新冀教版数学九年级上册同步练习241 一元二次方程.docx
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新冀教版数学九年级上册同步练习241一元二次方程
第二十四章 一元二次方程
24.1 一元二次方程
知识要点分类练 夯实基础
知识点1 一元二次方程及其解的概念
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.2x+1=0B.y2+x=0
C.x2-x=0D.
+x2=0
2.若(m-1)x2+2x-3=0是关于x的一元二次方程,则( )
A.m≠0B.m≠1
C.m=0D.m≠-12
3.[2018·宁夏]若2-
是方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是( )
A.1B.3-
C.1+
D.2+
4.[2018·扬州]若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值为________.
5.教材习题B组第1题变式当a=________时,方程4x|a|+1+2x-3=0是关于x的一元二次方程.
知识点2 一元二次方程的一般形式
6.一元二次方程2x2-6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A.6,2,9B.2,-6,9
C.2,-6,-9D.-2,6,-9
7.若关于x的一元二次方程(k-2)x2+2(k+1)x+2k-1=0的一次项系数为-1,则k的值为( )
A.-
B.-
C.0D.3
8.将下列一元二次方程化成一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)x2+1=2x;
(2)-2=3x2;
(3)x(2x-1)=x;
(4)(x+1)(x-1)=2x-4.
知识点3 根据题意列一元二次方程
9.2017·兰州王叔叔从市场上买了一块长80cm,宽70cm的矩形铁皮,准备制作一个长方体工具箱.
图24-1-1
如图24-1-1,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的小正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为( )
A.(80-x)(70-x)=3000
B.80×70-4x2=3000
C.(80-2x)(70-2x)=3000
D.80×70-4x2-(70+80)x=3000
10.有x支球队参加篮球赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,一共进行了30场比赛,求参赛的球队支数x.根据问题,列出关于x的方程____________,将其化为一般形式为____________.
11.根据下列问题,列出关于x的一元二次方程,并将其化为一般形式.
(1)小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形,求该直角三角形的两条直角边长.设该直角三角形的一条直角边长为x厘米;
(2)有一个三位数,它的个位数字比十位数字大3,十位数字比百位数字小2,三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20,求这个三位数.设十位数字为x.
规律方法综合练 提升能力
12.[教材习题B组第1题变式]关于x的方程(a-1)x|a|+1-3x+2=0是一元二次方程,则( )
A.a≠±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=±1
13.若关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+
=0的一个根的倒数恰好是它本身,则m的值是( )
A.-
B.
C.-
或
D.1
14.若n(n≠0)是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根,则m+n=________.
15.我们知道若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根是x=1,则a+b+c=0,若9a+c=3b,则一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为________.
16.将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为2cm的小正方形,做成一个无盖的长方体盒子,已知盒子的容积为200cm3,设原正方形铁皮的边长为xcm,则列方程为__________________.
17.已知关于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0.
(1)当k为何值时,此方程为一元一次方程?
并求出此时方程的解;
(2)当k为何值时,此方程为一元二次方程?
并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
18.如图24-1-2,甲、乙两人分别从长为100米、宽为50米的矩形广场的A,C两点同时出发,甲由点A向点D运动,速度为2米/秒,乙由点C向点B运动,速度为3米/秒.设x秒后两人的直线距离是60米.
(1)请根据题意列出方程,并将其化为一般形式.
(2)根据生活经验判断x的值应该有几个?
试用图形说明一下.
图24-1-2
拓广探究创新练 冲刺满分
19.请阅读下列材料:
已知方程x2+x-3=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:
设所求方程的根为y,则y=2x,
所以x=
.
把x=
代入已知方程,得(
)2+
-3=0,
化简,得y2+2y-12=0,
故所求方程为y2+2y-12=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
问题:
已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的3倍.
教师详解详析
【备课资源】
教材的地
位和作用
一元二次方程是中学数学的重点内容,在初中代数中占有重要的地位.实数与代数式的运算、一元一次方程是学习一元二次方程的基础,通过对一元二次方程的学习,可以对上述内容加以巩固
教
学
目
标
知识技能
使学生理解并掌握一元二次方程的定义及相关概念
数学思考
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具
解决问题
能用一元二次方程表述具体情景中的数量关系,获得解决问题的经验
情感态度
使学生树立数学来源于生活,应用于生活的观点
教学重
点难点
重点
一元二次方程的意义及一般形式,会正确识别一般式中的“项”及“系数”
难点
将实际问题转化为数学问题的建模过程
重难点突破
培养学生的建模能力及语言表达能力.辨析一元二次方程,巩固一元二次方程的有关概念
易错点
①忽视二次项系数为0的条件;②判断各系数之前必须把方程整理为一般式;③各项系数都包括它前面的符号
教学
导入
设计
活动1
忆一忆
①x+y=1;②6x=7;③-
x+9=0;④
+y=4;⑤
+
=4;⑥
=4.上述方程中,一元一次方程有__②③__;二元一次方程有__①⑤__;分式方程有__④⑥__
活动2
想一想
(古算趣题——执竿进屋)笨人执竿要进屋,无奈门框挡住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭.有个邻居聪明者,教他斜竿对两角,笨者依言试一试,不多不少刚抵足.借问竿长多少数,谁人算出我佩服.
[答案]略
【详解详析】
1.C [解析]根据一元二次方程的概念来判断,A选项是一次方程,B选项含有两个未知数,D选项不是整式方程,C选项满足条件.故选C.
2.B [解析]∵(m-1)x2+2x-3=0是一元二次方程,∴m-1≠0,∴m≠1.故选B.
3.A [解析]把x=2-
代入方程x2-4x+c=0,得(2-
)2-4×(2-
)+c=0,解得c=1.
4.2018 [解析]由题意可知2m2-3m-1=0,∴2m2-3m=1,∴原式=3(2m2-3m)+2015=2018.
5.±1 [解析]根据题意,若方程为一元二次方程,则|a|+1=2,解得a=±1,即当a=±1时,方程4x|a|+1+2x-3=0是关于x的一元二次方程.
6.C [解析]原方程化成一般形式为2x2-6x-9=0,其中二次项系数为2,一次项系数为-6,常数项为-9.故选C.
7.A
8.解:
(1)一般形式:
x2-2x+1=0,二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为1.
(2)一般形式:
3x2+2=0,二次项系数为3,一次项系数为0,常数项为2.
(3)一般形式:
2x2-2x=0,二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为0.
(4)一般形式:
x2-2x+3=0,二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为3.
9.C [解析]根据题意可知长方体工具箱的底面的长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm,从而列出方程(80-2x)(70-2x)=3000.
10.
x(x-1)=30
x2-
x-30=0
11.解:
(1)由题意,得x2+(30-13-x)2=132,
化为一般形式为2x2-34x+120=0.
(2)由题意,得个位数字为x+3,百位数字为x+2,则[100(x+2)+10x+(x+3)]-9[(x+3)2+x2+(x+2)2]=20,
化为一般形式为27x2-21x-66=0.
12.C [解析]由题意可知
∴a=-1.
13.C [解析]由于方程的一个根的倒数是它本身,所以这个根可能是1或-1.当该根是1时,则有1+m+1+
=0,解得m=-
;当该根是-1时,则有1-m-1+
=0,解得m=
,即m的值为-
或
.故应选C.
14.-2 [解析]∵n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根,将x=n代入方程,得n2+mn+2n=0.
∵n≠0,∴方程两边都除以n得n+m+2=0,∴m+n=-2.
15.x=-3 [解析]根据题意,知当x=-3时,9a-3b+c=0,∴9a+c=3b,∴x=-3满足方程ax2+bx+c=0,∴方程ax2+bx+c=0的另一根是x=-3.
16.(x-2×2)(x-2×2)×2=200 [解析]没有盖的长方体盒子的长、宽均为(x-2×2)cm,高为2cm,根据长方体的体积计算公式可列方程为(x-2×2)(x-2×2)×2=200.
17.解:
(1)当k2-1=0且k+1≠0,即k=1时,此方程为一元一次方程,此时方程为2x-2=0,解得x=1.
(2)当k2-1≠0,即k≠±1时,此方程为一元二次方程,此时二次项系数为k2-1,一次项系数为k+1,常数项为-2.
18.解:
(1)设x秒后两人的直线距离QM=60米,如图,过点Q作QN⊥BC于点N.
∵QN=50米,QM=60米,NM=100-3x-2x=(100-5x)米.根据勾股定理,得502+(100-5x)2=602,整理,得x2-40x+356=0.
(2)如图所示,x的值应该有两个.
19.解:
设所求方程的根为y,则y=3x,所以x=
.把x=
代入已知方程,得(
)2+
-1=0,化简,得y2+3y-9=0,
故所求方程为y2+3y-9=0.
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