人教版九级数学河南上册习题第二十四章圆.docx
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人教版九级数学河南上册习题第二十四章圆
人教版九级数学(河南)上册习题:
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
01 基础题
知识点1 圆的有关概念
1.下列条件中,能确定唯一一个圆的是(C)
A.以点O为圆心
B.以2cm长为半径
C.以点O为圆心,5cm长为半径
D.经过点A
2.下列命题中正确的有(A)
①弦是圆上任意两点之间的部分;②半径是弦;③直径是最长的弦;④弧是半圆,半圆是弧.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
3.过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为(A)
A.1条B.2条
C.3条D.无数条
4.如图所示,在⊙O中,弦有AC,AB,直径是AB,优弧有,,劣弧有,.
5.如图,在⊙O中,点B在⊙O上,四边形AOCB是矩形,对角线AC的长为5,则⊙O的半径长为5.
知识点2 圆中的半径相等
6.如图所示,MN为⊙O的弦,∠N=52°,则∠MON的度数为(C)
A.38°B.52°
C.76°D.104°
7.如图,已知AB,CD是⊙O的两条直径,∠ABC=30°,那么∠BAD等于(D)
A.45°B.60°
C.90°D.30°
8.如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,已知∠BOC=70°,AD∥OC,则∠AOD=40度.
9.如图,AB,AC为⊙O的弦,连接CO,BO并延长,分别交弦AB,AC于点E,F,∠B=∠C.求证:
CE=BF.
证明:
∵OB,OC是⊙O的半径,
∴OB=OC.
又∵∠B=∠C,∠BOE=∠COF,
∴△EOB≌△FOC(ASA).
∴OE=OF.
∴OE+OC=OF+OB,即CE=BF.
10.如图,CE是⊙O的直径,AD的延长线与CE的延长线交于点B,若BD=OD,∠AOC=114°,求∠AOD的度数.
解:
设∠B=x.
∵BD=OD,
∴∠DOB=∠B=x.
∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x.
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO=2x.
∵∠AOC=∠A+∠B,
∴2x+x=114°,解得x=38°.
∴∠AOD=180°-∠A-∠ADO=180°-4x=180°-4×38°=28°.
02 中档题
11.如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C的度数为(C)
A.50°B.60°C.70°D.80°
12.下列四边形:
①平行四边形;②菱形;③矩形;④正方形.其中四个顶点在同一个圆上的有(B)
A.1个B.2个
C.3个D.4个
13.下面3个命题:
①半径相等的两个圆是等圆;②长度相等的弧是等弧;③一条弦把圆分成两条弧,这两条弧不可能是等弧.其中真命题的个数为(B)
A.0个B.1个
C.2个D.3个
14.如图,A,B是⊙O上的两点,若四边形ACBO是菱形,⊙O的半径为r,则点A与B之间的距离为(B)
A.rB.rC.rD.2r
15.(三门峡义马期中)如图,已知AC是⊙O的直径,点B在圆周上(不与A、C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交⊙O于点E,若∠AOB=3∠ADB,则(D)
A.DE=EB
B.DE=EB
C.DE=DO
D.DE=OB
16.已知A,B是半径为6cm的圆上的两个不同的点,则弦长AB的取值范围是0 17.如图所示,AB是⊙O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且AE=BF,请你找出线段OE与OF的数量关系,并给予证明. 解: OE=OF. 证明: 连接OA,OB. ∵OA,OB是⊙O的半径, ∴OA=OB. ∴∠OAB=∠OBA. 又∵AE=BF, ∴△OAE≌△OBF(SAS). ∴OE=OF. 18.如图,在△ABC中,BD,CE是两条高,点O为BC的中点,连接OD,OE,求证: B,C,D,E四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 证明: ∵BD,CE是两条高, ∴∠BDC=∠BEC=90°. ∵点O为BC的中点, ∴OE=OB=OC=BC. 同理: OD=OB=OC=BC. ∴OB=OC=OD=OE. ∴B,C,D,E在以O为圆心的同一个圆上. 03 综合题 19.如图,过A,C,D三点的圆的圆心为E,过B,F,E三点的圆的圆心为D,∠A=63°,求∠B的度数. 解: 连接EC,ED. ∵AE=CE, ∴∠ACE=∠A=63°. ∴∠AEC=180°-63°×2=54°. ∵DE=DB, ∴∠DEB=∠B. ∴∠CDE=∠DEB+∠B=2∠B. ∵CE=DE, ∴∠ECD=∠CDE=2∠B. ∴∠AEC=∠ECD+∠B=3∠B. ∴3∠B=54°. ∴∠B=18°. 24.1.2 垂直于弦的直径 01 基础题 知识点1 圆的对称性 1.下列说法正确的是(B) A.直径是圆的对称轴 B.经过圆心的直线是圆的对称轴 C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与半径垂直的直线是圆的对称轴 知识点2 垂径定理 2.(三门峡义马期中)如图,在⊙O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则⊙O的半径长为(D) A.3B.5 C.6D. 3.(黄石中考)如图所示,⊙O的半径为13,弦AB的长度是24,ON⊥AB,垂足为N,则ON=(A) A.5B.7 C.9D.11 4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是(D) A.CM=DMB.= C.∠ACD=∠ADCD.OM=MB 5.如图,已知⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为点E,∠ACD=22.5°,若CD=6cm,则AB的长为(B) A.4cmB.3cm C.2cmD.2cm 6.如图,已知⊙O的半径为4,OC垂直于弦AB于点C,∠AOB=120°,则弦AB的长为4. 知识点3 垂径定理的推论 7.下列说法正确的是(D) A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B.平分弦的直径垂直于弦 C.垂直于直径的弦平分这条直径 D.弦的垂直平分线经过圆心 8.如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O的半径等于(D) A.8 B.2 C.10 D.5 知识点4 垂径定理的应用 9.(茂名中考)如图,小丽荡秋千,秋千链子的长OA为2.5米,秋千向两边摆动的角度相同,摆动的水平距离AB为3米,则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米. 10.如图是某风景区的一个圆拱形门,净高5米,路面AB宽为2米,求圆拱形门所在圆的半径. 解: 连接OA. ∵CD⊥AB,且CD过圆心O, ∴AD=AB=1米,∠CDA=90°. 设⊙O的半径为R,则 OA=OC=R,OD=5-R. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=OD2+AD2,即 R2=(5-R)2+12,解得R=2.6. 故圆拱形门所在圆的半径为2.6米. 02 中档题 11.已知⊙O的半径OA=10cm,弦AB=16cm,P为弦AB上的一个动点,则OP的最短距离为(B) A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm 12.(河南济源市济水一中)如图,⊙O的直径CD=10,弦AB=8,AB⊥CD,垂足为M,则DM的长为(D) A.5B.6C.7D.8 13.如图,在⊙O中,AB,AC是互相垂直的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,且AB=8cm,AC=6cm,那么⊙O的半径OA长为5_cm. 14.(宿迁中考)如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为2. 15.如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为2cm. 16.(孝感中考改编)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧.若的中点C到弦AB的距离为20m,AB=80m,求所在圆的半径. 解: ∵C为的中点, ∴OC⊥AB. ∴AD=BD=AB=40. 设⊙O的半径为r, 则OA=r,OD=OC-CD=r-20. 在Rt△OAD中,OA2=OD2+AD2, ∴r2=(r-20)2+402,解得r=50. 即所在圆的半径是50m. 17.如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD. (1)求证: 点E是OB的中点; (2)若AB=8,求CD的长. 解: (1)证明: 连接AC. ∵OB⊥CD, ∴CE=ED,即OB是CD的垂直平分线. ∴AC=AD. 同理可得AC=CD. ∴△ACD是正三角形. ∴∠ACD=60°,∠DCF=30°. 在Rt△COE中,OE=OC=OB. ∴点E是OB的中点. (2)∵AB=8, ∴OC=AB=4. 又∵BE=OE, ∴OE=2. ∴CE===2. ∴CD=2CE=4. 03 综合题 18.(湖州中考)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图所示). (1)求证: AC=BD; (2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长. 解: (1)证明: 过点O作OE⊥AB于点E. 则CE=DE,AE=BE. ∴AE-CE=BE-DE, 即AC=BD. (2)连接OA,OC. 由 (1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD, ∴CE===2, AE===8. ∴AC=AE-CE=8-2. 24.1.3 弧、弦、圆心角 01 基础题 知识点1 圆心角的概念及其计算 1.下面图形中的角是圆心角的是(D) AB CD 2.已知⊙O的半径为5cm,弦AB的长为5cm,则弦AB所对的圆心角∠AOB=60°. 知识点2弧、弦、圆心角之间的关系 3.下列说法正确的是(B) A.相等的圆心角所对的弧相等 B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等 C.相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D.圆心到弦的距离相等,则弦相等 4.(兰州中考)如图,在⊙O中,点C是弧AB的中点,∠A=50°,则∠BOC=(A) A.40°B.45° C.50°D.60° 5.(贵港中考)如图,AB是⊙O的直径,==,∠COD=34°,则∠AEO的度数是(A) A.51°B.56° C.68°D.78° 6.如图,已知A,B,C,D是⊙O上的点,∠1=∠2,则下列结论中正确的有(D) ①=;②=;③AC=BD;④∠BOD=∠AOC. A.1个B.2个 C.3个D.4个 7.如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且AD=BC,则AB与CD的大小关系为(B) A.AB>CDB.AB=CD C.AB 8.如图,AB是⊙O的直径,BC,CD,DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD的度数为(C) A.100° B.110° C.120° D.135° 9.如图,AB、DE是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,且=.BE与CE的大小有什么关系? 为什么? 解: BE=CE.理由如下: ∵AB、DE是⊙O的直径, ∴∠AOD=∠BOE. ∴=. ∵=, ∴=.∴BE=CE. 10.如图,M为⊙O上一点,OD⊥AM于D,OE⊥BM于E,若OD=OE,求证: =. 证明: 连接OM. ∵OD⊥AM,OE⊥BM, ∴AD=MD,ME=BE,∠ODM=∠OEM=90°. 在Rt△DMO和Rt△EMO中, ∴Rt△DMO≌Rt△EMO(HL). ∴DM=EM. ∴AM=BM. 02 中档题 11.如图,在⊙O中,已知弦AB=DE,OC⊥AB,OF⊥DE,垂足分别为C,F,则下列说法中正确的个数为(D) ①∠DOE=∠AOB;②=;③OF=OC;④AC=EF. A.1个B.2个C.3个D.4个 12.已知⊙O中,M为的中点,则下列结论正确的是(C) A.AB>2AM B.AB=2AM C.AB<2AM D.AB与2AM的大小不能确定 13.如图,AB是半圆O的直径,E是OA的中点,F是OB的中点,ME⊥AB于点E,NF⊥AB于点F.在下列结论中: ①==; ②ME=NF; ③AE=BF; ④ME=2AE. 正确的有①②③. 14.如图,AB是⊙O的直径,=,∠COD=60°. (1)△AOC是等边三角形吗? 请说明理由; (2)求证: OC∥BD. 解: (1)△AOC是等边三角形.理由: ∵=, ∴∠AOC=∠COD=60°. 又∵OA=OC, ∴△AOC是等边三角形. (2)证明: ∵∠AOC=∠COD=60°, ∴∠BOD=180°-(∠AOC+∠COD)=60°. ∵OD=OB,∴△ODB为等边三角形. ∴∠ODB=60°. ∴∠ODB=∠COD=60°. ∴OC∥BD. 15.如图,A,B,C为圆O上的三等分点. (1)求∠BOC的度数; (2)若AB=3,求圆O的半径长及S△ABC. 解: (1)∵A,B,C为圆O上的三等分点, ∴==. ∴∠BOC=×360°=120°. (2)过点O作OD⊥AB于点D, ∵A,B,C为圆O上的三等分点, ∴AB=AC=BC=3, 即△ABC是等边三角形,且∠BAO=∠OBA=30°. 则AD=,故DO=,OA=,即圆O半径长为. S△ABC=3××DO·AB=. 03 综合题 16.如图,∠AOB=90°,C,D是的三等分点,连接AB分别交OC,OD于点E,F,求证: AE=BF=CD. 证明: 连接AC,BD. ∵==,∠AOB=90°, ∴∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=×90°=30°,AC=CD=DB. ∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=45°. ∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°. 在△AOC中,OA=OC, ∴∠ACO===75°. ∴∠AEC=∠ACO.∴AE=AC. 同理BF=BD. ∴AE=BF=CD. 24.1.4 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论 01 基础题 知识点1 圆周角的概念 1.下列图形中的角是圆周角的是(B) 知识点2 圆周角定理 2.(河南洛阳地矿双语学校)如图,⊙O是△ABC的外接圆,若∠AOC=80°,则∠B的度数为(B) A.20°B.40°C.60°D.80° 3.(河南济源市济水一中)如图,∠A是⊙O的圆周角,∠A=40°,则∠OBC=(C) A.30°B.40°C.50°D.60° 4.(郑州校级模拟)如图,⊙O的直径CD垂直于弦AB,∠AOC=40°,则∠CDB的度数为(C) A.40°B.30°C.20°D.10° 5.(朝阳中考)如图是一个圆形人工湖的平面图,弦AB是湖上的一座桥,已知桥长100m,测得圆周角∠ACB=30°,则这个人工湖的直径为200m. 知识点3 圆周角定理的推论 6.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠A=35°,则∠B的度数是(C) A.35° B.45° C.55° D.65° 7.如图,⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B等于(C) A.30°B.35°C.40°D.50° 8.(黔西南中考)如图,在⊙O中,=,∠BAC=50°,则∠AEC的度数为(A) A.65°B.75°C.50°D.55° 9.(娄底中考)如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为(C) A.20°B.40°C.50°D.70° 10.(常州中考)如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是(B) A.cmB.5cm C.6cmD.10cm 11.如图所示,BC为⊙O的直径,AD⊥BC于E,∠C=60°.求证: △ABD为等边三角形. 证明: ∵BC为⊙O的直径,AD⊥BC, ∴AE=DE. ∴BD=BA. ∵∠D=∠C=60°, ∴△ABD为等边三角形. 02 中档题 12.(河南周口西华县期末)如图,A、B、C、D四个点均在⊙O上,∠AOD=50°,AO∥DC,则∠B的度数为(D) A.50°B.55°C.60°D.65° 13.(新乡模拟)如图,AB是半圆的直径,D是弧AC的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于(C) A.55°B.60°C.65°D.70° 14.如图,⊙C经过原点,并与两坐标轴分别交于A,D两点,已知∠OBA=30°,点A的坐标为(2,0),则点D的坐标为(0,2). 15.(东营中考)如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB=8cm,==,M是AB上一动点,CM+DM的最小值为8_cm. 16.如图,⊙O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平分线交⊙O于点D. (1)求BC的长; (2)求BD的长. 解: (1)∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. ∴在Rt△ABC中, BC===5. (2)∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD=45°. ∴∠BAD=∠ABD=45°. ∴AD=BD. 设BD=AD=x, 由勾股定理得AD2+BD2=AB2. ∴x2+x2=102.解得x=5. ∴BD=5. 17.如图,在△ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,且点D为边BC的中点. (1)求证: △ABC为等边三角形; (2)求DE的长. 解: (1)证明: 连接AD. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵点D是BC的中点, ∴AD是BC的垂直平分线.∴AB=AC. 又∵AB=BC,∴AB=AC=BC. ∴△ABC为等边三角形. (2)连接BE. ∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°.∴BE⊥AC. ∵△ABC是等边三角形, ∴AE=EC,即E为AC的中点. 又∵D是BC的中点, ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE=AB=×2=1. 03 综合题 18.(河南洛阳地矿双语学校)如图,已知AB是半圆的直径,且AB=10,弦AC=6,将半圆沿过点A的直线AD折叠,使点C落在直径AB上的点C′,则折痕AD的长为4. 第2课时 圆内接四边形 01 基础题 知识点 圆内接四边形的性质 1.(湘潭中考)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠DAB=60°,则∠BCD的度数是(D) A.60°B.90° C.100°D.120° 2.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是(B) A.115°B.105°C.100°D.95° 3.(娄底中考)如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠C=∠D,则AB与CD的位置关系是AB∥CD. 4.(南阳卧龙区一模)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠B=130°,则∠AOC的大小为100°. 5.如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=30°,D是弧AC的中点,则∠DAC的度数是30°. 6.如图所示,已知圆心角∠AOB=100°,求∠ACD的度数. 解: 在优弧AMB上任取一点N,连接AN,BN, 由圆周角定理得∠N=∠AOB=×100°=50°. 所以∠ACB=180°-∠N=180°-50°=130°. 所以∠ACD=180°-∠ACB=180°-130°=50°. 7.已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7,求这个四边形各内角的度数. 解: 根据圆内接四边形的对角互补可知,其对角和相等,所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8. 设这四个内角的度数分别为2x°、x°、7x°、8x°,则 2x+x+7x+8x=360.解得x=20. 则2x=40,7x=140,8x=160. 答: 这个四边形各内角的度数分别为40°、20°、140°、160°. 8.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°.求证: (1)AD=CD; (2)AB是⊙O的直径. 证明: (1)∵四边形ABCD内接于⊙O, ∴∠D=180°-∠B=130°. ∵∠ACD=25°, ∴∠DAC=180°-∠D-∠ACD=180°-130°-25°=25°. ∴∠DAC=∠ACD. ∴AD=CD. (2)∵∠BAC=∠BAD-∠DAC=65°-25°=40°,∠B=50°, ∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-40°=90°. ∴AB是⊙O的直径. 02 中档题 9.(三门峡义马期中)如图,四边形ABCD内接于⊙O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为(C) A.45°B.50°C.60°D.75° 10.(聊城中考)如图,四边形ABCD内接于⊙O,F是上一点,且=,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为(B)
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