天津和平区高考数学四模试题文科带解析.docx
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天津和平区高考数学四模试题文科带解析
天津和平区2016年高考数学四模试题(文科带解析)
2016年天津市和平区高考数学四模试卷(文科) 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.设a为实数,i是虚数单位,若+是实数,则a等于( )A.�1B.1C.2D.�32.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,4,7},B={2,3,6,8},任取一个元素a∈U,则a∈(A∩∁UB)的概率为( )A.B.C.D.3.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( )A.98B.86C.72D.504.命题“∀x∈R,x2+2x�1>0”的否定是( )A.∀x∈R,x2+2x�1≤0B.∃x∈R,x2+2x�1≤0C.∃x∈R,x2+2x�1<0D.∃x∈R,x2+2x�1>05.如图,过圆O外一点P作一条直线与圆O交于A,B两点,若PA=2,点P到圆O的切线PC=4,弦CD平分弦AB于点E,且DB∥PC,则CE等于( )A.3B.4C.3D.6.已知双曲线�=1(a>0,b>0)上的点到其焦点的最小距离为2,且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的方程为( )A.�=1B.�=1C.�=1D.�=17.设函数f(x)=,a=f(�2),b=f
(2),c=f(log212),则( )A.c<b<aB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c8.已知函数f(x)=x3�3x2+2,函数g(x)=,则关于x的方程g[f(x)]�a=0(a>0)的实根最多有( )A.4个B.5个C.6个D.7个 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.一个几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积为 cm3.10.直线y=kx与圆(x�2)2+(y+1)2=4相交于A,B两点,若|AB|≥2,则k的取值范围是 .11.若从区间[0,2]中随机取出两个数a和b,则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根,且满足a2+b2≤4的概率为 .12.若函数f(x)=ax4+bx2�x,f′
(1)=3,则f′(�1)的值为 .13.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,]时,f(x)=sinx,则f()的值为 .14.已知D是△ABC的边AB上一点,若=λ+λ2,其中0<λ<1,则λ的值为 . 三、解答题(共6小题,满分80分)15.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,asinA+csinC�asinC=bsinB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若C=,b=2,求a和c.16.某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务,每车每天往返一次.A、B两种型号的车辆的载客量分别为32人和48人,从甲地到乙地的营运成本依次为1500元/辆和2000元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的车队,并要求B种型号的车不多于A种型号车5辆.若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于800人,为使公司从甲地到乙地的营运成本最小,应配备A、B两种型号的车各多少辆?
并求出最小营运成本.17.如图,在四棱锥P�ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,DC∥AB,PA=1,AB=2,PD=BC=.
(1)求证:
平面PAD⊥平面PCD;
(2)试在棱PB上确定一点E,使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积比为2:
1;(3)在
(2)的条件下,求二面角E�AC�P的余弦值.18.已知数列{an}中,a1=2,a2=4,an+1+2an�1=3an(n≥2).(Ⅰ)证明:
数列{an+1�an}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设bn=an�1,Sn=++…+,若∃n∈N*,使Sn≥4m2�3m成立,求实数m的取值范围.19.椭圆C:
+=1(a>b>0)的上顶点为A,P(,)是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问:
在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于1?
如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由.20.已知函数f(x)=(ax�x2)ex.(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若函数f(x)在(�1,1]上单调递增,求a的取值范围;(Ⅲ)函数f(x)是否可为R上的单调函数?
若是,求出a的取值范围,若不是,说明理由.
2016年天津市和平区高考数学四模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.设a为实数,i是虚数单位,若+是实数,则a等于( )A.�1B.1C.2D.�3【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】复数的分母实数化,利用复数是实数,求出a的值即可.【解答】解:
+=+=+=+,∵a为实数,i是虚数单位,+是实数,∴1�a=0,∴a=1,故选:
B. 2.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,4,7},B={2,3,6,8},任取一个元素a∈U,则a∈(A∩∁UB)的概率为( )A.B.C.D.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】先求出A∩∁UB={1,4,7},从而得到任取一个元素a∈U,则基本事件总数n=8,其中a∈(A∩∁UB)包含的基本事件个数m=3,由此能求出a∈(A∩∁UB)的概率.【解答】解:
∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,4,7},B={2,3,6,8},∴A∩∁UB={1,3,4,7}∩{1,4,5,7}={1,4,7},任取一个元素a∈U,则基本事件总数n=8,其中,a∈(A∩∁UB)包含的基本事件个数m=3,∴a∈(A∩∁UB)的概率p=.故选:
D. 3.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( )A.98B.86C.72D.50【考点】程序框图.【分析】由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序,可知当满足k<12时,用S+2k的值代替S得到新的S值,进入下一步判断,直到条件不满足时输出最后的S值,由此即可得到本题答案.【解答】解:
模拟执行程序框图,可得S=0,k=1满足条件k<12,S=2,k=3满足条件k<12,S=8,k=5满足条件k<12,S=18,k=7满足条件k<12,S=32,k=9满足条件k<12,S=50,k=11满足条件k<12,S=72,k=13不满足条件k<12,退出循环,输出S的值为72.故选:
C. 4.命题“∀x∈R,x2+2x�1>0”的否定是( )A.∀x∈R,x2+2x�1≤0B.∃x∈R,x2+2x�1≤0C.∃x∈R,x2+2x�1<0D.∃x∈R,x2+2x�1>0【考点】命题的否定.【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【解答】解:
因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“∀x∈R,x2+2x�1>0”的否定是:
∃x∈R,x2+2x�1≤0.故选:
B. 5.如图,过圆O外一点P作一条直线与圆O交于A,B两点,若PA=2,点P到圆O的切线PC=4,弦CD平分弦AB于点E,且DB∥PC,则CE等于( )A.3B.4C.3D.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】根据切割线定理求出PB的长,再求出AB、BE和AE的长,再由平行线截得线段对应成比例,和相交弦定理,即可求出CE的长.【解答】解:
根据题意,PC2=PA•PB,∴PB===8,∴AB=PB�PA=8�2=6;又弦CD平分弦AB,∴BE=AE=3;又DB∥PC,∴===,∴DE=CE;又CE•DE=AE•EB,∴CE•CE=3×3,∴CE=.故选:
D. 6.已知双曲线�=1(a>0,b>0)上的点到其焦点的最小距离为2,且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的方程为( )A.�=1B.�=1C.�=1D.�=1【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据双曲线的性质结合双曲线渐近线的方程建立方程关系求出a,b的值即可得到结论.【解答】解:
∵双曲线�=1(a>0,b>0)上的点到其焦点的最小距离为2,∴c�a=2,则c=a+2,∵渐近线方程为y=±x,∴=,即b=a,则b2=a2=c2�a2,即c2=a,则c=a=a+2,则a=8,b=×8=6,则双曲线的方程为�=1,故选:
A 7.设函数f(x)=,a=f(�2),b=f
(2),c=f(log212),则( )A.c<b<aB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c【考点】分段函数的应用.【分析】根据分段函数的表达式,利用代入法分别求出a,b,c的值进行比较即可.【解答】解:
由题意得a=f(�2)=1+log24=1+2=3,b=f
(2)=21=2,c=f(log212)===6,则b<a<c,故选:
D. 8.已知函数f(x)=x3�3x2+2,函数g(x)=,则关于x的方程g[f(x)]�a=0(a>0)的实根最多有( )A.4个B.5个C.6个D.7个【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】利用换元法设t=f(x),则g(t)=a分别作出两个函数的图象,根据a的取值确定t的取值范围,利用数形结合进行求解判断即可.【解答】解:
作出函数f(x)和g(x)的图象如图:
由g[f(x)]�a=0(a>0)得g[f(x)]=a,(a>0)设t=f(x),则g(t)=a,(a>0)由y=g(t)的图象知,①当0<a<1时,方程g(t)=a有两个根�4<t1<�3,或�4<t2<�2,由t=f(x)的图象知,当�4<t1<�3时,t=f(x)有0个根,当�4<t2<�2时,t=f(x)有0个根,此时方程g[f(x)]�a=0(a>0)有0个根,②当a=1时,方程g(t)=a有两个根t1=�3,或t2=,由t=f(x)的图象知,当t1=�3时,t=f(x)有0个根,当t2=时,t=f(x)有3个根,此时方程g[f(x)]�a=0(a>0)有3个根,③当1<a<时,方程g(t)=a有两个根0<t1<,或<t2<1,由t=f(x)的图象知,当0<t1<时,t=f(x)有3个根,当<t2<1时,t=f(x)有3个根,此时方程g[f(x)]�a=0(a>0)有3+3=6个根,④当a=时,方程g(t)=a有两个根t1=0,或t2=1,由t=f(x)的图象知,当t1=0时,t=f(x)有3个根,当t2=1时,t=f(x)有3个根,此时方程g[f(x)]�a=0(a>0)有3+3=6个根⑤当a>时,方程g(t)=a有1个根t1>1,由t=f(x)的图象知,当t1>1时,t=f(x)有3或2个或1个根,此时方程g[f(x)]�a=0(a>0)有3或2个或1个根,综上方程g[f(x)]�a=0(a>0)的实根最多有6个根,故选:
C 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.一个几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积为 16 cm3.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知:
该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,其中左侧面、后侧面与底面垂直.利用体积计算公式即可得出.【解答】解:
由三视图可知:
该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,其中左侧面、后侧面与底面垂直.∴该几何体的体积==16cm2.故答案为:
16. 10.直线y=kx与圆(x�2)2+(y+1)2=4相交于A,B两点,若|AB|≥2,则k的取值范围是 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意求出圆心坐标和半径,由点到直线的距离公式求出圆心直线y=kx的距离,由直线与圆相交的条件列出不等式求出k的范围,结合条件和弦长公式列出不等式求出k的取值范围.【解答】解:
由题意得,圆心坐标(2,�1)、半径r=2,则圆心到直线y=kx的距离d=<2,解得k<,∵所截得的弦|AB|≥2,∴2=2,化简得,3k2+4k≤0,解得,综上可得,k的取值范围是,故答案为:
. 11.若从区间[0,2]中随机取出两个数a和b,则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根,且满足a2+b2≤4的概率为 .【考点】几何概型.【分析】全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤2},其面积为S=2×2=4,又构成事件的区域为{(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤2,a≥b,a2+b2≤4},求出其面积,利用几何概型的个数求得.【解答】解:
全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤2},其面积为S=2×2=4.关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根,则a2≥b2,即a≥b,所以所以又满足满足a2+b2≤4的区域为{(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤2,a≥b,a2+b2≤4},如图,其面积为S′=,所以从区间[0,2]中随机取出两个数a和b,则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根,且满足a2+b2≤4的概率为;故答案为:
. 12.若函数f(x)=ax4+bx2�x,f′
(1)=3,则f′(�1)的值为 �5 .【考点】导数的运算.【分析】求函数的导数,根据条件f′
(1)=3,建立方程关系即可得到结论.【解答】解:
∵f(x)=ax4+bx2�x,∴f′(x)=4ax3+2bx�1,∵f′
(1)=3,∴f′
(1)=4a+2b�1=3,则4a+2b=4,则f′(�1)=�4a�2b�1=�(4a+2b)�1=�4�1=�5故答案为:
�5 13.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,]时,f(x)=sinx,则f()的值为 .【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】由题意利用函数的周期性偶函数,转化f()为f(),即可求出它的值.【解答】解:
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,]时,f(x)=sinx,所以f()=f(�)=f()=sin=.故答案为:
. 14.已知D是△ABC的边AB上一点,若=λ+λ2,其中0<λ<1,则λ的值为 .【考点】向量的线性运算性质及几何意义.【分析】根据D是△ABC的边AB上一点,设,(0<k<1),然后把用表示即可.【解答】解:
∵D是△ABC的边AB上一点,设,(0<k<1)则,又,,∴2=,∴,∵=λ+λ2,∴,解得:
或(舍),故答案为:
. 三、解答题(共6小题,满分80分)15.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,asinA+csinC�asinC=bsinB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若C=,b=2,求a和c.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(I)由asinA+csinC�asinC=bsinB,利用正弦定理可得:
=b2,再利用余弦定理可得:
cosB.(II)A=π�B�C=,由正弦定理可得:
a=,而sinC=.可得c=.【解答】解:
(I)由asinA+csinC�asinC=bsinB,利用正弦定理可得:
=b2,由余弦定理可得:
cosB==,∵B∈(0,π),∴B=.(II)A=π�B�C=,由正弦定理可得:
a===,而sinC==+=.∴c==1+. 16.某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务,每车每天往返一次.A、B两种型号的车辆的载客量分别为32人和48人,从甲地到乙地的营运成本依次为1500元/辆和2000元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的车队,并要求B种型号的车不多于A种型号车5辆.若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于800人,为使公司从甲地到乙地的营运成本最小,应配备A、B两种型号的车各多少辆?
并求出最小营运成本.【考点】简单线性规划的应用.【分析】设A型号车x辆,B型号车y辆,则目标函数为z=1500x+2000y,列出约束条件,做出可行域,根据可行域寻找最优解位置.【解答】解:
设配备A种型号车x辆,B种型号车y辆,运营成本为z元.则,即.目标函数为z=1500x+2000y.作出约束条件表示的可行域如图所示:
由z=1500x+2000y得y=�x+.由可行域可知当直线y=�x+经过点A时,截距最小,即z最小.解方程组得A(7,12).∴zmin=1500×7+2000×12=34500.答:
应配备A型号车7辆,B型号车12辆,运营成本最小,最小营运成本为34500元. 17.如图,在四棱锥P�ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,DC∥AB,PA=1,AB=2,PD=BC=.
(1)求证:
平面PAD⊥平面PCD;
(2)试在棱PB上确定一点E,使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积比为2:
1;(3)在
(2)的条件下,求二面角E�AC�P的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.【分析】
(1)推导出DC⊥AD,DC⊥PA,由此能证明平面PAD⊥平面PCD.
(2)作EF⊥AB于F点,则EF⊥平面ABCD,设EF=h,由VPDCEA:
VEACB=2:
1,解得h=,从而得到E为PB的中点.(3)连结FC,FD,FD与AC交于点O,连结OE,推导出EF⊥AC,FO⊥AC,EO⊥AC,从而∠EOF是二面角E�AC�B的平面角,由二面角E�ACB与二面角E�AC�P互余,能求出二面角E�AC�P的余弦值.【解答】证明:
(1)∵AD⊥AB,DC∥AB,∴DC⊥AD,∵PA⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,∴DC⊥PA,∵AD∩PA=A,∴DC⊥平面PAD,∵DC⊂平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.解:
(2)作EF⊥AB于F点,在△ABP中,PA⊥AB,∴EF∥PA,∴EF⊥平面ABCD,设EF=h,AD==1,,则,==,由VPDCEA:
VEACB=2:
1,得():
=2:
1,解得h=,EF=PA,故E为PB的中点.(3)连结FC,FD,FD与AC交于点O,连结OE,由
(2)知EF⊥平面ABCD,∴EF⊥AC,∵ADCF为正方形,∴FO⊥AC,∵FO∩EF=F,∴AC⊥平面EFO,∴EO⊥AC,∴∠EOF是二面角E�AC�B的平面角,∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAC⊥平面ABCD,∴二面角E�ACB与二面角E�AC�P互余,设二面角E�AC�P的平面角为θ,则cosθ=sin∠EOF,在Rt△EOF中,EF=,FO=,EO=,cosθ=sin,∴二面角E�AC�P的余弦值为. 18.已知数列{an}中,a1=2,a2=4,an+1+2an�1=3an(n≥2).(Ⅰ)证明:
数列{an+1�an}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设bn=an�1,Sn=++…+,若∃n∈N*,使Sn≥4m2�3m成立,求实数m的取值范围.【考点】数列的求和;等比数列的通项公式;数列递推式.【分析】(I)由an+1+2an�1=3an(n≥2),变形为an+1�an=2(an�an�1),a2�a1=2,利用等比数列的定义即可证明.(II)由(I)可得:
an+1�an=2n,利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出.(III)bn=an�1=2n�1,可得==�.利用“裂项求和”方法可得Sn,再利用数列的单调性、不等式的解法即可得出.【解答】(I)证明:
∵an+1+2an�1=3an(n≥2),∴an+1�an=2(an�an�1),a2�a1=2,∴数列{an+1�an}是等比数列,首项为2,公比为2.(II)解:
由(I)可得:
an+1�an=2n,∴an=(an�an�1)+(an�1�an�2)+…+(a2�a1)+a1=2n�1+2n�2+…+2+2=+1=2n.(III)解:
bn=an�1=2n�1,∴==�.∴Sn=++…+=++…+=1�,若∃n∈N*,使Sn≥4m2�3m成立,∴1>4m2�3m,解得:
<m<1.∴实数m的取值范围是. 19.椭圆C:
+=1(a>b>0)的上顶点为A,P(,)是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问:
在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于1?
如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.【分析】
(1)由题设可得c2�c+=0①,又点P在椭圆C上,可得⇒a2=2②,又b2+c2=a2=2③,①③联立解得c,b2,即可得解.
(2)设动直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程消去y,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2�2=0(�~),由△=0,得m2=2k2+1,假设存在M1(λ1,0),M2(λ2,0)满足题设,则由=||=1对任意的实数k恒成立.由即可求出这两个定点的坐标.【解答】解:
(1)F(c,0),A(0,b),由题设可知,得c2�c+=0①…又点P在椭圆C上,∴⇒a2=2②b2+c2=a2=2③…①③联立解得,c=1,b2=1…故所求椭圆的方程为+y2=1…
(2)设动直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消去y,整理,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2�2=0(�~)方程(�~)有且只有一个实根,又2k2+1>0,所以△=0,得m2=2k2+1…假设存在M1(λ1,0),M2(λ2,0)满足题设,则由=||=1对任意的实数k恒成立.所以,解得,或,所以,存在两个定点M1(1,0),M2(�1,0),它们恰好是椭圆的两个焦点.… 20.已知函数f(x)=(ax�x2)ex.(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若函数f(x)在(�1,1]上单调递增,求a的取值范围;(Ⅲ)函数f(x)是否可为R上的单调函数?
若是,求出a的取值范围,若不是,说明理由.【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)当a=2时,求得函数解析式和导函数,令f′(x)≤0,求得x的取值范围,即可求得f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)由题意可知,将函数f(x)在(�1,1]上单调递增,转化成f′(x)≥0,对于x∈(�1,1]都成立,采用分离变量法,构造辅助函数求得函数的最大值,求得a的取值范围;(Ⅲ)分类讨论当若函数f(x)为R上单调递增函数或单调递减,即f′(x)≥0或f′(x)≤0,对于x∈都成立,根据二次函数的性质判断是否满足条件,即可判断f(x)是否可为R上的单调函数.【解答】解:
(Ⅰ)当a=2时,f(x)=(2x�x2)ex.f′(x)=(2�2x)ex+(2x�x2)ex,=(2�x2)ex,令f′(x)≤0,2�x2≤0,解得:
x≤�或x≥,所以单调f(x)的单调递减区间为(�∞,�)和(,+∞),(Ⅱ)函数f(x)在(�1,1]上单调递增,所以f′(x)≥0,对于x∈(�1,1]都成
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- 天津 和平区 高考 数学四 试题 文科 解析