中考数学专题训练 压轴题含详解.docx
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中考数学专题训练压轴题含详解
中考数学压轴题
1.如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①当t=
时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
解:
(1)
(2)①点P不在直线ME上;
②依题意可知:
P(
),N(
,
)
当0<t<3时,以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD,依题意可得:
=
+
=
+
=
=
∵抛物线的开口方向:
向下,∴当
=
,且0<t<
<3时,
=
当
时,点P、N都重合,此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形
依题意可得,
=
=3
综上所述,以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值
.
2.已知二次函数
的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.
①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;
②设PQ与对称轴的交点为M,过M点作x轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ的面积为S,求面积S关于时间t的函数解析式,并指出t的取值范围;当t为何值时,S有最大值或最小值.
解:
(1)∵二次函数
的图象经过点C(0,-3),∴c=-3.
将点A(3,0),B(2,-3)代入
得
解得:
a=1,b=-2.∴
.
配方得:
,所以对称轴为x=1.
(2)由题意可知:
BP=OQ=0.1t.
∵点B,点C的纵坐标相等,∴BC∥OA.
过点B,点P作BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分别为D,E.
要使四边形ABPQ为等腰梯形,只需PQ=AB.
即QE=AD=1.又QE=OE-OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t,∴2-0.2t=1.
解得t=5.即t=5秒时,四边形ABPQ为等腰梯形.
②设对称轴与BC,x轴的交点分别为F,G.
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线,∴BF=CF=OG=1.
又∵BP=OQ,∴PF=QG.又∵∠PMF=∠QMG,∴△MFP≌△MGQ.
∴MF=MG.∴点M为FG的中点,∴S=
,
=
.由
=
.
.∴S=
.又BC=2,OA=3,
∴点P运动到点C时停止运动,需要20秒.
∴0 3.如图,P为正方形ABCD的对称中心,A(0,3),B(1,0),直线OP交AB于N,DC于M,点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动,同时,点R从O出发沿OM方向以 个单位每秒速度运动,运动时间为t。 求: (1)C的坐标为▲; (2)当t为何值时,△ANO与△DMR相似? (3)△HCR面积S与t的函数关系式; 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。 解: (1)C(4,1); (2)当∠MDR=450时,t=2,点H(2,0) 当∠DRM=450时,t=3,点H(3,0) (3)S=- t2+2t(0<t≤4);(1分)S= t2-2t(t>4) 当CR∥AB时,t= ,S= 当AR∥BC时,t= ,S= 当BR∥AC时,t= ,S= 4.如图11,在平面直角坐标系中,二次函数 的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点. (1)求这个二次函数的表达式. (2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP C,那么是否存在点P,使四边形POP C为菱形? 若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积. 解: (1)将B、C两点的坐标代入得 解得: 所以二次函数的表达式为: (2)存在点P,使四边形POP C为菱形.设P点坐标为(x, ), PP 交CO于E,若四边形POP C是菱形,则有PC=PO. 连结PP 则PE⊥CO于E,∴OE=EC= ∴ = . ∴ = 解得 = , = (不合题意,舍去) ∴P点的坐标为( , ) (3)过点P作 轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x, ), 易得,直线BC的解析式为 ,则Q点的坐标为(x,x-3). = 当 时,四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为 ,四边形ABPC的 面积 . 5.如图,直线y=-x-1与抛物线y=ax2+bx-4都经过点A(-1,0)、B(3,-4). (1)求抛物线的解析式; (2)动点P在线段AC上,过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E,求线段PE长度的最大值; (3)当线段PE的长度取得最大值时,在抛物线上是否存在点Q,使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形? 若存在,请求出Q点的坐标;若不存在.请说明理由. 解: (1)由题知 ,解得a=1,b=-3, ∴抛物线解析式为y=x2-3x-4 (2)设点P坐标(m,-m-1),则E点坐标(m,m2-3m-4) ∴线段PE的长度为: -m-1-(m2-3m-4)=-m2+2m+3=-(m-1)2+4 ∴由二次函数性质知当m=1时,函数有最大值4,所以线段PE长度的最大值为4。 (3)由 (2)知P(1,-2) ①过P作PC的垂线与x轴交于F,与抛物线交于Q, 设AC与y轴交于G,则G(0,-1),OG=1,又可知A(-1,0)则OA=1,∴△OAG是等腰直角三角形,∴∠OAG=45o ∴△PAF是等腰直角三角形,由对称性知F(3,0) 设直线PF的解析式为y=k1x+b1,则 ,解之得k1=1,b1=-3,∴直线PF为y=x-3 由 解得 ∴Q1(2+ -1)Q2(2- - -1) ②过点C作PC的垂线与x轴交于H,与抛物线交点为Q,由∠HAC=45o,知△ACH是等腰直角三角形,由对称性知H坐标为(7,0),设直线CH的解析式为y=k2x+b2,则 ,解之得k2=1,b2=-7,∴直线CH的解析式为y=x-7 解方程组 得 当Q(3,-4)时,Q与C重合,△PQC不存在,所以Q点坐标为(1,-6) 综上所述在抛物线上存在点Q1(2+ -1)、Q2(2- - -1)、Q3(1,-6)使得△PCQ是以PC为直角边的直角三角形。 6.如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是 上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C. (1)求弦AB的长; (2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由; (3)记△ABC的面积为S,若 =4 ,求△ABC的周长. 解: (1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1. ∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF= OP= ,AF=BF. 在Rt△OAF中,∵AF= = = ,∴AB=2AF= . (2)∠ACB是定值. 理由: 由 (1)易知,∠AOB=120°, 因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA, 因为∠DAE+∠DBA= ∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°; (3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC. ∴ = AB•DE+ BC•DH+ AC•DG= (AB+BC+AC)•DE= l•DE. ∵ =4 ,∴ =4 ,∴l=8 DE. ∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD= ∠ACB=30°, ∴在Rt△CGD中,CG= = = DE,∴CH=CG= DE. 又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE, ∴l=AB+BC+AC=2 +2 DE=8 DE,解得DE= , ∴△ABC的周长为 . 7.如图,过A(8,0)、B(0, )两点的直线与直线 交于点C.平行于 轴的直线 从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿 轴向右平移,到C点时停止; 分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边向左侧作等边△DEF,设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S(平方单位),直线 的运动时间为t(秒). (1)直接写出C点坐标和t的取值范围; (2)求S与t的函数关系式; (3)设直线 与 轴交于点P,是否存在这样的点P,使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1)C(4, ), 的取值范围是: 0≤ ≤4 (2)∵D点的坐标是( , ),E的坐标是( , ) ∴DE= - = ∴等边△DEF的DE边上的高为: ∴当点F在BO边上时: = ,∴ =3 1当0≤ <3时,重叠部分为等腰梯形,可求梯形上底为: - S= = = 当3≤ ≤4时,重叠部分为等边三角形 S= = (3)存在,P( ,0)… 说明: ∵FO≥ ,FP≥ ,OP≤4 ∴以P,O,F以顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO,FP, 若FO=FP时, =2(12-3 ), = ,∴P( ,0) 8.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y= +1, 点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物 线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点 P(t,0)在x轴上. (1)写出点M的坐标; (2)当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时. ①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围; ②当梯形CMQP的两底的长度之比为1: 2时,求t的值. (第24题) 解: (1)∵OABC是平行四边形,∴AB∥OC,且AB=OC=4, ∵A,B在抛物线上,y轴是抛物线的对称轴,∴A,B的横坐标分别是2和–2, 代入y= +1得,A(2,2),B(–2,2),∴M(0,2), (2)①过点Q作QHx轴,设垂足为H,则HQ=y,HP=x–t, 由△HQP∽△OMC,得: 即: t=x–2y, ∵Q(x,y)在y= +1上,∴t=– +x–2, 当点P与点C重合时,梯形不存在,此时,t=–4,解得x=1 , 当Q与B或A重合时,四边形为平行四边形,此时,x=2 ∴x的取值范围是x1
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