数学分析教材习题全解复旦版数学分析教材习题全解ex121.docx
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数学分析教材习题全解复旦版数学分析教材习题全解ex121
数学分析教材习题全解(复旦版)数学分析教材习题全解ex12-1
第十二章多元函数的微分学
习题12.1偏导数与全微分
1(求下列函数的偏导数:
5426222
(1);
(2);z,x,6xy,yz,xln(x,y)
x2z,xy,(3);(4);z,sin(xy),cos(xy)y
2,,xx,,tan(5);(6)z,;z,e(cosy,xsiny),,y,,
xyyz,sin,cos(7);(8);z,(1,xy)yx
x,yz,ln(x,lny)z,arctan(9);(10);1,xy
y222x(x,y,z)z(11);(12);u,eu,x
z1y(13);(14);u,xu,222x,y,z
nn
u,axy,a,a(15),为常数;(16)为常数。
uax,a,ijijijji,iiii,j,1i,1
z,z54432解
(1),,6y,12xy。
5x,24xy,y,x
32,z2x,z2xy22
(2),。
,2xln(x,y),2222,y,xx,yx,y
z1,zx,y,,x,(3),。
2,y,xyy
z,z,,(4),,xcos(xy),sin(2xy)。
y,,cos(xy),sin(2xy),y,x
z,zxx,e(xcosy,siny)(5),。
e(cosy,xsiny,siny),y,x
222,,,,,zxx,zxx222,,,,,sec,,sec(6),。
2,,,,,xyy,yyy,,,,
z1xyyxyzxxy,1xy,,coscos,coscossinsin,sinsin(7),,。
22yyx,,xyyxyxxyxyx
1
,,,zxy,z2y,1y(8),
(1)ln
(1)。
y(1,xy),,xy,xy,,,1,x,y,xy,,
z1,z1,,(9),。
yy(x,lny),xx,lny
z1,z1zxy,,arctanarctan(10)注意,,,,。
22,y,x1,y1,x
222222,u,u222x(x,y,z)x(x,y,z)2xy(11),,,ee,(3x,y,z),y,x
222,ux(x,y,z)2xz。
e,,z
yyy,1,uy,uyx,ulnxlnzzz(12),,,。
x,xx,2,y,zz,xzz
yz,ux,u,u,,,,(13),,,。
333,y,x,z222222222222,,,,,,x,y,zx,y,zx,y,z
zzz,u,u,uz,1yzyzy,1zyxlnxyxlnxlny(14),,,。
yx,,y,z,x
u,a,i,1,2,?
n(15)。
i,xi
nn,u,u,ay,i,1,2,?
n(16),。
ax,j,1,2,?
n,,ijjiji,x,y,1j,1iij
22f(x,y),x,y,x,y2.设,求及。
f(3,4)f(3,4)yx
xy解因为,所以1,1ff,,,,xy2222xyxy,,
21(3,4),(3,4),,。
ffxy55x2,z,zyz,e2x,y,03.设,验证。
x,y
xx22,,zzx12yy证由于,所以,,,e,e23,,xyyy
z,z2x,y,0。
x,y
2
22,x,y,z,,(2,4,5)4.曲线在点处的切线与轴的正向所夹的角度是x,4,y,4,
多少,
dxdydz(,,)(1,0,1),(2,4,5)解以x为参数,曲线在点处的切向量为,dxdxdxx,2
设它与轴的正向所夹的角度为,,则x
(1,0,1)1,,,,,cos(1,0,0)
22
所以。
,4
5.求下列函数在指定点的全微分:
22(1,2)
(1),在点;f(x,y),3xy,xy
22(2,4),在点;
(2)f(x,y),ln(1,x,y)
sinx,,,(0,1)(3),在点和。
2f(x,y),,,24y,,
22解
(1)因为,所以dfxyxyydxxxydy(,)(6)(32),,,,
df(1,2),8dx,dy。
22xy
(2)因为,所以dfxydxdy(,),,222211,,,,xyxy
48。
df(2,4),dx,dy2121
cos2sinxx(3)因为,所以dfxydxdy(,),,23yy
22df(0,1),dxdf(,2),dx,dy,。
4886.求下列函数的全微分:
xxy
(1);
(2);z,xyez,y
x,yyz,(3);(4)z,;22x,yx,y
222222u,x,y,z(5);(6)。
u,ln(x,y,z)
xx,1解
(1)。
dz,ylnydx,xydy
xy
(2)。
dz,e(1,xy)(ydx,xdy)
3
22yx,,,dzdxdy(3)。
22(,)(,)xyxy
2xxy,,dy,(4)。
dzdx33222222xy(,)(,)xy
xdx,ydy,zdzdu,(5)。
222x,y,z
2(xdx,ydy,zdz)(6)du,。
222x,y,z
2yz,xeP(1,0)P(1,0)Q(2,,1)7.求函数在点处的沿从点到点方向的方
向导数。
,,,
PQ(2,1)(1,0)1,,解由于,且v,,,,,(1,1)(,)vv12|||(2,1)(1,0)|PQ,,2
,zz22yye,2e,,,x,,xy
所以
,,zzz1。
,,,vv12v,,,xy2
22(1,1)v,(cos,,sin,)8.设,求它在点处的沿方向的方向z,x,xy,y
导数,并指出:
(1)沿哪个方向的方向导数最大,
(2)沿哪个方向的方向导数最小,
(3)沿哪个方向的方向导数为零,解由于
zzz,,,cossin
(2)cos
(2)sin,,,,xyyx,,,,,,,vxy,,,
所以
z,,,,,cossin,,,,,,,sin()sin2sincos(),,,,,(1,1)244,v
,,v,(cos
(1)当时,沿,方向导数最大。
,sin),444
4
555,,,v,(cos
(2)当时,沿,方向导数最小。
,sin),444
337737,,,,,,时,沿v,(cos或v,(cos,方向(3)当,,sin),sin),,444444
导数为零。
f(x,y)(1,2)(1,2)(2,2)9(如果可微函数在点处的从点到点方向的方向
(1,1)(1,2)导数为2,从点到点方向的方向导数为-2。
求
(1,2)
(1)这个函数在点处的梯度;
(1,2)(1,2)(4,6)
(2)点处的从点到点方向的方向导数。
,,,zzzz(2,2)(1,2)(1,0),,,,,,,,102解,。
v=1,,,,vxyx1
,,,zzzz(1,1)(1,2)(0,1),,,,,,,,,,,,0
(1)2,。
v=2,,,,vxyy2
(1,2)所以在处,
,zz。
,2,,xy
gradf(1,2),(2,2)
(1)。
(3,4)(3,4)(4,6)(1,2)(3,4),,v,,
(2)因为,,所以22534,
f3414。
,,,,22(1,2),v555
10.求下列函数的梯度:
22,,xy22,,z,1,,
(1);
(2);z,x,ysin(xy)22,,ab,,
222(1,1,1)(3),在点。
u,x,2y,3z,3xy,4yz,6x,2y,5z
32解
(1)。
gradz,(2x,ycos(xy),2ysin(xy),xycos(xy))
xy22z,,,
(2)grad(,)。
22ab
grad(236,4342,645)uxyyxzzy,,,,,,,,gradu(1,1,1),(11,9,5)(3),。
f(x,y),xy11.对于函数,在第Ι象限(包括边界)的每一点,指出
函数值增加最快的方向。
5
(x,y),(0,0)gradf,(y,x)解在点,函数值增长最快的方向为;
(0,0)在点,由于梯度为零向量,不能直接从梯度得出函数值增长
v,(cos,,sin,)最快的方向。
设沿方向自变量的改变量为
,,,xtytcos,sin,,,
则函数值的改变量为
122,,,,,,,,,,,,fxyfxytt(,)(0,0)cossinsin22
,3由此可知当时函数值增长最快,即函数值增长最快的方向为,,,44
(1,1)(,1,,1)和。
12(验证函数
3f(x,y),xy
(0,0)i,1,2在原点连续且可偏导,但除方向和()外,在e,eii
原点的沿其它方向的方向导数都不存在。
3解,lim(,)lim0(0,0)fxyxyf,,,xyxy,,(,)(0,0)(,)(0,0)
3300,,,y,,,x00f(0,0)lim0,,,,f(0,0)lim0,,xy,,x0,,y0,x,y
(0,0)v,(cos,,sin,)所以函数在原点连续且可偏导。
取方向,则
,,,ffttf(0cos,0sin)(0,0),,,limt,,0,vt
33ttcossin,,,sin2,,lim,,lim3t,,0t,,0tt2
kk,,sin20,,sin20,,当,即时,极限存在且为零;当,即时,,,,,22
i,1,2极限不存在。
所以除方向和()外,在原点的沿其它方向e,eii
的方向导数都不存在。
13.验证函数
xy,22,x,y,0,,22f(x,y),x,y,
22,0,x,y,0,
6
(0,0)在原点连续且可偏导,但它在该点不可微。
解由于
xy22,,,,,xyxy0((,)(0,0))22xy,
所以
xy。
lim0(0,0),,lim(,)fxy,f22(,)(0,0)xy,(,)(0,0)xy,,xy由定义,
0,,y,,x0,0,0220,,y,,x0f(0,0)lim0,,,。
f(0,0)lim0,,xy,,x0,,y0,x,y
(0,0)所以函数在原点连续且可偏导。
但
fxyffxfy(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)],,,,,,,,,xy
,xy22fxy(,),,,,,,,oxy()=,22,,,xy
(0,0)所以函数在不可微。
14.验证函数
1,2222xyxy(,)sin,,,0,,22f(x,y),xy,,22,xy0,,,0,
(0,0)的偏导函数在原点不连续,但它在该点可微。
f(x,y),f(x,y)xy
解由定义,
122,,,x(0)sin022,,x0,f,,(0,0)lim0x,,x0,x
(,)(0,0)xy,当时,
121x22。
fxyxxy(,)2sincos,0,,,,x222222xyxyxy,,,
由于
7
111,lim(,)limfxy,(2sincos)x,x22,,00xx222xxx,xy
(0,0)(0,0)极限不存在,所以在原点不连续。
同理在原点fxy(,)fxy(,)yx
也不连续。
但由于
fxyffxfy(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)],,,,,,,,,xy
12222,,,,oxy()=,()sinxy,22xy,
(0,0)所以函数在可微。
15.证明函数
2,xy222xy,,,0,,24fxy(,),xy,,22,xy0,,,0,
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