1990考研数一真题及解析1.docx
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1990考研数一真题及解析1
1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分。
)
⎧x=-t+2
(1)
⎨
过点M(1,2,-1)且与直线⎪y=3t-4垂直的平面方程是。
⎩
⎪z=t-1
【答案】x-3y-z+4=0.
【解析】由直线的参数方程,可得直线的方向向量l=(-1,3,1),
所求平面的法向量n平行于所给直线的方向向量l=(-1,3,1),取n=l,又平面过已知点M(1,2,-1).已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这个平面,所求平面的方程为-(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0,化简即是
x-3y-z+4=0.
(2)设a为非零常数,则lim(x+a)x=。
【答案】e2a.
x→∞
x-a
【解析】此题考查重要极限:
lim(1+1)x=e.
lim(x+a)x=lim
(1+a)x
x
x→∞x
x→∞
x-a
x→∞(1-a)x
x
(1+
ax⋅a
)a
=limx
x→∞
(1-
ax⋅(-a)
)-a
x
=eae-a
=e2a.
x-a⋅x⋅2a
ç⎪
x+ax
⎛2a
⎫2ax-a2a
或由lim(
x→∞x
-
a)
=lim1+
x→∞⎝x-a⎭
⎧1,|x|≤1,
=e.
⎩
(3)设函数f(x)=⎨0,|x|>1,
则f[f(x)]=。
【答案】1.
【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域,不能遗漏,求出复合后函数的所有可能的解析式.
根据f(x)的定义知,当|x|≤1时,有f(x)=1.代入f[f(x)],又f
(1)=1.于是当|x|≤1时,复合函数f[f(x)]≡1;当|x|>1时,有f(x)=0.代入f[f(x)],又f(0)=1,即当|x|>1时,也有f[f(x)]≡1.
因此,对任意的x∈(-∞,+∞),有f[f(x)]≡1.
0
x
(4)积分⎰2dx⎰2e-y2dy的值等于。
【答案】1(1-e-4).
2
【解析】这是一个二重积分的累次积分,因e-y2的原函数不是初等函数,先对y积分积不出来,所以应该改换积分次序,先表成:
原式=⎰⎰e-y2dxdy.由累次积分的内外层积分限确定积分区域D:
D
0≤x≤2,x≤y≤2,如图所示,然后交换积分次序.
y
2
Dy=x
x
2
⎰⎰⎰
原式=2dyye-y2dx=2ye-y2dy
000
=-1e-y22=1(1-e-4).
202
(5)已知向量组α1=(1,2,3,4),α2=(2,3,4,5),α3=(3,4,5,6),α4=(4,5,6,7),则该向量的秩是。
【答案】2.
【解析】经过初等变换后向量组的秩不变.
α
⎡α1⎤⎡1234⎤
所以有
⎢
A=⎢
⎥⎢2345⎥
2⎥=⎢⎥
⎢α3⎥⎢3456⎥
⎢α⎥⎢4567⎥
⎣4⎦⎣⎦
第一行r1分别乘以(-2)、(-3)、(-4)加到第二行、第三行、第四行上,得到
⎡1
2
3
4⎤
⎢0
⎢
-1
-2
-3⎥
⎥
⎢0
⎢0
-2
-3
-4
-6
-6⎥
-9⎥
⎦
A→
⎣
继续作初等变换第二行r2分别乘以(-2)、(-3)加到第三行、第四行上,再自乘(-1)有
⎡1234⎤
⎢0123⎥
A→⎢⎥
⎢0000⎥
⎣⎦
⎢0000⎥
因为最后得出的矩阵有二阶子式≠0,而三阶子式=0,由矩阵秩的定义,有
r(α1,α2,α3,α4)=r(A)=2.
所以此题应填2.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分。
)
(1)设f(x)是连续函数,且f'(x)=[f(x)]2,则等于
(A)
-e-xf(e-x)-f(x)
(B)
-e-xf(e-x)+f(x)
(C)
e-xf(e-x)+f(x)
(D)
e-xf(e-x)-f(x)
【答案】A.
【解析】对积分上限的函数的求导公式:
β(t)
若F(t)=⎰α(t)f(x)dx,α(t),β(t)均一阶可导,
则F'(t)=β'(t)⋅f[β(t)]-α'(t)⋅f[α(t)].
复合函数求导法则,
如果u=g(x)在点x可导,而y=
f(x)在点u=g(x)可导,则复合函数
y=f[g(x)]在点x可导,且其导数为
dy=
dx
f'(u)⋅g'(x)
dydydu
=⋅
或
dxdudx
所以两边求导数,
F'(x)=
f(e-x)(e-x)'-f(x)(x)'
=-e-xf(e-x)-f(x).
故本题选A.
(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f'(x)=[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数fn(x)是
(A)
n!
[f(x)]n+1
(B)
n[f(x)]n+1
(C)
[f(x)]2n
(D)
n!
[f(x)]2n
【答案】A.
【解析】本题考查高阶导数的求法.
为方便记y=f(x).由y'=y2,逐次求导得
y''=2yy'=2y3,y'''=3!
y2y'=3!
y4,,
由第一归纳法,可归纳证明y(n)=n!
yn+1
假设n=k成立,即y(k)=k!
yk+1,
则y(k+1)=⎡⎣y(k)⎤⎦'=⎡⎣k!
yk+1⎤⎦'=(k+1)!
yk⋅y'
=(k+1)!
y(k+1)+1
所以n=k+1亦成立,原假设成立.
∞
(3)设α为常数,则级数∑
n=1
(sinnα-1)n2
(A)
n
绝对收敛(B)条件收敛
(C)发散(D)收敛性与α的取值有关
【答案】C.
【解析】本题可利用分解法判别级数的敛散性(收敛级数与发散级数之和为发散级数).
∞1∞1
n
∑发散.因为此为p级数:
∑np当p>1时收敛;当p≤1时发散.
n=1
∞sinnα
n=1
sinnα
n2
1∞1
n
∑2
n=1
收敛.因为由三角函数的有界性
≤2,而p级数:
∑2收敛,
nn
n=1
根据正项级数的比较判别法:
∞∞vn
设∑un和∑vn都是正项级数,且lim
=A,则
n=1
n=1
n→∞un
∞∞
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