数值分析课后习题及答案.docx
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数值分析课后习题及答案
数值分析课后习题及答案
第一章绪论(12)
第二章插值法(40-42)
2、当时,,求的二次插值多项式。
[解]。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X0.40.50.60.70.8-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144[解]若取,,
则,,则
,
从而。
若取,,,则,
,,则
,
从而
补充题:
1、令,,写出的一次插值多项式,并估计插值余项。
[解]由,可知,
,
余项为,
故。
2、设,试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理,有
,
从而。
5、给定数据表:
,
1246741011求4次牛顿插值多项式,并写出插值余项。
[解]
一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-34061710由差商表可得4次牛顿插值多项式为:
,插值余项为
。
第三章函数逼近与计算(80-82)
26、用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据相拟合,并求均方误差。
192531384419.032.349.073.397.8[解]由。
。
又,
,
,
故法方程为,解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动,得出以下数据:
时间t(秒)00.91.93.03.95.0距离s(米)010305080110[解]设直线运动为二次多项式,则由
。
,
。
又,
,
,
故法方程为,解得。
故直线运动为。
补充题:
1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表:
I……U……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系:
。
应用最小二乘原理,求R使得达到最小。
对求导得到:
。
令,得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次,得到n个近似值,通常取平均值作为所求长度,请说明理由。
[解]令,求x使得达到最小。
对求导得到:
,令,得到,这说明取平均值
在最小二乘意义下误差达到最小。
3、有函数如下表,要求用公式拟合所给数据,试确定拟合公式中的a和b。
-3-2-10123-1.760.421.201.341.432.254.38[解]取,,则
,,
,而
,。
故法方程为
,解得。
4、在某个低温过程中,函数y依赖于温度的实验数据为
12340.81.51.82.0已知经验公式的形式为,是用最小二乘法求出a和b。
[解]取,,则
,,
,而
,。
故法方程为
,解得。
5、单原子波函数的形式为,试按照最小二乘法决定参数a和b,已知数据如下:
X0124y2.0101.2100.7400.450[解]对两边取对数得,令,,则拟合函数变为,所给数据转化为
X0124y0.69810.1906-0.3011-0.7985取,,则
,,
,而
,。
故法方程为
,解得。
因而拟合函数为,原拟合函数为。
第四章数值积分与数值微分(107)
2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
(1);
[解]。
精确值为。
3);
[解](略),精确值为。
4、用辛普森公式求积分并估计误差。
[解]。
,从而。
第五章常微分方程数值解法(141-142)
1、就初值问题分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似解的表达式,并与准确解相比较。
[解]由欧拉公式可知,即,从而
,即
,又因为,,所以
。
再由,可知误差为
。
由改进的欧拉公式可知,
即,从而
,即
,又因为,,所以
。
再由,可知误差为
。
2、用改进的欧拉方法求解初值问题,取步长计算,并与准确解相比较。
[解]由改进的欧拉公式可知,又由,,,可得,从而
;
;
;
;
;
;
;
;
;
。
3、用改进的欧拉方法解,取步长计算,并与准确解相比较。
[解]由改进的欧拉公式可知
,又由,,,可得,从而
;
;
;
;
。
4、用梯形方法解初值问题,证明其近似解为,并证明当时,它收敛于原初值问题的准确解。
[解]由梯形公式可知,,从而,即,从而,又由可知,。
。
5、利用欧拉方法计算积分在点的近似值。
[解]令,则,从而令,利用欧拉方法得到:
,又由,得到:
;
;
;
。
12、将下列方程化为一阶方程组:
1);
[解]令,则,从而有,,再令,则初值问题为。
[精确解为]
3)。
[解]令,,则,,从而有,初值为。
第六章方程求根(163-164)
1、用二分法求方程的正根,要求误差。
[解]令,则,,所以有根区间为;
又因为,所以有根区间为;
,所以有根区间为;
,所以有根区间为;
,所以有根区间为;
,所以有根区间为;
取,
这时它与精确解的距离。
3、为求方程在附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:
1),迭代公式;2),迭代公式;
3),迭代公式;4),迭代公式。
试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。
[解]1)设,则,从而,所以迭代方法局部收敛。
2)设,则,从而
,所以迭代方法局部收敛。
3)设,则,从而,所以迭代方法发散。
4)设,则,从而
,所以迭代方法发散。
4、比较求的根到三位小数所需的计算量:
1)在区间内用二分法;2)用迭代法,取初值。
[解]1)使用二分法,令,则
,,有根区间为;
,有根区间为;
,有根区间为;
,有根区间为;
,有根区间为;
,有根区间为;
,有根区间为;
,有根区间为;
,有根区间为;
,有根区间为;
,有根区间为;
从而,共二分10次。
2)使用迭代法,则,,
,,
即,共迭代4次。
7、用下列方法求在附近的根。
根的准确值,要求计算结果准确到四位有效数字。
1)用牛顿法;2)用弦截法,取;3)用抛物线法,取
[解]1),,
,,迭代停止。
2),,,
,迭代停止。
3),其中
,,故
,,,,
,
,,
,下略。
8、分别用二分法和牛顿法求的最小正根。
[解]参见第6题,。
13、应用牛顿法于方程,导出求的迭代公式,并求的值。
[解]令,则。
补充题
3、利用适当的迭代格式证明。
[证明]考虑迭代格式,则,,……,。
令,则。
当时,
,并且,因而迭代格式产生的序列收敛于方程在内的唯一根。
4、设a为正整数,试建立一个求的牛顿迭代公式,要求在迭代公式中不含有除法运算,并考虑公式的收敛性。
[解]考虑方程,则为以上方程的根。
,用牛顿迭代公式。
迭代函数中不含有除法运算。
由递推得到
,解得,,所以当
时,方法收敛。
第七章解线性方程组的直接方法(198-201,部分)
13、用追赶法解三对角方程组,其中,。
。
15、下列矩阵能否分解为(其中L为单位下三角阵,U为上三角阵)?
若能分解,那么分解是否唯一。
,,。
[解]因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,-10,所以A不能直接分解为三角阵的乘积,但换行后可以。
因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,0,所以B不能分解为三角阵的乘积。
因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1,5,1,所以C能够分解为三角阵的乘积,并且分解是唯一的。
16、试画出部分选主元素三角分解法框图,并且用此法解方程组
。
[解]。
2、用列主元Gauss消去法求解下列方程组:
(1);
[解]
(1),故。
3、用矩阵的直接三角分解法求解方程组:
。
[解]由可知,求解
可得,求解可得。
6、用追赶法求解三对角方程组:
(1),
(2),(3)。
[解]依追赶法对其增广矩阵进行初等变换,
(1),回代得到:
。
(2),回代得到:
。
(3),回代得到:
。
第八章解线性方程组的迭代法(217-219)
1、设方程组,
(a)考察用雅可比迭代法,高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性;
(b)用雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代终止。
[解](a)由系数矩阵为严格对角占优矩阵可知,使用雅可比、高斯-赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。
[精确解为]
(b)使用雅可比迭代法:
,
使用高斯-赛德尔迭代法:
。
5、设方程组(a);(b);
试考察解此方程组的雅克比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。
[解](a)由系数矩阵可知,
,由
可知,
,从而雅可比迭代法不收敛。
,由
可知,
,从而高斯-塞德尔迭代法收敛。
(b)由系数矩阵可知,
,由
可知,,从而雅可比迭代法收敛。
,由
可知,
,从而高斯-塞德尔迭代法不收敛。
8、设方程组,
(a)求解此方程组的雅克比迭代法的迭代矩阵的谱半径;
(b)求解此方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径;
(c)考察解此方程组的雅克比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。
[解]由系数矩阵可知,
(a),由
可知,。
(b),由,
可知。
(c)因为A是严格对角占优矩阵,两种迭代法都收敛。
10、用SOR方法解方程组(取);要求当
时迭代终止。
[解]由系数矩阵及,,可知,
,从而由可得。
[精确解为]
14、证明矩阵对于是正定的,而雅克比迭代只对是收敛的。
[证明]由,,可知,当
,即时,矩阵A是正定的。
又由,
可知,,从而当,即时,雅可比迭代是收敛的。
补充题1、用Jacobi迭代法求解方程组,初始向量为。
[解]Jacobi迭代格式为,迭代求解得到:
,,,。
2、设有迭代格式,其中,,试证明该迭代格式收敛,并取计算求解。
[证明]设为B的特征值,则由可得,从而该迭代格式收敛。
取计算得,,,。
3、给定方程组,用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛?
[解]由系数矩阵可知,
(1)雅可比迭代矩阵为,由
可知,,因而雅可比迭代法发散。
(2)高斯-塞德尔迭代矩阵为
,由
可知,,因而高斯-塞德尔迭代法收敛。
4、给定线性方程组,用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛?
[解]
(1)雅可比迭代矩阵为,由
可知,,因而雅可比迭代法发散。
(2)高斯-塞德尔迭代矩阵为
,由
可知,,因而高斯-塞德尔迭代法收敛。
5、给定线性方程组,其中,用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛?
[解]
(1)雅可比迭代矩阵为
,由
可知,因而雅可比迭代法发散。
(2)高斯-塞德尔迭代矩阵为
,由
可知,,因而高斯-塞德尔迭代法收敛。
[另解:
显然A为对称矩阵,并且a的各阶顺序主子式大于零,从而A为对称正定矩阵,可知高斯-塞德尔迭代法收敛。
]
6、设线性方程组的系数矩阵为,试求能使雅可比迭代法收敛的a的取值范围。
[解]当时,系数矩阵A为奇异矩阵,不能使用雅可比迭代法。
当时,雅可比迭代矩阵为,由可知,因而当,即时,雅可比迭代法收敛。
.
.
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