谱方法解偏微分方程.docx
- 文档编号:3759478
- 上传时间:2022-11-25
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:117.24KB
谱方法解偏微分方程.docx
《谱方法解偏微分方程.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《谱方法解偏微分方程.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
谱方法解偏微分方程
谱方法解偏微分方程
学生:
石幸媛,数学与计算机科学学院
指导老师:
陈慧琴,江汉大学数学与计算机科学学院
学号:
200808101125
摘要
本论文分析的是偏微分方程的谱方法解。
在此,我借用向新民编的《谱方法的数值分析》中第67页例2.1方程进行计算。
根据例2.1的谱方法计算方式,给该方程具体的函数进行计算,求解其值,并绘图。
最后研究比较一阶波动方程的Fourier谱方法与Fourier配点逼近有什么不同与相近之处,做出结论。
关键词:
Fourier配点逼近,截断函数,插值函数,Fourier谱方法
Abstract
Thispaperanalysesthepartialdifferentialequationsofthespectralmethod.Here,IusetheXiangXinminseries"numericalanalysisofspectralmethod"onpagesixty-seventhexample2.1equation.Accordingtothecaseof2.1spectralmethodsforcomputingmethod,givethespecificfunctionforcalculatingequation,solvingitsvalue,anddrawing.Thefinalstudycomparingafirst-orderwaveequationinFourierspectralmethodandFouriercollocationapproximationofwhatisthedifferenceandsimilarities,makeaconclusion.
Keywords:
Fouriercollocationapproximation,truncatedfunction,interpolationfunction,Fourierspectralmethod
目录
绪论4
论文主题5
§1定义引用:
5
§2论文内容:
5
2.1:
Fourier配点法5
结论11
致谢12
参考文献13
绪论
谱方法是70年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的方法,它具有“无穷阶”收敛性,可采用快速算法,这以后。
尤其到了80年代,Quarteroni、Canuto、Pasciak、Funaro、郭本瑜、Maday等人对谱方法从理论上作了系统研究,对各类投影算子、插值算子等导出了在各种范数意义下的误差估计,并把这些理论运用于一系列重要的线性和非线性偏微分方程上,取得了令人满意的结果,与此同时,大量的实际计算也证明了谱方法确是一种有效的数值方法。
现已被广泛用于气象、物理、力学等诸多领域,成为继差分法和有限元法之后又一种重要的数值方法。
目前,国内外专门介绍谱方法思想及其理论的书籍甚少。
且虽然谱方法在在理论研究方面已取得了一些重要进展,但与差分法和有限元法相比还差很远。
因此,在研究偏微分方程的谱方法解时可运用资源有限。
在导师的指导下,我借助所学习的书籍种的知识,对偏微分方程的某个方程即摘要中提到的《谱方法的数值解》一书中的第第67页例2.1方程进行具体化计算分析。
对结果进行画图,研究其形状特征。
论文主题
§1定义引用:
当用谱方法来求解偏微分方程时,经常需要用到截断函数或者插值函数的微分,以下就来讨论此问题。
设
.
是
的Fourier级数,因而可得
即截断和求导是可交换的,如果
,那么
也在
意义下收敛于
。
§2论文内容:
2.1:
Fourier配点法
引用例2.1考虑方程
(2.1.1)
的Fourier配点逼近。
设
为方程的近似解,那么
其
中.
令
,
这样
,
最后
写成矩正形式即为:
我们取边界值.u(0)=u(2π)=o,改变a(x),f(x)或u(x)函数,然后在计算机中运用Matlab程序进行计算。
Matlab程序设置或步骤如下:
lamal=0;%可以对应修改的常数
N=100;
h=2*pi/(2*N);
fork=-N:
N-1
forj=1:
2*N
x=j*h;
C(k+N+1,j)=1/(2*N)*exp(-i*k*x);
end
end
k1
(1)=0;
fork=-N+1:
N-1
k1(k+N+1)=k*i;
end
K=diag(k1);
forj=1:
2*N
x=j*h;
a(j)=1;%可以对应修改的函数
%a(j)=x;
f(j)=-sin(x);%可以对应修改的函数
%f(j)=x;
end
A=diag(a);
F=f';
I=ones(2*N,2*N);
D=inv(C)*K*C;
AA=D*A*D-lamal*I;
forj=1:
2*N-2
AA1(:
j)=AA(:
j+1);
end
U=inv(AA1'*AA1)*AA1'*F;
forj=1:
2*N
x(j)=j*h;
end
UU
(1)=0;
UU(2*N)=0;
forj=1:
2*N-2
UU(j+1)=U(j);
end
%plot(x,UU)
forj=1:
2*N
x(j)=j*h;
y(j)=sin(x(j));%可以对应修改的函数
%y(j)=1/6*x(j)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(j);
end
plot(x,UU,'r',x,y,'b')
设
,a(x)=1,u(x)=sinx那么根据公式(2.1.1)带入得
运行程序
最后获得结果为下图:
如图红线为谱方法的解,蓝色为精确解。
所示谱方法所求解与精确解基本吻合。
设
a(x)=1,
则根据公式(2.1.1)算得
运行程序最后得到结果图为:
如图所示,谱方法解与精确解基本吻合。
设
a(x)=x,u(x)=sinx.则根据公式(2.1.1)计算
运行程序得到最后结果如下图:
由图片观察红线与蓝线相差很大,此时得到结果脱离了我们的要求。
当我们尝试调节
时,我们就可以得到一个相对精确的值,图如下:
设
a(x)=1,f(x)=x那么由给定初始值
,解得
再次通过Matlab进行运行得到最后结果为下图:
结果分析的误差依然很大。
然后在下面操作时,无论
改变为何值,都存在上图的误差。
例当
时,得到图形为:
2.2有限差分法:
由上面我们可以得到
用Fourier配点法算得的解与精确解有较大的误差。
因此,我们尝试用差分法对
进行继续分析.对原方程进行变形得
(2.2.1)
Matlab程序编程如下:
clear
formatlong
lamal=1000;%可以修改的常量
N=100;
h=2*pi/(N);
fori=1:
N-1
x(i)=i*h;
y(i)=sin(x(i));
%y(i)=1/6*x(i)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(i);%精确值
a(i)=1;%可以修改的常量
a1(i)=0;%可以修改的常量
l1(i)=a1(i)/(2*h)+a(i)/(h^2);
end
fori=1:
N-1
A(i,i)=-lamal;
end
fori=1:
N-2
A(i,i+1)=l1(i);
end
fori=2:
N-1
A(i,i-1)=-l1(i);
end
fori=1:
N-1
x(i)=i*h;
%f(i)=x(i)-lamal*(1/6*x(i)^3+(-1/6*(2*pi)^2)*x(i));
f(i)=cos(x(i))-x(i)*sin(x(i))-lamal*sin(x(i));%可以修改的常量
end
UU=inv(A)*f';
plot(x,UU,'r',x,y,'b')
根据
中我们可以得到a(x)=x,u(x)=sinx,此时我们取
,由公式(2.2.1)可以得到f(x)=cosx-xsinx-1000sinx,最后获得结果为下图:
得到的是一个十分精确地结果。
根据
同样可以到一个相对精确地解,如下图:
也可以得到一个十分精确地解。
结论
、总体分析可得,Fourier配点法是具有可行性的。
并且可以得到比较精确地结果。
如图①②分析结果所示
当u是无穷可微且具有周期性时,则可以得到所谓的“谱精度”。
但是把谱方法
、运用于偏微分方程求解时,u一般只具有有限正则性,这时上面得到的估计就不是最优,如
所示。
此时用差分法,精度会比谱方法高。
致谢
感谢学校,给了我舒适的学习环境和学习资源,让我学习和制作论文能顺利进行。
感谢数计学院的老师们在大学四年传授给我这么多的数学知识储备,给我论文的研究奠定了一定的基础。
感谢我的指导老师陈慧琴老师,数月以来,从论文方向的确定,制作步骤的进行,以及制作过程遇到的困难顺利解决,都离不开陈老师给予的耐心细致的讲解和指导,在论文制作中,不仅收获了新知识即谱方法求解偏微分方程,还学会如何制作一篇合格优秀的论文作品。
论文在此顺利完成,谢谢你们。
参考文献
[1]向新民.谱方法的数值分析.北京,科学出版社,2000
[2]WangJP.Non-periodicfouriertransformandlimitespectralmethod.
[3]任宗修.SRLW方程的Chebyshev拟谱方法.工程数学学报,1995,12
(2):
34-40
[4]余德浩.汤华中.微分方程数值解法.科学出版社
[5]张理论.李晓梅.谱方法数值计算研究进展.指挥技术学院学报,2001
[6]H.O.Kreiss&J.Oliger,(1972),Comparisonofaccuratemethodsfortheintegrationofhyperbolicequations,Tellus,24,199~215.
[7]Y.Maday&A.Quarteroni,(1981),LegendreandChebyshevspectralapproximationsofBurgers'equation,Numer.Math.,37,321~332.
[8]郭本瑜,(1985),Navier-Strokes方程的谱解法,中国科学,A辑,NO.8,
353~362.
[9]郭本瑜,(1988),偏微分方程的差分方法,科学出版社。
[10]刘播,黄明游,(1987),一些非线性发展方程的Fourier方法,高等学校计算数学学报,Vol.9,No.2,119~133.
[11]F.john,(1986),偏微分方程。
朱汝金译,科学出版社。
[12]郭本瑜,(1985),KDV-Burgers方程谱方法的误差估计,数学学报,No.1,
1~15.
[13]D.Funaro,(1983),Errorestimatesforspectralapproximationoflinearadvectionequationoveranipercube,Calcolo,Vol.20,No.3,337~353.
[14]L.Carleson,(1966),Onconvergenceandgrowthofpartialsumsoffourier
Series,ActaMath.,116,135~157.
[15]夏道行等,(1978),实变函数与泛函分析(下册),人民教育出版社。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 方法 微分方程
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)