专题一 阿基米德三角形的性质讲课教案.docx
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专题一阿基米德三角形的性质讲课教案
专题一 阿基米德三角
形的性质
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形:
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了:
抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面
积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质:
设抛物线方程为 x2=2py,称弦 AB 为阿基米德三角形的底边,M 为底边 AB 的
中点,Q 为两条切线的交点。
性质 1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质 2阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C,则另一顶点 Q 的
轨迹为。
性质 3 抛物线以 C 为中点的弦与 Q 点的轨迹。
性质 4 若直线 l 与抛物线没有公共点,以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边
过定
点。
性质 5 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质 6 若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点 Q 的轨迹为抛物线的,且阿
基米德三角形的面积的最小值为。
性质 7 在阿基米德三角形中,∠QFA=∠QFB。
性质 8 在抛物线上任取一点 I(不与 A、B 重合),过 I 作抛物线切线交 QA、QB
于 S、T
QST 的垂心在上。
性质 9 |AF|·|BF|=|QF|2.
性质 10 QM 的中点 P 在抛物线上,且 P 处的切线与 AB。
性质 11 在性质 8 中,连接 AI、BI
ABI 的面积是△QST 面积的倍。
高考题中的阿基米德三角形
例 1 (2005 江西卷,理 22 题)如图,设抛物线C :
y = x 2的焦点为 F,动点 P 在直
线 l :
x - y - 2 = 0 上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别
相切于 A、B 两点.
(1
APB 的重心 G 的轨迹方程.
A F
y
B
x
l
(2)证明∠PFA=∠PFB.
O
P
解:
(1)设切点 A、B 坐标分别为 (x , x 2 )和(x , x 2 )(( x
x ) ,
0
1
1
1
0
∴切线 AP 的方程为:
2x x - y - x 2 = 0;
0
0
切线 BP 的方程为:
2x x - y - x 2 = 0;
1
1
解得 P 点的坐标为:
x = x 0 + x1 , y = x x
P2P0 1
所以△APB 的重心 G 的坐标为,
3 =
3 =
3 =
3 ,
y = y 0 + y1 + yP
G
x 2 + x 2 + x x
0 1 0 1
(x + x )2 - x x
0 1 0 1
4x
P
2 - y
p
所以 y = - 3y + 4x 2 ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:
p
G
G
x - (- 3y + 4x 2 ) - 2 = 0,即y =
1
3
(4x 2 - x + 2).
(2)方法 1:
因为 FA = (x , x 2 - 1), FP = ( x 0 + x1 , x x - 1), FB = (x , x 2 - 1).
rr
uuuruuuuuu
0 111
004244
uuur
由于 P 点在抛物线外,则 | FP |¹ 0.
uuur uuur
FP ×FA
uuur uuur = uuur 4 ,
1
| FP || FA | | FP |
∴ cos ?
A FP
x + x 1 1 1
0 1 ?
x (x x - )( x 2 - ) x x +
0 0 1 0 0 1
uuur
| FP | x 2 + (x 2 - )2
0 0 4
uuur uuur
FP ×FB
uuur uuur = uuur 4 ,
1
uuur
| FP |x 2 + (x 2 - )2
同理有 cos ?
BFP
∴∠AFP=∠PFB.
x + x 1 1 1
0 1 ?
x (x x - )( x 2 - ) x x +
1 0 1 1 0 1
| FP || FB | | FP |
1 1 4
2 , 0) ,则 P
方法 2:
①当 x x = 0时,由于x ?
x , 不妨设x
1 010
0
0,则y = 0, 所以 P 点坐标为 (
0
x
1
点到直线 AF 的距离为:
d = | x1 | ; 而直线BF 的方程 :
y - 1 =
即 (x 2 - 1)x - x y + 1 x = 0.
1
1441
x 2 -
1
1 2 4 x
1
1
4 x,
=
x 2
4
1
1
2= | x1 |
所以 P 点到直线 BF 的距离为:
d =
2
1 x x
| (x 2 - ) 1 + 1 | (x 2 +
1 4 2 4 1
1
(x 2 - )2 + (x )2
1
1 | x |
) 1
4
1 2
+
4
②当 x x ¹ 0 时,直线 AF 的方程:
y - 1 =0
4 (x - 0), 即(x 2 - 1)x - x y + 1 x = 0,
4 x - 0 4 40
所以 d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.
1
x 2 -
1 0
00
0
直线 BF 的方程:
y - 1 =1
4 (x - 0), 即(x 2 - 1)x - x y + 1 x = 0,
1
x 2 -
11
4x - 0441
1
所以 P 点到直线 AF 的距离为:
4 = | x 0 - x1 |
4 2 40 =
1
x 2 +
4
4
0
0
d =
1
| (x 2 -
0
x - x
1 x + x 1 1
)( 0 1 ) - x 2x + x | | 0 1 )( x 2 + )
(x 2 - )2 + x 2
0 1 2 0
0
1 2
,
同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d = | x1 - x 0 | ,因此由 d1=d2,可得到∠AFP=∠
22
PFB
⎩1-y1=λ(y2-1) ②
例 2 (2006 全国卷Ⅱ,理 21 题)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的
→→
两动点,且AF=λFB(λ>0).过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为
M .
→ →
(Ⅰ)证明FM·AB为定值;
(Ⅱ)设△ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ)的表达式,并求 S 的最小值.
解:
(Ⅰ)由已知条件,得 F(0,1),λ>0.
→→
设 A(x1,y1),B(x2,y2).由AF=λFB,
即得(-x1,1-y)=λ(x2,y2-1),
⎧-x1=λx2①
⎨
11
将①式两边平方并把 y1=4x12,y2=4x22 代入得y1=λ2y2 ③
1
解②、③式得 y1=λ,y2=λ,且有 x1x2=-λx22=-4λy2=-4,
11
抛物线方程为 y=4x2,求导得 y′=2x.
所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是
x1+x2 1 1 1
11
y=2x1(x-x1)+y1,y=2x2(x-x2)+y2,
1111
即 y=2x1x-4x12,y=2x2x-4x22.
x1+x2x1x2x1+x2
解出两条切线的交点 M 的坐标为(2, 4 )=(2,-1). ……4 分
→ →
所以FM·AB=(2,-2)·(x2-x1,y2-y1)=2(x22-x12)-2(4x22-4x12)=0
→ →
所以FM·AB为定值,其值为 0.……7 分
1
(Ⅱ)由(Ⅰ
知在ABM 中,FM⊥AB,因而 S=2|AB||FM|.
|FM|=
=
x1+x2
( 2 )2+(-2)2=
1
y1+y2+2×(-4)+4 =
1 1 1
4x12+4x22+2x1x2+4
1 1
λ+λ+2= λ+ λ.
因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离,所以
11
|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+λ+2=( λ+ λ)2.
11
于是S=2|AB||FM|=( λ+ λ)3,
1
由 λ+ λ≥2 知 S≥4,且当 λ=1 时,S 取得最小值 4.
例 3(2007 江苏卷,理 19 题)如图,在平面直角坐标系 xOy
中,过 y 轴正方向上一点C (0,c) 任作一直线,与抛物线 y = x 2
相交于 AB 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和
直线 l :
y = - c 交于 P ,Q ,
uuur uuur
(1)若OA ?
OB 2 ,求 c 的值;(5 分)
(2)若 P 为线段 AB 的中点,求证:
QA 为此抛物线的切线;(5 分)
(3)试问
(2)的逆命题是否成立?
说明理由。
(4 分)
解:
(1)设过 C 点的直线为 y = kx + c ,所以 x 2 = kx + c (c > 0),即 x 2 - kx - c = 0 ,
(x , y ), B (x , y ),OAur = (x , y ),OBur = (x , y ),因为OAur ?
OBur
uu
设 A
1 1 2 2 1 1 2 2
uu uu uu
2 ,所以
x x + y y = 2 ,即 x x + (kx + c )(kx + c ) = 2 , x x + k 2x x - kc (x + x
)+ c
2
= 2
1 2
1 2
1 2
1
2
1 2
1 2
1
2
所以 - c - k 2c + kc gk + c 2 = 2 ,即 c 2 - c - 2 = 0, 所以 c = 2 (舍去c = - 1)
(2)设过 Q 的切线为 y - y = k (x - x ), y / = 2x ,所以 k = 2x ,即
11111
骣c
y = 2x x - 2x 2 + y = 2x x - x 2 ,它与 y = - c 的交点为 M çç 1 -
ç桫2 2x
- c÷÷,又
11111
ç
1
÷
÷÷
P ççç 1
÷÷
骣k k 2
÷÷,所以 Q ççç , -
c÷
c÷÷÷,因为 x x = - c ,所以 -
x
骣 + xy + y ÷
ç
桫 22÷
2 , 1 2 ÷=
ç
?
,
çç2
桫 2
k
骣
ç2
÷ 桫
c
1 2
÷ x
1
= x ,所以
2
M ççç 1 +2 , -
c÷÷=
çç ,-
c÷÷÷,所以点 M 和点 Q 重合,也就是 QA 为此抛物线的切线。
x
骣x
ç 2
桫 2
÷
÷÷
k
çç2
骣
桫
÷
(3)
(2)的逆命题是成立,由
(2)可知 Q ççç , -
c÷÷÷,因为
k
ç2
骣
桫
÷
PQ ^ x 轴,所以 P ççç , y ÷÷÷
2 = k ,所以 P 为 AB 的中点。
k
骣
ç2
桫P ÷
因为 x1 + x 2
2
例 4(2008 山东卷,理 22 题)如图,设抛物线方程为 x 2 = 2py (p > 0) , M 为直线
y = - 2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B .
(Ⅰ)求证:
A,M ,B 三点的横坐标成等差数列;
-
(Ⅱ)已知当 M 点的坐标为 (2, 2p) 时, AB = 4 10 .求此时抛物线的方程;
骣 x 2 鼢 骣 x 2
珑1
珑 2p 鼢
桫鼢 桫2 2p
由 x 2 = 2py 得 y = ,得 y = x ,
(Ⅲ)是否存在点 M ,使得点C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x 2 = 2py (p > 0)
uuuruuuruuur
上,其中,点C 满足OC = OA + OB (O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意
的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
x-
解:
(Ⅰ)证明:
由题意设 A 珑 ,1 鼢,B x , 2 ,x < x ,M (x , 2p) .
120
x 2
2pp
p , k
p .
所以 k
MA
= x1
MB
= x 2
因此直线 MA 的方程为 y + 2p =
x
1
p
(x - x ) ,直线 MB 的方程为 y + 2p =
0
x
2
p
(x - x ) .
0
2p + 2p =
p (x - x ) ,①
2p + 2p =
p (x - x ) .②
所以
x 2
1
x
1
1 0
x 2
2
x
2
2 0
由①、②得
x + x
1
2
2
= x + x - x ,
1 2 0
因此 x =
0
x + x
1
2
2
,即 2x = x + x .
0 1 2
所以 A,M ,B 三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)知,当 x = 2 时,
0
将其代入①、②并整理得:
x 2 - 4x - 4p 2 = 0 , x 2 - 4x - 4p 2 = 0 ,
1
1
2
2
所以 x ,x 是方程 x 2 - 4x - 4p 2 = 0 的两根,
12
因此 x + x = 4 , x x = - 4p 2 ,
121 2
= =
= .
又
k
AB
x 2 x 2
2 - 1
2p 2p
x - x
x + x x ,所以 k
1 2 = 0
2p p
AB
2
p
2
1
p2
则CD 的中点坐标为Q ççç 1
÷÷
p (x - x ) ,
由点Q 在直线 AB 上,并注意到点 ççç 1
2 ,12 ÷也在直线 AB 上,代入得
÷÷
p x .
2x 2 ÷
因此 x = 0 或 x = 2x .即 D(0,0) 或 D ççç2x , 0 ÷÷÷.
ç桫 0 p ÷
由弦长公式得 A B =1 + k 2 (x + x )2 - 4x x =1 + 416 + 16p 2 .
121 2
又 AB = 4 10 ,所以 p = 1 或 p = 2 ,
因此所求抛物线方程为 x 2 = 2y 或 x 2 = 4y .
(Ⅲ)解:
设 D(x ,y ) ,由题意得C (x + x ,y + y ) ,
331212
x
骣 + x + xy + y + y ÷
23 ,123 ÷,
ç
桫22÷
设直线 AB 的方程为 y - y = x 0
11
x
骣 + xy + y ÷
ç
桫 22÷
y = x 0
33
若 D(x ,y ) 在抛物线上,则 x 2 = 2py = 2x x ,
333303
骣
330
-
(1)当 x = 0 时,则 x + x = 2x = 0 ,此时,点 M (0, 2p) 适合题意.
0120
x 2 + x 2 ÷÷
(2)当 x ¹ 0 ,对于 D(0,0) ,此时C ç2x ,1
骣
ç2 ÷,
ç
0 桫 0 2p ÷
k =
CD
x 2 + x 2
1 2
2p
2x
=
x 2 + x 2
1 2 ,
4px
0
0
p , AB ^ CD ,所以 kgk
又 k
AB
= x 0
AB CD
=
x x 2 + x 2
0 g 1 2 =
p 4px
0
x 2 + x 2
1 2 = - 1 ,
4p2
即 x 2 + x 2 = - 4p 2 ,矛盾.
1
2
2x 2 ÷÷
x 2 + x 2 ÷÷
对于 D ç2x , 0 ÷÷,因为C ççç2x ,1
骣骣
ç2 ÷,此时直线CD 平行于 y 轴,
çç
桫 0 p ÷桫 02p÷
p ?
0 ,所以直线 AB 与直线CD 不垂直,与题设矛
又 k
AB
=
x
0
盾,
所以 x ¹ 0 时,不存在符合题意的 M 点.
0
-
综上所述,仅存在一点 M (0, 2p) 适合题意.
例 5(2008 江西卷,理 21 题)设点 P (x , y )在直线
00
x = m (y 贡 m , 0 < m < 1)上,过点 P 作双曲线 x 2 - y 2 = 1 的
两条切线 PA、PB ,切点为 A、B ,定点 M ( 1 ,0).
m
(1)过点 A 作直线 x - y = 0 的垂线,垂足为 N ,试求△ AMN 的重心G 所在的曲
线方程;
(2)求证:
A、M 、B 三点共线.
证明:
(1)设 A(x , y ), B (x , y ) ,由已知得到 y y ¹ 0 ,且 x 2 - y 2 = 1 , x 2 - y 2 = 1 ,
11221 21122
设切线 PA 的方程为:
y - y = k (x - x ) 由 ïí
ïï
(1 - k 2 )x 2 - 2k (y - kx )x - (y - kx )2 - 1 = 0
ìï y - y = k(x - x )
1 1
1 1 x 2 - y 2 = 1
ïî
得
1
1
1
1
从而 D = 4k 2 (y - kx )2 + 4(1- k 2 )( y - kx )2 + 4(1- k 2 ) = 0 ,
解得 k = x
y
1
1
1
1
1
1
因此 PA 的方程为:
y y = x x - 1 同理 PB 的方程为:
y y = x x - 1
1122
又 P (m , y ) 在 PA、PB 上,所以 y y = mx - 1 , y y = mx - 1
01 012 02
即点 A(x , y ), B (x , y ) 都在直线 y y = mx - 1 上
11220
m
又 M ( 1 , 0) 也在直线 y y = mx - 1 上,所以三点 A、M 、B 共线
0
(2)垂线 AN 的方程为:
y - y = - x + x ,
11
由 ïí
ïï
ìï y - y = - x + x
1
x - y = 0
î
1 得垂足 N (
x + y x + y
1 1 , 1
2 2
1 ) ,
ïï
ïï x = 1 (x + 1 + x1 + y1 )
ïï
ïï x =
所以 ïí 解得 í1
ïï
ïï
ïï y =
1 ) ïï
2 ïï y =
设重心G (x, y )
ìï
31m2
1x + y
(y + 0 +1
ïî31
ìï
î
ï 1
9x - 3y -
4
9y - 3x +
4
3
m
1
m
m m 3m 9
由 x 2 - y 2 = 1 可得 (3x - 3y - 1 )(3x + 3y - 1 ) = 2 即 (x -1 )2 - y 2 = 2 为重心G 所在曲
11
线方程.
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