①P(A+B)=P(A)+P(B)(A,B互斥).
②P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(A1,A2,…,An彼此互斥).
(5)对立事件的概率:
P(
)=1-P(A).
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复实验中,概率是频率的稳定值.( )
(3)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( )
(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.(教材改编)袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则①恰有1个白球和全是白球;②至少有1个白球和全是黑球;③至少有1个白球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个黑球.
在上述事件中,是对立事件的为( )
A.① B.②
C.③ D.④
B [至少有1个白球和全是黑球不同时发生,且一定有一个发生,∴②中两事件是对立事件.]
3.(2016·天津高考)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是
,甲获胜的概率是
,则甲不输的概率为( )
A.
B.
C.
D.
A [事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件,所以甲不输的概率为
+
=
.]
4.(2017·郑州调研)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是________.
【导学号:
66482459】
[从A,B中各取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种情况,
其中和为4的有两种情况(2,2),(3,1),
故所求事件的概率P=
=
.]
5.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的经斥事件是________.(填序号)
①至多有一次中靶;②两次都中靶;③只有一次中靶;
④两次都不中靶
④
随机事件间的关系
(2017·中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( )
A.① B.②④
C.③ D.①③
C [从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况:
一奇一偶,两个奇数,两个偶数,
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件.
又①②④中的事件可以同时发生,不是对立事件.]
[规律方法] 1.本题中准确理解恰有两个奇数(偶数),一奇一偶,至少有一个奇数(偶数)是求解的关键,必要时可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.
2.准确把握互斥事件与对立事件的概念.
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生.
(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生.
[变式训练1] 口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同的小球,从中取出2球,事件A=“取出的2球同色”,B=“取出的2球中至少有1个黄球”,C=“取出的2球至少有1个白球”,D=“取出的2球不同色”,E=“取出的2球中至多有1个白球”.下列判断中正确的序号为________.
①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;③C与E是对立事件;④P(C+E)=1;⑤P(B)=P(C).
①④ [当取出的2个球中一黄一白时,B与C都发生,②不正确.当取出的2个球中恰有一个白球时,事件C与E都发生,则③不正确.显然A与D是对立事件,①正确;C+E为必然事件,④正确.由于B≠C,故P(B)≠P(C),所以⑤不正确.]
随机事件的频率与概率
(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险
次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件:
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
[解]
(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为
=0.55,故P(A)的估计值为0.55.4分
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为
=0.3,故P(B)的估计值为0.3.8分
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
10分
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.12分
[规律方法] 1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数,计算频率,用频率估计概率.
2.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率),因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
[变式训练2] (2017·西安质检)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任选一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
[解]
(1)由4月份天气统计表知,在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,2分
以频率估计概率,在4月份任选一天,西安市不下雨的概率为
=
.5分
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率f=
=
.10分
以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为
.12分
互斥事件与对立事件的概率
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及
以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率).
[解]
(1)由题意,得
解得
2分
该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体,100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计.
又
=
=1.9,
∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.5分
(2)设B,C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”.设A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.”7分
将频率视为概率,得P(B)=
=
,
P(C)=
=
.
∵B,C互斥,且
=B+C,
∴P(
)=P(B+C)=P(B)+P(C)=
+
=
,10分
因此P(A)=1-P(
)=1-
=
,
∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为0.7.12分
[规律方法] 1.
(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.
(2)结算时间不超过2分钟的事件,包括结算时间为2分钟的情形,否则会计算错误.
2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:
一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P(
)求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题,多考虑间接法.
[变式训练3] 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
[解]
(1)P(A)=
,
P(B)=
=
,2分
P(C)=
=
.
故事件A,B,C的概率分别为
,
,
.5分
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A+B+C.
∵A,B,C两两互斥,
∴P(M)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
=
=
,8分
故1张奖券的中奖概率约为
.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
∴P(N)=1-P(A+B)=1-
=
,
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
.12分
[思想与方法]
1.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
2.对立事件不仅两个事件不能同时发生,而且二者必有一个发生.
3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:
(1)直接法:
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算.
(2)间接法:
先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(
),即运用逆向思维(正难则反).
[易错与防范]
1.易将概率与频率混淆,频率随着试验次数变化而变化,而概率是一个常数.
2.正确认识互斥事件与对立事件的关系:
对立事件是特殊的互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
3.需准确理解题意,特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.
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