四点共圆基本判断方法超全.docx
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四点共圆基本判断方法超全
四点共圆基本判断方法超
全
1•若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆。
B
C
・如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于0点,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:
E,F,G,H四个点在以0为圆心的同一个圆上
•分析指导:
利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半,再利用菱形的四边相等即可证岀。
2■若一个四边形的一组对角互补(和为
180°),则这个四边形的四个点共圆
•若zA+zC=180°或zB+zD=180°,贝U点A、B、C、D四点共圆
已矢口:
四边形ABCD中,zA+zC=180°求证:
四边形ABCD内接于一个圆(A,B,C,D四点共圆
•证明:
用反证法
过A,B,D作圆O,假设C不在圆O
上,则C在圆外或圆内,若C在圆外,
设BC交圆O于CS连结DCS根据圆
内接四边形的性质得
zA+zDC,B=180°
•/zA+zC=180°/.zDCJB=zC
这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外。
类似地可证C不可能在圆
内。
・・・C在
O上,也即A,B,C,D四点
A
3•若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个点共圆。
若,B=,CDE,贝[|A、B、
C、D四点共圆证法同上
例如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F点。
求证:
C、D、E、
•分析:
欲证C、D、E、
该四点构成的四边形中,一组对角互补或外角等于内对角即可。
•由此,连接EF构成四边形EFCD后,证明zBFE=zD即可。
证明:
连接EF,•/四边
180°o又・・•四边形ABCD是平行四边形,
形ABFE是
内接四边形,
zA+zBFE=
/.zA+zD=180°o•/.zBFE=zDo二C、D、E、F四点共圆
D
D
并且和这条那么这两个
4■若两个点在一条线段的同旁,线段的两端连线所夹的角相等,点和这条线段的两个端点共圆。
•若zA=zD或zABD=zACD,贝UA、B、C、D四点共圆
用反证法:
已知:
同狈0ZXABC和ZXCBD,共有底边CB,
求证: A、B、C、D四点共圆证明: •假设四点不在同一圆上, 作AABC外接圆,则D点不在圆上, B ・因二角共用AB弧,则〈AHvD,与实际不符, 所以只有D点在AABC外接圆上,故A、B、C、D四点共圆。
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- 四点 基本 判断 方法