数学中考题中选择题的解题技巧研究.docx
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数学中考题中选择题的解题技巧研究
数学中考题中选择题的解题技巧研究
摘要:
初中数学试题主要有选择题、填空题和解答题等多种类型,不同的题型有不同的功能,其中选择题的特点是题目小巧、答案简明、解法灵活、适应性强、概念性强等。
能简捷有效地考查学生对数学概念的掌握,对数学知识的记忆和理解水平,要求具有准确迅速的运算能力,较好的对问题的比较、判断和合理的推理能力,适合考查基本知识和基本技能。
在现阶段的各级各类考试中,选择题都占有很大的比例,而学生做选择题的错误率却往往超过其他题型,故理解初中数学选择题的内在结构方式和掌握其常用解题技巧是提高解选择题能力的一条重要途径。
关键词:
初中数学;选择题;解题技巧
选择题是各地中考必考题型之一,2011年各地命题设置上,选择题的数目稳定在8~12题,这说明选择题有它不可替代的重要性。
选择题具有题目小巧,答案简明;适应性强,解法灵活;概念性强、知识覆盖面宽等特征,它有利于考核学生的基础知识,有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养。
1解法策略与解法精讲
选择题解题的基本原则是:
充分利用选择题的特点,小题小做,小题巧做,切忌小题大做。
解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,又不要求写出解题过程。
因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略。
具体求解时,一是从题干出发考虑,探求结果;二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件。
事实上,后者在解答选择题时更常用、更有效。
2方法精讲
初中数学选择题的求解,一般有两种思路,一是从题干出发考虑.探求结果;一是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件。
常用的方法有下面几种:
1.1直接法
从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础。
例1.(2011•广西省柳州市)九(3)班的50名同学进行物理、化学两种实验测试,经最后统计知:
物理实验做对的有40人,化学实验做对的有31人,两种实验都做错的有4人,则这两种实验都做对的有( )
A.17人B.21人C.25人D.37人
分析:
设这两种实验都做对的有x人,根据九(3)班的50名同学进行物理、化学两种实验测试,经最后统计知:
物理实验做对的有40人,化学实验做对的有31人,两种实验都做错的有4人可列方程求解。
解:
设这两种实验都做对的有x人,(40﹣x)+(31﹣x)+x+4=50,x=25。
故都做对的有25人。
故选C。
评注:
本题考查理解题意的能力,关键是以人数做为等量关系构造方程直接求解。
1.2极值法
运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。
用特例法解选择题时,特例取得愈简单、愈特殊愈好。
例2.(2011•浙江省宁波市)如图,⊙O1的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O2为正方形ABCD的中心,O1O2垂直AB于P点,O1O2=8.若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )
A.3次B.5次C.6次D.7次
分析:
根据⊙O1的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O2为正方形ABCD的中心,O1O2垂直AB于P点,设O1O2交圆O1于M,求出PM=4,得出圆O1与以P为圆心,以4为半径的圆相外切,即可得到答案。
解:
∵⊙O1的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O2为正方形ABCD的中心,O1O2垂直AB于P点。
设O1O2交圆O1于M,∴PM=8﹣3﹣1=4,圆O1与以P为圆心,以4为半径的圆相外切,∴有5次。
故选B。
评注:
本题主要考查对直线与圆的位置关系,正方形的性质等知识点的理解和掌握,关注⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的几种极端情况,能求出圆的运动路线是解此题的关键。
1.3特殊值法
例3、(2009年深圳市中考题)若不等式组
的整数解是()
解:
依题意知,题目求的是“整数解”,而
项包含分数,所以先被排除;对比A,B和D项发现,它们的共同部分是“
”,而不同的是“0和3”。
所以,我们抓住不同的特值进行验证即可得知答案。
当
时,
不满足
,从而知0不合题意;当
时,
不满足
,从而知3不合题意。
故B和D被排除,选A。
小结:
赋特殊值法是求解含字母类中考数学选择题的最有效武器。
其求解关键在依据题意,选准特殊值验证。
像以上四例从题设条件出发,赋予我们常见的特殊值去求解,从而使得解题过程既简便又快捷。
例4、(2007年武汉市中考题)若
,则
化简后为( )
解:
,
不妨令
,此时
和
无意义,从而排除A、D;当
时,
,
,
,故选B。
小结:
特殊值“0”是判断型或探索条件型中考数学选择题的利刃剑。
像例5—例8,倘若我们在求解时,没有充分考虑“0”这种特殊情况,则极易会出错;而例9则用“0”作判断工具,从而把问题简单化。
所以,我们求解选择题时,要高度重视“0”这个特殊值,从而远离命题人设置的陷阱。
综上可见,用特殊化思想求解中考数学选择题是非常巧妙的。
但是,并不是所有题目都可以用特殊化思想求解。
尤其对于解答题,倘若我们盲目地用特殊化思想求解,则会犯以偏概全的毛病,从而把问题弄巧成拙。
所以,我们在用特殊化思想解题时,必须结合题设条件,做到具体问题具体分析,才能在中考中立于不败之地。
1.4筛选法(也叫排除法、淘汰法)
分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。
使用筛选法的前提是“答案唯一”,即四个选项中有且只有一个答案正确。
例5.(2011•广西省贺州市)函数y=ax﹣2(a≠0)与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
分析:
由题意分情况进行分析:
①当a>0时,抛物线开口向上,直线与y轴的负半轴相交,经过第一、三、四象限,②当a<0时,抛物线开口向下,直线与y轴的负半轴相交,经过第二、三、四象限。
解:
∵在y=ax﹣2,∴b=﹣2,∴一次函数图象与y轴的负半轴相交.排除B、D。
∵①当a>0时,∴二次函数图象经过原点,开口向上,一次函数图象经过第一、三、四象限,选项A符合题意。
∵②当a<0时,∴二次函数图象经过原点,开口向下,一次函数图象经过第二、三、四象限,排除D。
故选A。
评注:
本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象,关键在于熟练掌握图象与系数的关系。
1.5逆推代入法
将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选择支的一种方法.在运用验证法解题时,若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。
例6.(2011·湖北省襄阳市)已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()
A.k<4B.k≤4C.k<4且k≠3D.k≤4且k≠3
分析:
注意到四个选择支中k=4与k=3这两个值是否满足已知条件可以区分出正确答案。
解:
从四个选项入手,当k=3时,函数可化为y=2x+1,它的图象是一条直线,与x轴有一个交点(-
,0),满足题意,排除选项C、D;当k=4时,函数可化为y=x2+2x+1,它的图象是抛物线,△=22-4×1×1=0,它与x轴有一个交点(-1,0),满足题意,排除A,选B。
评注:
直接将各选项中的结论或者决定选项的特征数等代入题设条件进行验证,决定取舍,从而选出符合题意的答案。
1.6直观选择法
利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用直观几性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。
这种解法贯穿数形结合思想,每年中考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决,既简捷又迅速。
例7.(2011•重庆)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( )
A、a>0B、b<0C、c<0D、a+b+c>0
分析:
根据抛物线的开口方向判断a的正负;根据对称轴在y轴的右侧,得到a,b异号,可判断b的正负;根据抛物线与y轴的交点为(0,c),判断c的正负;由自变量x=1得到对应的函数值为正,判断a+b+c的正负。
解答:
解:
∵抛物线的开口向下,∴a<0;
又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴a,b异号,∴b>0;
又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,
又x=1,对应的函数值在x轴上方,即x=1,y=ax2+bx+c=a+b+c>0;
所以A,B,C选项都错,D选项正确。
故选D。
点评:
本题考查了抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中各系数的作用:
a>0,开口向上,a<0,开口向下;对称轴为x=﹣
,a,b同号,对称轴在y轴的左侧;a,b异号,对称轴在y轴的右侧;抛物线与y轴的交点为(0,c),c>0,与y轴正半轴相交;c<0,与y轴负半轴相交;c=0,过原点。
例8、(2011•重庆)下列图形中,是中心对称图形的是( )
A、
B、
C、
D、
分析:
根据中心对称图形的定义来判断:
把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心。
解答:
解:
A、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合,所以这个图形不是中心对称图形;
B、将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合,所以这个图形是中心对称图形;
C、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合,所以这个图形不是中心对称图形;
D、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合,所以这个图形不是中心对称图形。
故选B。
点评:
本题主要考查中心对称图形的定义:
把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心。
1.7特征分析法
对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等,提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法。
例9.(2010•浙江省绍兴市)如图,已知在直角梯形AOBC中,AC∥OB,CB⊥OB,OB=18,BC=12,AC=9,对角线OC、AB交于点D,点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点,以O为原点,直线OB为x轴建立平面直角坐标系,则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是( )
A.点GB.点EC.点DD.点F
分析:
反比例函数上的点的横纵坐标的乘积相等.根据题意和图形可初步判断为点G,利用直角梯形的性质求得点A和点G的坐标即可判断.
解:
在直角梯形AOBC中
∵AC∥OB,CB⊥OB,OB=18,BC=12,AC=9
∴点A的坐标为(9,12)
∵点G是BC的中点
∴点G的坐标是(18,6)
∵9×12=18×6=108
∴点G与点A在同一反比例函数图象上,故选A。
评注:
此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质,此题难度稍大,综合性比较强,注意对各个知识点的灵活应用,灵活利用直角梯形的性质求得相关点的坐标,再利用反比例函数上的点的横纵坐标的乘积相等来判断。
1.8动手操作法
与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型,只凭想象不好确定,处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下,动手可以直观得到答案,往往能达到快速求解的目的。
例10.(2011•广东省广州市)如图所示,将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折,接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是( )
A.
B.
C.
D.
分析:
严格按照图中的方法亲自动手操作一下,即可很直观地呈现出来,也可仔细观察图形特点,利用对称性与排除法求解。
解:
∵第三个图形是三角形,
∴将第三个图形展开,可得
,即可排除答案A,
∵再展开可知两个短边正对着,
∴选择答案D,排除B与C。
故选D。
评注:
本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力.对于此类问题,学生只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现。
3小结
选择题是数学三大基本题型之一,一组数学选择题,只要备题充分的扬长避短,运用好群体效应,就能在较大的知识范围内,实现对基础知识、基本技能和基本的数学思想方法的全面考察。
能比较确切地测试考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的理解和掌握程度,还能在一定程度上有效考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力。
可见选择题的成功率对于全卷的成功来说多重要。
选择题解法多种多样,但直接法仍为主要方法。
在实际解题时,常常需要具体问题具体分析,灵活地综合使用多种方法,才能达到准确、迅速求解的目的。
要做到这一点,还必须在熟练掌握“三基”的基础上,加强解题训练,在解题实践中不断体验和总结经验,逐步提高解题能力。
要利用最优化思想处理选择题,如果对每一道选择题都能采用简捷的方法来解,则可以节省很可观的时间用于后面解答题的求解。
所以要对选择题的解法不断进行总结,努力掌握灵多样的解法,提高解题能力,这样才能在高考中取得好成绩.
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