河南省新乡市届高三上学期第二次月考数学理试题Word版含答案.docx
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河南省新乡市届高三上学期第二次月考数学理试题Word版含答案
河南省新乡市2019届上学期第二次月考
高三数学试卷(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数
的实部与虚部之差为()
A.-1B.1C.
D.
2.若集合
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
3.已知
,且向量
,则
等于()
A.(-2,3)B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)
4.下列四个命题中,正确的是()
A.若
,则
B.若
,则
C.若
,则
D.若
,则
5.已知
为等比数列
的前
项和,且
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
6.已知
,如图,在矩形
中,
,分别为
边、
边上一点,且
.现将矩形
沿
折起,使得平面
平面
,连接
,则所得三棱柱
的侧面积比原矩形
的面积大约多()
A.68%B.70%C.72%D.75%
7.若定义在
上的函数
当且仅当存在有限个非零自变量
,使得
,则称
为类偶函数.那么下列函数中,为类偶函数的是()
A.
B.
C.
D.
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.24B.
C.20D.
9.若函数
(
)与函数
的部分图像如图所示,则函数
图像的一条对称轴的方程可以为()
A.
B.
C.
D.
10.已知平面区域
,夹在两条斜率为
的平行直线之间,且这两条平行直线间的最短距离为
.若点
,则
的最小值为()
A.
B.3C.
D.6
11.已知函数
的导数为
,且
对
恒成立,则下列不等式一点成立的是()
A.
B.
C.
D.
12.在正四棱锥
中,
为正方形
的中心,
,且平面
与直线
交于
,则()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量
,若
,则向量
在向量
方向上的投影为___________.
14.已知一个三棱锥的体积和表面积分别为
,若
,则该三棱锥内切球的表面积为_________.
15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:
将1到2016这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列
,则此数列的项数为_______________.
16.函数
的定义域为_______________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
已知函数
.
(1)若
,求
的最小值,并确定此时
的值;
(2)若
,求
的值.
18.(本小题满分12分)
已知
为等差数列
的前
项和,
,且
是
与
的等比中项.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若
为整数,求证:
.
19.(本小题满分12分)
如图,在
中,角
所对的边分别为
,且
,
为
边上一点.
(1)若
,求
的长.
(2)若
是
的中点,且
,求
的最短边的边长.
20.(本小题满分12分)
如图,在五棱锥
中,平面
平面
,且
.
(1)已知点
在线段
上,确定
的位置,使得
平面
;
(2)点
分别在线段
上,若沿直线
将四边形
向上翻折,
与
恰好重合,求直线
与平面
所成角的正弦值.
21.(本小题满分12分)
已知
,函数
.
(1)求证:
曲线
在点
处的切线过定点;
(2)若
是
在区间
上的极大值,但不是最大值,求实数
的取值范围;
(3)求证:
对任意给定的正数
,总存在
,使得
在
上为单调函数.
22.(本小题满分12分)
已知函数
,其中
.
(1)若
和
在区间
上具有时间的单调性,求实数
的取值范围;
(2)若
,且函数
的最小值为
,求
的最小值.
河南省新乡市2019届高三上学期第二次月考
数学理试题参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
D
C
A
D
D
D
B
A
A
A
二、填空题
13.414.
15.13516.
三、解答题
17.解:
(1)∵
,∴
,∴
........2分
∴
,......................3分
(2)∵
,∴
,∵
,∴
......7分
∴
...................... 9分
∴
......................10分
18.
(1)解:
设
的公差为
,∵
是
与
的等比中项,∴
..........1分
∴
,∴
,∴
或
............4分
当
时,
...................5分
当
时,
........................... 6分
(2)证明:
若
为整数,则
,
∴
,∴
......................8分
∴
,..................10分
∴
,
即
..........................12分
19.解:
∵
,
∴
,................1分
即
........................2分
(1)∵
,∴
,则
,.....................3分
∴
................4分
∵
,
∴
........................................6分
(2)由
得
,........................... 7分
∵
,∴
,
则
,得
,....................................8分
∴
,则
,..........................9分
∵
且
,................. 10分
∴
,∴
,.............. 11分
解得
,∴
,
∴
的最短边的边长
..........................12分
20.解:
(1)点
为靠近
的三等分点,...................... 1分
在线段
取一点
,使得
,连结
........................... 2分
∵
,∴
.
又
,∴四边形
为平行四边形,∴
,
∵点
为靠近
的三等分点,∴
,∴
,
∵
,∴平面
平面
,而
平面
,∴
平面
......5分
(2)取
的中点
,连接
,∵
,∴
,又平面
平面
,
∴
平面
....................6分
如图,建立空间直角坐标系
,则
.
设
,则
.......................7分
∵翻折后,
与
重合,∴
,又
,
故
,从而,
...................8分
,
设
为平面
的一个法向量,
则
,
取
,则
.......................10分
设直线
与平面
所成角为
,则
,
故直线
与平面
所成角的正弦值为
..........................12分
21.
(1)证明:
∵
,∴
......................1分
∵
,∴曲线
在点
处的切线方程为
,......2分
即
,令
,则
,
故曲线
在点
处的切线过定点
........................3分
(2)解:
,
令
得
或
......................4分
∵
是
在区间
上的极大值,∴
,∴
.............5分
令
,得
或
递增;令
,得
递减,
∵
不是
在区间
上的最大值,
∴
在区间
上的最大值为
,....................6分
∴
,∴
,又
,∴
...................7分
(3)证明:
,
∵
,∴
...............................8分
令
,得
或
递增;令
,得
递减,.....9分
∵
,∴
...........................10分
若
在
上为单调函数,则
,即
...................... 11分
故对任意给定的正数
,总存在
(其中
),使得
在
上为单调函数.....................................12分
22.解:
(1)
,...................1分
∵
在
上恒成立,即
在
上单调递减,.................2分
当
时,
,即
在
上单调递增,不合题意.....................3分
当
时,由
,得
,由
,得
,
∴
的单调减区间为
,单调增区间为
................4分
∵
和
在区间
上具有相同的单调性,
∴
,解得
,
综上,
的取值范围是
..................5分
(2)
,..............6分
由
得到
,设
,.............7分
当
时,
;当
时,
,
从而
在
上递减,在
上递增,∴
............9分
当
时,
,即
,
在
上,
递减;
在
上,
递增,∴
,....... 10分
设
,
在
上递减,∴
,
∴
的最小值为0....................................12分
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