中考数学 第23讲 圆的有关计算.docx
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中考数学第23讲圆的有关计算
2019-2020年中考数学第23讲圆的有关计算
考点1正多边形与圆
如果正多边形的边数为n,外接圆半径为R,那么
边长an=2Rsin
周长C=2nRsin
边心距rn=Rcos
考点2圆的弧长及扇形面积公式
如果圆的半径是R,弧所对的圆心角度数是n,那么
弧长公式
弧长l=
扇形面积公式
S扇=
=
lR
考点3圆锥的侧面积与全面积
图形
圆锥简介
(1)h是圆锥的高,r是底面半径;
(2)l是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的①;
(3)圆锥的侧面展开图是半径等于②长,弧长等于圆锥底面③的扇形.
圆锥的侧面积
S侧=④
圆锥的全面积
S全=⑤
1.牢记圆的有关计算公式,并灵活处理好公式之间的转换,当出现求不规则图形的面积时,注意
利用割补法与等积变换转化为规则图形,再利用规则图形的公式求解.
2.圆锥的侧面问题转化为平面问题,如最短路线问题.
命题点1正多边形与圆
例1(2013·滨州)若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的()
A.6,3
B.3
,3C.6,3D.6
,3
方法归纳:
解决正多边形与圆的问题通常是将正多边形分解成三角形,利用正多边形的边长、外接圆半径、内切圆半径之间的关系来解决.
1.如图,⊙O是正方形ABCD的外接圆,点P在⊙O上,则∠APB等于()
A.30°B.45°C.55°D.
60°
2.(2014·天津)正六边形的边心距为
,则该正六边形的边长是()
A.
B.2C.3D.2
3.半径为r的圆内接正三角形的边长为(结果可保留根号).
命题点2弧长与扇形面积的计算
例2如图,水平地面上有扇形AOB,半径OA=6cm,∠AOB=
60°,且OA与地面垂直,在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,此时O
点移动的距离为cm,则此扇形的面积为cm2.(结果保留π)
方法归纳:
求弧长的关键是要知道半径和弧所对的圆心角的度数;求扇形的面积可用两个公式:
①S扇形=
清楚地反映了变量S,n,R三者之间的关系,②S扇形=
lR反映的则是变量S,l,R三者之间的关系,据此可解决相关的“知二求一”问题.
1.(2014·云南)已知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为()
A.
B.2πC.3πD.12π
2.(2014·成都)在圆心角为120°的扇形AOB中,半径OA=6cm,则扇形OAB的面积是()
A.6πcm2B.8πcm2C.12πcm2D.24πcm2
3.(2013·西宁)如图,网格图中每个小正方形的边长为1,则弧AB的弧长l=.(结果保留π)
4.已知扇形的圆心角为120°,弧长为20πcm,求扇形的面积(结果用π表示).
命题点3阴影面积的计算
例3(2013·衢州)如图,将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合,重叠部分的量角器弧(AB)对应的圆心角(∠AOB)为120°,OC的长为2cm,求三角板和量角器重叠部分的面积.
【思路点拨】重叠部分可分割成扇形和三角形,分别根据公式求得扇形和三角形的面积,再相加即可.
【解答】
方法归纳:
求图形面积的方法一般有两种:
规则图形直接使用面积公式计算;不规则图形则进行割补,转化为规则的图形再进行计算.
1.(2014·东营)如图,已知扇形的圆心角为60°,半径为
,则图中弓形的面积为()
A.
B.
C.
D.
2.(2014·重庆A卷)如图,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与⊙O相切于点C,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)
3.一个商标图案如图,矩形ABCD中,AB=2BC,且AB=8cm,以A为圆心,AD长为半径作半圆,求商标图案的面积.
命题点4圆锥的有关计算
例4(2014·日照)小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面,已知扇形的半径为5cm,弧长是6πcm,那么这个的圆锥的高是()
A.4cmB.6cmC.8cmD.2cm
【思路点拨】扇形的半径即为圆锥的母线长,扇形的弧长即为圆锥的底面周长,由此由2πr=6π,得出圆锥的半径r=3cm,最后根据勾股定理得圆锥的高.
方法归纳:
圆锥的有关计算首先要明白扇形围成圆锥的过程,扇形的半径变为圆锥的母线、扇形的弧长变为圆锥的底面周长,再利用有关公式求解.
1.(2014·宁波)圆锥的母线长为4,底面半径为2,则此圆锥的侧面积是()
A.6πB.8πC.12πD.16π
2.用圆心角为120°,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥
形无底纸帽(如图所示),则这个纸帽的高是()
A.
cmB.3
cmC.4
cmD.4cm
3.(201
4·南京)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径r=2cm,扇形的圆心角θ=120°,则该圆锥的母线长l为cm.
4.如图,已知每个小正方形的边长为1cm,O、A、B都在小正方形顶点上,扇形OAB是某个圆锥的侧面展开图,求这个圆锥的全面积.
1.(2014·衡阳)圆心角为120°,弧长为12π的扇形半径为()
A.6B.9C.18D.36
2.边长为a的正六边形的内切圆的半径为()
A.2aB.aC.
aD.
a
3.(2014·泸州)一个圆锥的底面半径是6cm,其侧面展开图为半圆,则圆锥的母线长为()
A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm
4.(201
4·沙坪坝模拟)如图,⊙O的半径是1,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,连接OA、OB.若∠P=60°,则图中阴影部分的面积是()
A.
B.
C.
D.
5.(2014·重庆B卷)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC=8,BD=6,以AB为直径作一个半圆,则图中阴影部分的面积为()
A.25π-6B.
-6C.
-6D.
-6
6.(2013·菏泽)在半径为5的半圆中,30°的圆心角所对弧的弧长为.(结果保留π)
7.(2014·崇明二模)如果一个正六边形的边心距的长度为
cm,那么它的外接圆的半径的长度
为cm.
8.(2014·河北)如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形.则S扇形=c
m2.
9.(2014·烟台)如图所示,
正六边形ABCDEF内接于⊙O,若⊙O的半径为4,则阴影部分的面积等于.
10.(2013·佛山)如图,圆锥的侧面展开图是一个半圆,求母线AB与高AO的夹角.(参考公式:
圆锥的侧面积S=πrl,其中r为底面半径,l为母线长)
11.如图,ABCD是矩形,AD=2,AB=1,
的圆心是点A.
(1)求
的长;
(2)求阴影部分的面积.
12.如图1,正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图,其中每个小正方形的边长为1.位于AD中点处的光点P按图2的程序移动.
(1)请在图1中画出光点P经过的路径;
(2)求光点P经过的路径总长(结果保留π).
13.(2014·随州模拟)如图,将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内,使D,C,B在一条直线上,且DC=2BC,过点A作量角器圆弧所在圆的切线
,切点为E,如果AB=6cm,则
的长是cm.(结果保留π)
14.(2014·襄阳)如图,在正方形ABCD中,AD=2,E是AB的中点,将△BEC绕点B逆时针旋转90°后,点E落在CB的延长线上点F处,点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG,连接EF,CG.
(1)求证:
EF∥CG;
(2)求点C,点A在旋转过程中形成的
,
与线段CG所围成的阴影部分的面积.
参考答案
考点解读
①半径②母线③周长④πrl⑤π
rl+πr2
各个击破
例1B
题组训练1.B2.B3.
例210π30π
题组训练1.C2.C3.
4.根据弧长公式得,
=20π,解得R=30.
故S扇形=
lR=
×20π×30=300π(cm2).
例3∵∠AOB=120°,∴∠BO
C=60°.
在Rt△BOC中,OC=2,∴OB=4,BC=2
.
∴S重叠部分=S扇形AOB+S△BOC
=
+
×2×2
=
π+2
(cm2).
题组训练1.C2.
3.∵矩形ABCD中,AB=2BC,且AB=8cm,
∴AD=BC=4,
∴S矩ABCD=AB·BC=8×4=32,
S扇ADF=
=4π,
S△FBC=
BC·FB=
×4×(8+4)=24,
∴S阴=S矩ABCD+S扇ADF-S△FBC
=32+4π-24=(8+4π)cm2.
答:
商标图案的面积为(8+4π)cm2.
例4A
题组训练1.B2.C3.6
4.由图可知,OB=
=2
,∠AOB=90°,
则弧AB的长为=
=
π(cm),
圆锥的侧面积=
×2
×
π=2π(cm2).
设底面半径为r,则2πr=
π,∴r=
∴圆锥的底面面积=πr2=π(
)2=
π(cm2).
∴圆锥的全面积=2π+
π=
π(cm2).
整合集训
1.C2.C3.B4.A5.D6.
7.28.49.
10.设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则πl=2πr,
∴l=2r,
∴母线与高的夹角的正弦值=
=
,
∴母线AB与高AO的夹角为30°.
11.
(1)连接AE,
∵AD=2,AB=1,∴AE=2,
∴∠DAE=∠AEB=30°,
∴
=
=
.
(2)∵AE=2,AB=1,∴EB=
,
∴阴影部分的面积S=S矩形ABCD-S扇形DAE-S△ABE=2×1-
-
×1×
=2-
-
.
12.
(1)如图;
(2)∵4×
=6π,
∴点P经过的路径总长为6π.
13.π
14.
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=AD
=2,∠ABC=90°.
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△ABF,
∴△ABF≌△CBE,
∴∠FAB=∠ECB,∠ABF=∠CBE=90°,AF=EC,∴∠AFB+∠FAB=90°.
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG,
∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°,AF=FG,
∴∠CFG=∠FAB=∠ECB,∴EC∥FG.
∵AF=EC,AF=FG,∴EC=FG,
∴四边形EFGC是平行四边形,
∴EF∥CG.
(2)∵△ABF≌△CBE,∴FB=BE=
AB=1,
∴AF=
=
.
在△FEC和△CGF中,
∵EC=FG,∠ECF=∠GFC,FC=CF,
∴△FEC≌△CGF,∴S△FEC=S△CGF.
∴S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC-S扇形FAG
=
+
×2×1+
×(1+2)×1-
=
-
(或
).
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