高三数学一轮复习精品教案2指数与指数函数教学设计.docx
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高三数学一轮复习精品教案2指数与指数函数教学设计
第四节 指数与指数函数
1.指数幂的概念与性质
(1)根式的定义:
若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子
叫做根式.
(2)根式的性质:
①(
)n=_a_;
②
=
(3)有理数指数幂的运算性质:
①ar·as=ar+s(a>0,r、s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
2.指数函数的图象与性质
1.(人教A版教材习题改编)化简『(-2)6』
-(-1)0的结果为( )
A.-9 B.7 C.-10 D.9
『解析』 『(-2)6』
-(-1)0=(26)
-1=8-1=7.
『答案』 B
2.化简
(x<0,y<0)得( )
A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y
『解析』
=
=2x2|y|=-2x2y.
『答案』 D
3.(2013·烟台模拟)函数y=
的值域是( )
A.『0,+∞)B.『0,4』
C.『0,4)D.(0,4)
『解析』 由题意得0≤16-4x<16,
∴函数的值域是『0,4).
『答案』 C
4.(2013·三明模拟)当a>0,且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点________.
『解析』 ∵a0=1,∴x-2=0,即x=2,此时,f
(2)=-2,因此必过定点(2,-2).
『答案』 (2,-2)
5.(2013·安庆模拟)指数函数y=(a2-1)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是________.
『解析』 由题意知0<a2-1<1,∴1<a2<2,即1<a<
或-
<a<-1.
『答案』 (-
,-1)∪(1,
)
化简:
(1)
(a>0,b>0);
(2)(-
)-
+(0.002)-
-10(
-2)-1+(
-
)0.
『思路点拨』 将根式化为分数指数幂,负分数指数化为正分数指数,底数为小数的化成分数,然后运用幂的运算性质进行运算.
『尝试解答』
(1)原式=
=a
+
-1+
b1+
-2-
=ab-1.
(2)原式=(-
)-
+(
)-
-
+1
=(-
)
+500
-10(
+2)+1
=
+10
-10
-20+1=-
.,
1.这类问题的求解,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:
(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
计算:
(1)
÷
;
(2)(0.027)-
-(
)-2+(2
)
-(
-1)0;
(3)已知m
+m-
=4,求
.
『解析』
(1)原式=(a
a-
)
÷(a-
a
)
=(a3)
÷(a2)
=a÷a=1.
(2)原式=(
)-
-(7)2+(
)
-1
=
-49+
-1=-45.
(3)∵m
+m-
=4,∴m+m-1+2=16,
∴m+m-1=14,
∴
=
=m+m-1+1=14+1=15.
已知f(x)=|2x-1|,
(1)求f(x)的单调区间;
(2)比较f(x+1)与f(x)的大小;
(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.
『思路点拨』
(1)作出f(x)的图象,数形结合求解.
(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象,数形结合求解.
(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.
『尝试解答』
(1)由f(x)=|2x-1|=
可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-∞,0)上递减;函数f(x)在(0,+∞)上递增.
(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象,如图所示.
由图象知,当|2x0+1-1|=|2x0-1|时,解得x0=log2
,两图象相交,从图象可见,当x<log2
时,f(x)>f(x+1);
当x=log2
时,f(x)=f(x+1);
当x>log2
时,f(x)<f(x+1).
(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象如图所示,有四个交点,故g(x)有四个零点.
1.指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.
2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.
若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象有两个公共点,求实数a的取值范围.
『解析』 分底数0<a<1与a>1两种情况,分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象,如图:
从图中可以看出,只有当0<a<1,且0<2a<1,
即0<a<
时,两函数才有两个交点.
所以实数a的取值范围为{a|0<a<
}.
(1)函数f(x)=(
)-x2-4x+3的单调递减区间为________,值域为________.
(2)(2013·黄冈模拟)已知f(x)=(
+
)x3(a>0且a≠1).
①讨论f(x)的奇偶性;
②求a的取值范围,使f(x)>0在定义域上恒成立.
『思路点拨』
(1)根据复合函数的单调性求解.
(2)先求函数的定义域,再判断奇偶性;对于恒成立问题,可借助函数的奇偶性,只讨论x>0的情况.
『尝试解答』
(1)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=(
)t在R上为单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减.又g(x)=-(x+2)2+7≤7,∴f(x)≥(
)7=3-7.
『答案』 (-∞,-2) 『3-7,+∞)
(2)①由于ax-1≠0,则ax≠1,得x≠0,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R}.
对于定义域内任意x,有
f(-x)=(
+
)(-x)3=(
+
)(-x)3
=(-1-
+
)(-x)3=(
+
)x3=f(x).
∴f(x)是偶函数.
②由①知f(x)为偶函数,
∴只需讨论x>0时的情况.
当x>0时,要使f(x)>0,即(
+
)x3>0,
即
+
>0,即
>0,
即ax-1>0,ax>1,ax>a0.又∵x>0,∴a>1.
因此a>1时,f(x)>0.
1.求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
2.与奇、偶函数有关的问题,根据对称性可只讨论x>0时的情况.
(2013·金华模拟)已知函数f(x)=
(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)讨论f(x)的单调性.
『解析』
(1)f(x)的定义域是R,令y=
,得ax=-
.
∵ax>0,∴-
>0,解得-1<y<1,
∴f(x)的值域为{y|-1<y<1}.
(2)∵f(-x)=
=
=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(3)f(x)=
=1-
.
设x1,x2是R上任意两个实数,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
.
∵x1<x2,∴当a>1时,ax2>ax1>0,
从而ax1+1>0,ax2+1>0,ax1-ax2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),f(x)为R上的增函数,当0<a<1时,ax1>ax2>0,
从而ax1+1>0,ax2+1>0,ax1-ax2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),f(x)为R上的减函数.
一种关系
分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
两点注意
1.指数函数的单调性取决于底数a的大小,因此解题时通常对底数a按:
0<a<1和a>1进行分类讨论.
2.换元时注意换元后“新元”的范围.
三个关键点
画指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:
(1,a),(0,1),(-1,
).
从近两年高考看,本节多以指数函数为载体,考查指数运算和指数函数的图象与性质的应用;题型以选择题、填空题为主,中低档难度,预计2014年仍延续这一特点,对指数函数与二次函数结合的题目,重点注意参数的计算与比较大小.
思想方法之三 构造法在指数幂大小比较中的应用
(2012·天津高考)已知a=21.2,b=(
)-0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( )
A.c
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