高三数学理一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第三节简单的逻辑联结词.docx
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高三数学理一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
2019考纲考题考情
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。
(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定
2.量词及含有一个量词的命题的否定
(1)全称量词和存在量词
①全称量词有:
所有的,任意一个,任给一个,用符号“∀”表示;存在量词有:
存在一个,至少有一个,有些,用符号“∃”表示。
②含有全称量词的命题,叫做全称命题。
“对M中任意一个x,有p(x)成立”用符号简记为:
∀x∈M,p(x)。
③含有存在量词的命题,叫做特称命题。
“存在M中元素x0,使p(x0)成立”用符号简记为:
∃x0∈M,p(x0)。
(2)含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,綈p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
1.用“并集”的概念来理解“或”,用“交集”的概念来理解“且”,用“补集”的概念来理解“非”。
2.记忆口诀:
(1)“p或q”,有真则真;
(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反。
3.命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q);命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)。
一、走进教材
1.(选修2-1P27A组T3改编)命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是( )
A.∃x0∈R,x
+x0≤0B.∃x0∈R,x
+x0<0
C.∀x∈R,x2+x≤0D.∀x∈R,x2+x<0
解析 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确。
故选B。
答案 B
2.(选修2-1P18A组T1(3)改编)已知命题p:
2是偶数,命题q:
2是质数,则命题綈p,綈q,p∨q,p∧q中真命题的个数是( )
A.1 B.2C.3 D.4
解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题。
故选B。
答案 B
二、走近高考
3.(2017·山东高考)已知命题p:
∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:
若a>b,则a2>b2。
下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.p∧(綈q)
C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)
解析 因为x>0,所以x+1>1,ln(x+1)>0,所以对于∀x>0,ln(x+1)>0,故p为真命题。
由1>-2,12<(-2)2可知q是假命题,所以綈q为真命题。
根据复合命题真值表可知p∧(綈q)为真命题。
故选B。
答案 B
4.(2016·浙江高考)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n 解析 由全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题得,命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R,∀n∈N*,使得n 故选D。 答案 D 三、走出误区 微提醒: ①命题涉及的知识载体出错;②复合命题的否定中出现逻辑错误;③参数的讨论出错。 5.下列命题中的假命题是( ) A.∃x0∈R,lgx0=1B.∃x0∈R,sinx0=0 C.∀x∈R,x3>0D.∀x∈R,2x>0 解析 当x=10时,lg10=1,则A为真命题;当x=0时,sin0=0,则B为真命题;当x≤0时,x3≤0,则C为假命题;由指数函数的性质知,∀x∈R,2x>0,则D为真命题。 故选C。 答案 C 6.已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 由綈p为真知,p为假,可得p∧q为假;反之,若p∧q为假,则可能是p真q假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件。 故选A。 答案 A 7.已知命题p: ∀x∈R,x2-a≥0;命题q: ∃x0∈R,x +2ax0+2-a=0。 若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围为________。 解析 由已知条件可知p和q均为真命题,由命题p为真得a≤0,由命题q为真得Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≤-2或a≥1,所以a≤-2。 答案 (-∞,-2] 考点一简单的逻辑联结词微点小专题 方向1: 真假判断 【例1】 (2019·安徽省示范高中模拟)已知下列两个命题: p1: 存在正数a,使函数y=2x+a·2-x在R上为偶函数; p2: 函数y=sinx+cosx+ 无零点。 则在命题q1: p1∨p2,q2: p1∧p2,q3: (綈p1)∨p2,q4: p1∧(綈p2)中,真命题是( ) A.q1,q4 B.q2,q3C.q1,q3 D.q2,q4 解析 当a=1时,y=2x+a·2-x在R上是偶函数,所以p1为真命题。 当x= 时,函数y=sinx+cosx+ =0,所以命题p2是假命题。 所以p1∨p2,p1∧(綈p2)是真命题。 故选A。 答案 A “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 1.确定命题的构成形式。 2.判断其中命题p、q的真假。 3.确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假。 方向2: 求参数的取值范围 【例2】 已知p: ∃x∈R,mx2+1≤0,q: ∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是( ) A.[2,+∞) B.(-∞,-2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.[-2,2] 解析 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,-2 因此由p,q均为假命题得 即m≥2。 故选A。 答案 A 【互动探究】 (1)本例条件不变,若p∧q为真,则实数m的取值范围是________。 (2)本例条件不变,若p∧q为假,p∨q为真,则实数m的取值范围是________。 解析 (1)依题意,当p是真命题时,有m<0;当q是真命题时,有-2 可得-2 (2)若p∧q为假,p∨q为真,则p、q一真一假。 当p真q假时 所以m≤-2;当p假q真时 所以0≤m<2。 所以m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2)。 答案 (1)(-2,0) (2)(-∞,-2]∪[0,2) 根据命题真假求参数的步骤 1.先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)。 2.然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围。 3.最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围。 【题点对应练】 1.(方向1)已知命题p: 对任意的x∈R,总有2x>0;q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧qB.(綈p)∧(綈q) C.(綈p)∧qD.p∧(綈q) 解析 由指数函数的性质知命题p为真命题。 易知“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,所以命题q是假命题。 由复合命题真值表可知p∧(綈q)是真命题。 故选D。 答案 D 2.(方向2)已知命题p: 关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q: 关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数。 若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是( ) A.(-12,-4]∪[4,+∞)B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4)D.[-12,+∞) 解析 命题p等价于Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;命题q等价于- ≤3,即a≥-12。 由p或q是真命题,p且q是假命题知,命题p和q一真一假。
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