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应用凹凸函数的性质证明不等式解读
应用凹(凸函数的性质证明不等式
435000 湖北省黄石市第二中学 王碧纯
不等式的证明是高中数学中的一个重要内容.由于证题方法多、技巧性强,所以是一个难点.本文介绍应用凹(或凸函数的性质证明不等式的方式,希望给读者以启迪,并起到抛砖引玉的作用.
定义 已知函数y=f(x在给定区间[a,b]上,若x1,x2∈[a,b]恒有f(x1+
f(x2≤2f(
x1+x2
2
(当且仅当x1=x2时取等号,则称f(x在[a,b]上是凸函数;若恒
有f(x1+f(x2≥2f(
x1+x2
2
(当且仅当x1=x2时取等号,则称f(x在[a,b]上是凹函数.
应用数学归纳法,我们可以证明下面的凹(或凸函数的性质.
定理 若函数f(x在某区间内是凹(或凸函数,则对变数在这区间内的任意值x1,x2,x3,…xn有以下不等式成立:
f(
x1+x2+…+xn
n
≤f(x1+f(x2+…+f(xn
n
当且仅当x1=x2=…,=xn时取等号
(对于凸函数不等式方向相反.由凹函数的
定义可知y=x2(x∈R,y=
1
x
(x>0为凹函数.事实上,任给x1,x2∈R,都有
x21+x22≥12
(x21+2x1x2+x2
2=2(
x1+x22
2
∴ y=x2 (x∈R是凹函数.对于任意x1,x2∈R+,
1x1
+
1x2
=x1+x2x1x2≥
2x1x2
x1x1
=
2x1x2
≥
2
x1+x2
2
故 y=
1x
x∈R+是凹函数.
利用定义我们还可以证明 y=sinx,
x∈(0,Π是凸函数.下面我们应用凹(或凸
函数的性质,给出某些不等式的证明.
例1 已知Α为锐角,求证:
(1+1sinΑ(1+1
cosΑ
≥3+22.
证明 ∵ Α为锐角,
∴ sinΑ>0, cosΑ>0.
又 y=
1
x
(x∈R+为凹函数,∴ (1+
1sinΑ(1+1
cosΑ
=1+1sinΑcosΑ+1sinΑ+
1
cosΑ ≥1+2sin2Α+
2
sinΑ+cosΑ
2
=1+2sin2Α+
4
2sin(Α+
Π4
≥1+2+4
2
=3+22.
例2 已知A1,A2,A3,…,An是凸n边形的n个内角.求证:
sinA1+sinA2+…+sinAn≤nsin(n-2Π
n
.
证明 由平面几何知识可知 Ai∈
(0,Π,i=1,2,3,…,n,且A1+A2+…+An
=(n-2Π.又y=sinx,x∈(0,Π
是凸函数.
∴ sinA1+sinA2+…+sinAn≤n
sinA1+A2+…+An
n=nsin(n-2Πn
.
而已知A、B、C为△ABC的内角,
则 sinA+sinB+sinC≤
33
2
是上
述命题中n=3时的特例.
例3 已知a+b+c=1,且a、b、c∈R+,求证:
(a+1a2+(b+1b2+(c+1c2≥102
3
.
证明 (a+
1a
2+(b+1b
2+(c+1c
2
≥3[
(a+
1a
+(b+
1b
+(c+1c
3
]2
=3[
(a+b+c+
(1a
+1b
+
1c
3
]2
≥3(
1
3
+133
1
a+
b+c
3
2=3×(13+32=102
3
.
应用上题方法可以得到下面的结
7
42004年第11期 中学数学
概率小议
——兼谈广东省2004年高考第13题510631 华南师范大学数学系 孙道椿
1概率的统计定义:
记某个随机事件为A,若在u次彼此无关的试验(或观察中出现了v次,则称Fu(A=v
u
为随
机事件A在u次独立试验中出现的频率.事件
A发生的频率v
u
会在某一常数P附近摆动,
且当u越大时,这种摆动幅度越小,则称常数P为事件A的概率,记为P(A.
概率的统计定义是一种最基础的定义.它说明了事件的概率是客观存在的.也给出了概率的最原始的求法.从定义可以看出,我们指的随机现象应具有二个条件:
①不确定性:
每次实验的结果(事件具有多个可能性,且不能确定每次试验会出现哪种结果.
②可重复性:
在相同的条件下,试验可重复进行;或者可以同时进行多次的相同试验.
平常,人们对第一个条件——不确定性映象很深.对第二个条件——可重复性,往往容易忽视.从定义可以看出,概率论是一门实践性很强的科学.忽视了可重复性,就忽视了它的重要基础.
有些事情:
比如美国的总统选举.虽然选举前不能确定它的结果,但它不满足可重复性.所以它不是数学中所指的随机现象.因此也不存在“概率”的问题,实际生活中也很少有人问它的概率大小.如果有四人预测美国的选举结果:
甲说“布什有95◊的可能当选.”
乙说“布什有50◊的可能当选.”
丙说“布什有5◊的可能当选.”
丁说“布什肯定不会当选.”
若结果是布什当选了,上面仅有丁一人说错,若布什没有当选,上面四人全没有错,由于美国的选举不可重复.实际上,前面三人说的话是不可验证的,它只是反映了说话人的主观态度及认识,在概率论中是无意义的.
一般的随机事件,用统计定义求出它的概率,需要做多次实验(而且还不能找出精确值.为此,对实验合理的设计,数据的处
论:
当x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1时,则有
(x1+1
x12+(x2+1
x2
2+…+(xn+1
xn
2
≥(n2+12
n
.
例4 设a、b、c为△ABC的三边,S是
△ABC的面积.求证:
a2+b2+c2≥43S.
(第三届国际中学生竞赛题证明 a2+b2+c2≥ab+bc+ca
=absinC
sinC
+
bcsinA
sinA
+
casinB
sinB
=2S(
1
sinA
+
1
sinB
+
1
sinC
.①
又 y=1
x
(x>0为凹函数,
∴ 2S(1
sinA+
1
sinB
+
1
sinC
≥2S3
sinA+sinB+sinC
3
=2S
9
sinA+sinB+sinC
.②
即 y=sinx, x∈(0,Π为凸函数,
又 sinA+sinB+sinC
≤3sinA+B+C
3
=
33
2
③
由①②③可得
a2+b2+c2≥2S
9
33
2
=43S.
通过以上几个不等式的证明,对比常见
的证明方法,显然利用凹(或凸函数的性质
证明不等式要简捷得多.同时我们还可以看
到应用函数的凹凸性证明不等式,不仅可以
巩固有关基础知识,使得某些复杂问题简单
化,而且可以培养学生的解题技巧,发展学生
的思维能力.
(收稿日期:
20040910
84中学数学 2004年第11期
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- 应用 凹凸 函数 性质 证明 不等式 解读