全国各地中考数学分类圆的综合综合题汇编附答案.docx

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全国各地中考数学分类圆的综合综合题汇编附答案

2020-2021全国各地中考数学分类：

圆的综合综合题汇编附答案

一、圆的综合

1．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC的面积．

【答案】

（1）证明见解析

（2）24

【解析】

试题分析：

（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD的面积即可求解．

试题解析：

（1）证明：

连接OD，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠A，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OC∥AB，

∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，

∴∠EOC=∠DOC，

在△EOC和△DOC中，

∴△EOC≌△DOC（SAS），

∴∠ODC=∠OEC=90°，

即OD⊥DC，

∴CD是⊙O的切线；

（2）由

（1）知CD是圆O的切线，

∴△CDO为直角三角形，

∵S△CDO=

CD•OD，

又∵OA=BC=OD=4，

∴S△CDO=

×6×4=12，

∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．

2．已知，如图：

O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．

（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．

（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：

BF+CF与AC之间是否存在某种等量关系？

请写出你的结论，并证明．

（3）在

（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？

若不变直接写出BG的长（不写过程），若变化自画图说明理由．

【答案】

（1）r=5E（4，5）

（2）BF+CF=AC（3）弦BG的长度不变，等于5

【解析】

分析：

（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．

（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=

BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．

（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有

=

，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．

详解：

（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．

∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．

∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．

∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．

∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．

设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．

在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．

解得：

r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．

（2）BF+CF=AC．理由如下：

过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．

∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴

=

=

，∴BD=AC．

∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．

在△EPO1和△CQO1中，

，

∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．

∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．

∵CO1=DO1，∴O1Q=

BD，∴FQ=

BD．

∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．

（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．

∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴

=

，∴BG=DE．

∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=5

，∴BG=5

，

∴弦BG的长度不变，等于5

．

点睛：

本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第

（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．

3．如图，

内接于⊙

，

，

的平分线

与⊙

交于点

，与

交于点

，延长

，与

的延长线交于点

，连接

，

是

的中点，连接

.

（1）判断

与

的位置关系，写出你的结论并证明;

（2）求证:

;

（3）若

，求⊙

的面积.

【答案】

（1）OG⊥CD

（2）证明见解析（3）6π

【解析】

试题分析：

（1）根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；

（2）先证明△ACE与△BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；

（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．

试题解析：

（1）解：

猜想OG⊥CD．证明如下：

如图1，连接OC、OD．∵OC=OD，G是CD的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．

（2）证明：

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等）．在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA），∴AE=BF．

（3）解：

如图2，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点，∴OH=

AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴

，即BD2=AD•DE，∴

．又BD=FD，∴BF=2BD，∴

①，设AC=x，则BC=x，AB=

．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA），∴AF=AB=

，BD=FD，∴CF=AF﹣AC=

．在Rt△BCF中，由勾股定理，得：

②，由①、②，得

，∴x2=12，解得：

或

（舍去），∴

，∴⊙O的半径长为

，∴S⊙O=π•（

）2=6π．

点睛：

本题是圆的综合题．解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质．

4．（8分）已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有ED＝EF.

（1）如图①，求证：

ED为⊙O的切线；

（2）如图②，直线ED与切线AG相交于G，且OF＝2，⊙O的半径为6，求AG的长．

【答案】

（1）见解析；

（2）12

【解析】

试题分析：

（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；

（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合

（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度

试题解析：

解：

（1）连接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED为⊙O的切线；

（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，由

（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=

，cos∠EOD=

，∴DM=OD•sin∠EOD=6×

=

，MO=OD•cos∠EOD=6×

=

，∴EM=EO﹣MO=10﹣

=

，EA=EO+OA=10+6=16．

∵GA切⊙O于点A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴

，即

，解得GA=12．

点睛：

本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：

（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；

（2）通过相似三角形的性质找出相似比．

5．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是BC上的一点，且PB＜PC，PA交BC于E，点F是PC延长线上的点，CF=PB，AB=

，PA=4．

（1）求证：

△ABP≌△ACF；

（2）求证：

AC2=PA•AE；

（3）求PB和PC的长．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．

【解析】试题分析：

（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP，于是可根据“SAS”判断△ABP≌△ACF；

（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC，于是可判断△ACE∽△APC，然后利用相似比即可得到结论；

（3）先利用AC2=PA•AE计算出AE=

，则PE=AP-AE=

，再证△APF为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP∽△CEP，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长．

试题解析：

（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，

又∠ACP+∠ACF=180°，

∴∠ABP=∠ACF

在

和

中，

∵AB=AC，∠ABP=∠ACF，

∴

≌

．

（2）在

和

中，

∵∠APC=∠ABC，

而

是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º，

∴∠ACE=∠APC.

又∠CAE=∠PAC，

∴

∽

∴

即

.

由

（1）知

≌

，

∴∠BAP=∠CAF，

∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC

∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC＝∠ABC＝60°.

∴

是等边三角形

∴AP=PF

∴

在

与

中，

∵∠BAP=∠ECP，

又∠APB=∠EPC=60°，

∴

∽

∴

即

由

（2）

，

∴

∴

∴

因此PB和PC的长是