圆的有关性质及圆中的计算.docx
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圆的有关性质及圆中的计算
圆的有关性质及圆中的计算
主讲:
童丽丹
一、知识要点概述
1、与圆有关的概念
(1)圆可以看做是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,它是以圆心为对称中心的中心对称图形,又是以每一条直径所在的直线为对称轴的轴对称图形.不在同一直线上的三点确定一个圆.
(2)圆中的弦、弧、弦心距、同心圆、等圆、等弧等概念.
2、与圆有关的角
(1)圆心角与圆周角的概念、弦切角的概念.
(2)在同圆(或等圆中)同弧(或等弧)所对的圆周角是它所对圆心角的一半.
(3)弦切角等于它夹弧所对的圆周角.
(4)圆周角定理及其推论
3、圆的对称性
(1)圆的轴对称性(垂径定理):
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;弦的中垂线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
(2)圆的旋转对称性:
在同圆或等圆中,有如下相等关系:
等弦
等弧
等弦心距
等圆心角
4、圆的两条平行弦所夹的弧相等.
5、圆内接四边形对角互补,任何一个外角都等于它的内对角;圆外切四边形的两组对边之和相等.
6、如果弧长为l,圆心角的度数为n°,弧所在的圆的半径为r,那么弧长的计算公式为
,圆周长C=2πr.
7、设扇形的圆心角为n°,扇形的半径为r,扇形面积为S,则扇形的面积计算公式为:
.
8、圆柱的侧面展开图是矩形,设圆柱的底面半径为r,圆柱的高为h,则圆柱的侧面积S=2πrh,圆柱的全面积为S=2πr2+2πrh.
9、圆锥的侧面展形图是扇形,设圆锥的底面半径为r,母线长为a,则圆锥的侧面积为
,圆锥的全面积为
.
二、典例剖析
例1、如图,在⊙O中,过圆周上一点A作弦AB和AC且AB=AC.M和N分别为弦AB及AC的中点,连结M和N并向两方向延长交圆于P和Q两点.
求证:
PM=NQ.
分析:
欲证PM=NQ,因为PQ为弦,容易联想到作弦心距OH,则PH=HQ.现只要证MH=HN即可.又M、N分别为弦AB、AC的中点,易知OM=ON,故原结论可证.
证明:
作OH⊥PQ于H,则PH=HQ.
连结OM、ON,
∵M、N分别是弦AB、AC的中点,
∴OM⊥AB,ON⊥AC.
又∵AB=AC,∴OM=ON.
又∵OH⊥MN,∴MH=HN,
∴PM=NQ.
例2、如图,△ABC内接于⊙O,弦CM⊥AB,CN是直径,F是
的中点.
求证:
(1)CF平分∠NCM;
(2)
.
分析:
(1)欲证∠1=∠2,应设法转化.因为AB为弦,F为
的中点,不难想到连结OF,则OF//CM,∠OFC=∠2.而∠OFC=∠1,∴∠1=∠2.
(2)欲证
,只需证
,即证∠NOF=∠MOF即可.
由OF//CM,只要证∠OCM=∠OMC就行.
证明:
(1)连结OF.
∵F为
的中点,
∴OF⊥AB.
又CM⊥AB,
∴OF//CM,∴∠OFC=∠2.
又OC=OF,∴∠OFC=∠1,
∴∠1=∠2,即CF平分∠NCM.
(2)连结OM,则∠OMC=∠MCO.
∵OF//CM,∴∠NOF=∠MCO,∠FOM=∠OMC,
∴∠NOF=∠FOM,
例3、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160米.假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由;如果受影响,那么学校受影响的时间为多少秒?
(拖拉机的速度为18千米/时)
分析:
学校受噪声影响的条件是拖拉机在行驶的过程中距点A的距离小于100米,所以以A为圆心,以100米为半径作⊙A.若⊙A与MN有交点,则学校受到噪声影响.若⊙A与MN无交点,则学校不受噪声影响.
解:
如图,过A点作AB⊥MN于B.
在Rt△PAB中,∠QPN=30°,PA=160米,
∴AB=PAsin30°=80米<100米,
∴学校受噪声影响.
以点A为圆心,以100米为半径作⊙A交MN于C、D两点.
连结AC,则
,
∴CD=120米.
又拖拉机的速度为
,
故学校受噪声影响的时间为
.
例4、如图,⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,OE⊥BC于E.求证:
.
分析:
设法构造2OE,能证它与AD相等即可.由O为圆心,OE为弦心距,不难知BF=2OE.再证BF=AD,即证AF//BD.
证明:
作直径CF,连结AF、BF.
∵OE⊥BC,∴E为BC的中点.
又∵CF为直径,O为圆心,
∴
(三角形中位线定理).
∵CF为直径,∴∠CAF=90°,即FA⊥AC.
又∵AC⊥BD,∴FA//BD,
∴∠FAB=∠ABD,
∴
,BF=AD,
∴
.
例5、如图,⊙O的半径为12cm,以⊙O的半径OA为直径作⊙O′交半径OC于B点.若∠AOC=45°,求
围成的阴影图形的面积.
解:
连结AB,则∠ABO=90°.
∵∠AOB=45°,∴
,S弓形AB=S弓形OB.
由OA=12cm知S△ABO=36cm2,
例6、如图,⊙O与⊙O′外切于点M,AB、CD是它们的外公切线,O′E⊥OA,垂足为E,且∠AOC=120°.
(1)求证:
⊙O′的周长等于
的弧长;
(2)若⊙O′的半径为1cm,求图中阴影部分的面积.
解:
(1)证明如下:
由已知得∠AOO′=60°,四边形ABO′O为直角梯形,
设⊙O和⊙O′的半径分别为R、r,
例7、一个圆锥的高为
cm,侧面展开图是半圆.求:
(1)圆锥的母线与底面半径之比;
(2)锥角的大小;
(3)圆锥的表面积.
解:
如图,AO为圆锥的高h,经过AO的剖面是等腰△ABC,则AB为圆锥的母线l,BO为底面半径r.
(1)∵圆锥的侧面展开图是半圆,
∴2πr=πl,即
.
(2)∵
,即AB=2OB,
∴∠BAO=30°,∴∠BAC=60°,
即锥角为60°.
(3)在Rt△AOB中,l2=h2+r2.
又∵l=2r,
,
∴r=3cm,l=6cm,
∴S表=S侧+S底=πrl+πr2=3×6π+32π=27π(cm2).
例8、如图,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=2a,BC=b,以直线AB为轴旋转一周得到一个几何体.求这个几何体的表面积.
分析:
解本题的关键是要想象出旋转后的空间图形.过C作CO⊥AB于O,∵AC=2a,∠A=30°,∴CO=a.显然以直线AB为轴旋转一周得到的几何体是底面重合的两个圆锥,其底面半径为OC,所以这个几何体的表面积S是两个圆锥的侧面积S1与S2的和.
解:
过C作CO⊥AB于O.
因为AC=2a,∠A=30°,
所以CO=a,
∴S1=
·2a·2πa=2πa2,
S2=
·b·2πa=πab,
故S=S1+S2=2πa2+πab=πa(2a+b).
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- 有关 性质 中的 计算