最新人教A版高中数学选修21测试题全套含答案解析.docx
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最新人教A版高中数学选修21测试题全套含答案解析
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案解析
章末综合测评
(一) 常用逻辑用语
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( )
A.若x2≥1,则x≥1,或x≤-1
B.若-1<x<1,则x2<1
C.若x>1,或x<-1,则x2>1
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
【解析】 命题“若p,则q”的逆否命题为“若﹁q,则﹁p”.
【答案】 D
2.已知命题p:
“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q:
“∃x0∈R,x+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞)B.[1,4]
C.[e,4]D.(-∞,-1)
【解析】 由题意知p与q均为真命题,由p为真,可知a≥e,由q为真,知x2+4x+a=0有解,则Δ=16-4a≥0,∴a≤4,综上知e≤a≤4.
【答案】 C
3.命题p:
x+y≠3,命题q:
x≠1或y≠2,则命题p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】 命题“若p,则q”的逆否命题为:
“若x=1且y=2,则x+y=3”,是真命题,故原命题为真,反之不成立.
【答案】 A
4.设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在直线l:
x+y-1=0上”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 当x=2且y=-1时,满足方程x+y-1=0,即点P(2,-1)在直线l上.点P′(0,1)在直线l上,但不满足x=2且y=-1,∴“x=2且y=-1”是“点P(x,y)在直线l上”的充分不必要条件.
【答案】 A
5.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )
A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立
B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立
C.∀x∈R,使得f(x)>0成立
D.∀x∈R,f(x)≤0成立
【解析】 “关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x0,使得f(x0)>0成立”.故选A.
【答案】 A
6.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD,反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定是菱形,故选A.
【答案】 A
7.命题p:
函数y=lg(x2+2x-c)的定义域为R;命题q:
函数y=lg(x2+2x-c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A,命题q为真命题时c的取值集合为B,则A∩B=( )
A.∅B.{c|c<-1}
C.{c|c≥-1}D.R
【解析】 命题p为真命题,即x2+2x-c>0恒成立,则有Δ=4+4c<0,解得c<-1,即A={c|c<-1};令f(x)=x2+2x-c,命题q为真命题,则f(x)的值域包含(0,+∞).即Δ=4+4c≥0,求得c≥-1,即B={c|c≥-1}.于是A∩B=∅,故选A.
【答案】 A
8.对∀x∈R,kx2-kx-1<0是真命题,则k的取值范围是( )
A.-4≤k≤0B.-4≤k<0
C.-4<k≤0D.-4<k<0
【解析】 由题意知kx2-kx-1<0对任意x∈R恒成立,当k=0时,-1<0恒成立;当k≠0时,有即-4<k<0,所以-4<k≤0.
【答案】 C
9.已知命题p:
若(x-1)(x-2)≠0,则x≠1且x≠2;命题q:
存在实数x0,使2<0.下列选项中为真命题的是( )
A.﹁pB.﹁p∨q
C.﹁q∧pD.q
【解析】 很明显命题p为真命题,所以﹁p为假命题;由于函数y=2x,x∈R的值域是(0,+∞),所以q是假命题,所以﹁q是真命题.所以﹁p∨q为假命题,﹁q∧p为真命题,故选C.
【答案】 C
10.设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.
【答案】 D
11.已知命题p:
∀x>0,总有(x+1)ex>1,则﹁p为( )
A.∃x0≤0,使得(x0+1)e≤1
B.∃x0>0,使得(x0+1)e≤1
C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1
D.∀x≤0,使得(x+1)ex≤1
【解析】 因为全称命题∀x∈M,p(x)的否定为∃x0∈M,﹁p(x),故﹁p:
∃x0>0,使得(x0+1)e≤1.
【答案】 B
12.已知p:
点P在直线y=2x-3上;q:
点P在直线y=-3x+2上,则使p∧q为真命题的点P的坐标是( )
A.(0,-3)B.(1,2)
C.(1,-1)D.(-1,1)
【解析】 因为p∧q为真命题,所以p,q均为真命题.所以点P为直线y=2x-3与直线y=-3x+2的交点.解方程组得即点P的坐标为(1,-1).
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.命题p:
若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:
函数y=的定义域是[3,+∞),则“p∨q”“p∧q”“﹁p”中是真命题的为________.
【解析】 p为假命题,q为真命题,故p∨q为真命题,﹁p为真命题.
【答案】 p∨q与﹁p
14.“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是____________________,否命题是____________________.
【解析】 命题的否定仅否定结论,所以该命题的否定形式是:
末位数字是1或3的整数能被8整除;而否命题要同时否定原命题的条件和结论,所以否命题是:
末位数字不是1且不是3的整数能被8整除.
【答案】 末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
15.已知f(x)=x2+2x-m,如果f
(1)>0是假命题,f
(2)>0是真命题,则实数m的取值范围是______.
【解析】 依题意,∴3≤m<8.
【答案】 [3,8)
16.给出以下判断:
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题;
②命题“∀x∈N,x3>x2”的否定是“∃x0∈N,使x>x”;
③“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数”的充要条件;
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题.
其中正确命题的序号是________.
【解析】 ①②④是假命题,③是真命题.
【答案】 ③
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)写出下列命题的否定,并判断其真假,同时说明理由.
(1)q:
所有的矩形都是正方形;
(2)r:
∃x0∈R,x+2x0+2≤0;
(3)s:
至少有一个实数x0,使x+3=0.
【解】
(1)﹁q:
至少存在一个矩形不是正方形,真命题.这是由于原命题是假命题.
(2)﹁r:
∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题.这是由于∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立.
(3)﹁s:
∀x∈R,x3+3≠0,假命题.这是由于当x=-时,x3+3=0.
18.(本小题满分12分)指出下列命题中,p是q的什么条件?
(1)p:
{x|x>-2或x<3};q:
{x|x2-x-6<0};
(2)p:
a与b都是奇数;q:
a+b是偶数;
(3)p:
0 方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根. 【解】 (1)因为{x|x2-x-6<0}={x|-2 所以{x|x>-2或x<3}{x|-2 而{x|-2 所以p是q的必要不充分条件. (2)因为a,b都是奇数⇒a+b为偶数,而a+b为偶数a,b都是奇数,所以p是q的充分不必要条件. (3)mx2-2x+3=0有两个同号不等实根⇔⇔⇔⇔. 所以p是q的充要条件. 19.(本小题满分12分)已知命题p: 不等式2x-x2 m2-2m-3≥0, 如果“﹁p”与“p∧q”同时为假命题,求实数m的取值范围. 【解】 2x-x2=-(x-1)2+1≤1,所以p为真时, m>1.由m2-2m-3≥0得m≤-1或m≥3, 所以q为真时,m≤-1或m≥3. 因为“﹁p”与“p∧q”同时为假命题, 所以p为真命题,q为假命题,所以得 即1 20.(本小题满分12分)已知两个命题p: sinx+cosx>m,q: x2+mx+1>0,如果对任意x∈R,有p∨q为真,p∧q为假,求实数m的取值范围. 【解】 当命题p是真命题时, 由于x∈R,则sinx+cosx=sin≥-, 所以有m<-. 当命题q是真命题时, 由于x∈R,x2+mx+1>0, 则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2. 由于p∨q为真,p∧q为假,所以p与q一真一假. 考虑到函数f(x)=x2+mx+1的图象为开口向上的抛物线,对任意的x∈R,x2+mx+1≤0不可能恒成立.所以只能是p为假,q为真, 此时有 解得-≤m<2, 所以实数m的取值范围是[-,2). 21.(本小题满分12分)已知命题p: 对数loga(-2t2+7t-5)(a>0,且a≠1)有意义;命题q: 实数t满足不等式t2-(a+3)t+a+2<0. (1)若命题p为真,求实数t的取值范围; (2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 【解】 (1)因为命题p为真,则对数的真数-2t2+7t-5>0,解得1 所以实数t的取值范围是. (2)因为p是q的充分不必要条件,所以是不等式t2-(a+3)t+a+2<0的解集的真子集. 法一: 因为方程t2-(a+3)t+a+2=0的两根为1和a+2, 所以只需a+2>,解得a>. 即实数a的取值范围为. 法二: 令f(t)=t2-(a+3)t+a+2,因为f (1)=0, 所以只需f<0,解得a>. 即实数a的取值范围为. 22.(本小题满分12分)设a,b,c为△ABC的三边,求证: 方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°. 【证明】 充分性: ∵∠A=90°, ∴a2=b2+c2. 于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0, ∴x2+2ax+(a+c)(a-c)=0. ∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0. ∴该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c), 同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0, 即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0, ∴该方程有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a). 可以发现,x1=x3, ∴方程有公共根. 必要性: 设x是方程的公共根, 则 由①+②,得x=-(a+c),x=0(舍去). 代入①并整理,可得a2=b2+c2. ∴∠A=90°. ∴结论成立. 章末综合测评 (二) 圆锥曲线与方程 (时间120分钟,满分150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.双曲线3x2-y2=9的焦距为( ) A.B.2 C.2 D.4 【解析】 方程化为标准方程为-=1, ∴a2=3,b2=9, ∴c2=a2+b2=12,∴c=2,∴2c=4. 【答案】 D 2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( ) A.B. C.1D. 【解析】 抛物线y2=4x的焦点为(1,0),到双曲线x2-=1的渐近线x-y=0的距离为=,故选B. 【答案】 B 3.已知抛物线C1: y=2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y=-x对称,则抛物线C2的准线方程是( ) A.x=-B.x= C.x=D.x=- 【解析】 抛物线C1: y=2x2关于直线y=-x对称的C2的表达式为-x=2(-y)2,即y2=-x,其准线方程为x=. 【答案】 C 4.已知点F,A分别为双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左焦点、右顶点,点B(0,b)满足·=0,则双曲线的离心率为( ) A.B. C.D. 【解析】 ∵·=0,∴FB⊥AB,∴b2=ac,又b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0,两边同除以a2,得e2-1-e=0,∴e=. 【答案】 D 5.已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( ) A.y=±xB.y=±x C.y=±xD.y=±x 【解析】 由e=,得=, ∴c=a,b==a. 而-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x, ∴所求渐近线方程为y=±x. 【答案】 C 6.如图1所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) 图1 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线D.圆 【解析】 由条件知|PM|=|PF|, ∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=k>|OF|, ∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆. 【答案】 A 7.如图2,已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,OP∥AB(O为原点),则该椭圆的离心率是( ) 图2 A.B. C.D. 【解析】 因为PF⊥x轴,所以P. 又OP∥AB,所以=,即b=c. 于是b2=c2, 即a2=2c2,所以e==. 【答案】 A 8.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( ) A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞) C.D. 【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为F(-2,0), 所以c=2. 所以c2=a2+b2=a2+1, 即4=a2+1,解得a=. 设P(x,y),则·=x(x+2)+y2, 因为点P在双曲线-y2=1上, 所以·=x2+2x-1=2--1. 又因为点P在双曲线的右支上,所以x≥. 所以当x=时,·最小,且为3+2, 即·的取值范围是[3+2,+∞). 【答案】 B 9.已知定点A,B满足|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( ) A.B. C.D.5 【解析】 已知定点A,B满足|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则点P的轨迹是以A,B为左、右焦点的双曲线的右支,且a=,c=2.所以|PA|的最小值是点A到右顶点的距离,即为a+c=2+=,选C. 【答案】 C 10.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( ) A.y2=2(x-1)B.y2=4(x-1) C.y2=x-1D.y2=(x-1) 【解析】 设P(x0,y0),M(x,y),则所以 由于y=x0,所以4y2=2x-2, 即y2=(x-1). 【答案】 D 11.已知直线y=k(x+2)与双曲线-=1,有如下信息: 联立方程组消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分类讨论: (1)当A=0时,该方程恒有一解; (2)当A≠0时,Δ=B2-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,]B.[,+∞) C.(1,2]D.[2,+∞) 【解析】 依题意可知直线恒过定点(-2,0),根据 (1)和 (2)可知直线与双曲线恒有交点,故需要定点(-2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边,即-2≤-,即0 【答案】 B 12.已知点P为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与x轴平行,若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q,则点Q( ) A.位于原点的左侧B.与原点重合 C.位于原点的右侧D.以上均有可能 【解析】 设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D,C,圆与直线l、直线PF分别切于点A,B.如图,由抛物线的定义知|PC|=|PF|,由切线性质知|PA|=|PB|,于是|AC|=|BF|.又|AC|=|DO|,|BF|=|FQ|,所以|DO|=|FQ|,而|DO|=|FO|,所以O,Q重合,故选B. 【答案】 B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.双曲线-=1的两条渐近线的方程为________. 【解析】 由双曲线方程可知a=4,b=3, 所以两条渐近线方程为y=±x. 【答案】 y=±x 14.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________. 【解析】 由题意,知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,又由a=5,可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,即|AB|=8. 【答案】 8 15.如图3所示,已知抛物线C: y2=8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,点A在抛物线C上,且在x轴的上方,过点A作AB⊥l于B,|AK|=|AF|,则△AFK的面积为________. 图3 【解析】 由题意知抛物线的焦点为F(2,0),准线l为x=-2,∴K(-2,0),设A(x0,y0)(y0>0),∵过点A作AB⊥l于B, ∴B(-2,y0),∴|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2, |BK|2=|AK|2-|AB|2,∴x0=2, ∴y0=4,即A(2,4),∴△AFK的面积为|KF|·|y0|=×4×4=8. 【答案】 8 16.设F为抛物线C: y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|PQ|=2,则直线l的斜率等于________. 【解析】 设直线l的方程为 y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2). 由联立得k2x2+2(k2-2)x+k2=0, ∴x1+x2=-, ∴=-=-1+, =, 即Q.又|FQ|=2,F(1,0), ∴2+=4,解得k=±1. 【答案】 ±1 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程. 【解】 设椭圆的半焦距为c,依题意, 得a=且e==, ∴a=,c=, 从而b2=a2-c2=1, 因此所求椭圆的方程为+y2=1. 18.(本小题满分12分)已知F1,F2分别为椭圆+=1(0<b<10)的左、右焦点,P是椭圆上一点. (1)求|PF1|·|PF2|的最大值; (2)若∠F1PF2=60°,且△F1PF2的面积为,求b的值. 【解】 (1)|PF1|·|PF2|≤=100(当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号), ∴|PF1|·|PF2|的最大值为100. (2)S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sin60°=, ∴|PF1|·|PF2|=,① 由题意知: ∴3|PF1|·|PF2|=400-4c2.② 由①②得c=6,∴b=8. 19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上,半径为4的圆C位于y轴右侧,且与y轴相切. (1)求圆C的方程; (2)若椭圆+=1的离心率为,且左、右焦点为F1,F2.试探究在圆C上是否存在点P,使得△PF1F2为直角三角形? 若存在,请指出共有几个这样的点? 并说明理由. 【解】 (1)依题意,设圆的方程为(x-a)2+y2=16(a>0). ∵圆与y轴相切,∴a=4, ∴圆的方程为(x-4)2+y2=16. (2)∵椭圆+=1的离心率为, ∴e===,解得b2=9. ∴c==4, ∴F1(-4,0),F2(4,0), ∴F2(4,0)恰为圆心C, (ⅰ)过F2作x轴的垂线,交圆于点P1,P2,则∠P1F2F1=∠P2F2F1=90°,符合题意; (ⅱ)过F1可作圆的两条切线,分别与圆相切于点P3,P4, 连接CP3,CP4,则∠F1P3F2=∠F1P4F=90°,符合题意. 综上,圆C上存在4个点P,使得△PF1F2为直角三角形. 20.(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-). (1)求双曲线的方程; (2)若点M(3,m)在双曲线上,求证: ·=0; (3)求△F1MF2的面积. 【解】 (1)∵e=, ∴可设双曲线方程为x2-y2=λ. ∵过点P(4,-), ∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线方程为x2-y2=6. (2)证明: 法一: 由 (1)可知,双曲线中a=b=, ∴c=2, ∴F1(-2,0),F2(2,0), ∴kMF1=,kMF2=, kMF1·kMF2==-. ∵点(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,m2=3, 故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2. ∴·=0. 法二: ∵=(-2-3,-m), =(2-3,-m), ∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2, ∵M点在双曲线上, ∴9-m2=6,即m2-3=0, ∴·=0. (3)△F1MF2的底边|F1F2|=4, △F1MF2的高h=|m|=, ∴S△F1MF2=6. 21.(本小题满分12分)已知A,B,C是椭圆W: +y2=1上的三个点,O是坐标原点. (1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由. 【解】 (1)椭圆W: +y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=±. 所以菱形OABC的面积是 |OB|·|AC|=×2×2|m|=. (2)四边形OABC不可能为菱形.理由如下: 假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0). 由消去y并整理得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设A(x1,y1),C(x2,y2), 则=-, =k·+m=. 所以AC的中点为M. 因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-. 因为k·≠-1, 所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 22.(本小题满分12分)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.
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