新教材高中数学第十章概率1011有限样本空间与随机事件1012事件的关系和运算学案新人教A版必修第二册.docx
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新教材高中数学第十章概率1011有限样本空间与随机事件1012事件的关系和运算学案新人教A版必修第二册
10.1.1 有限样本空间与随机事件10.1.2 事件的关系和运算
考点
学习目标
核心素养
随机试验
理解随机试验的概念及特点
数学抽象
样本空间
理解样本点和样本空间,会求所给试验的
样本点和样本空间
数学抽象
随机事件
理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念,
并会判断某一事件的性质
数学抽象
事件的关系和运算
理解事件5种关系并会判断
数学抽象、
逻辑推理
问题导学
预习教材P226-P232的内容,思考以下问题:
1.随机试验的概念是什么?
它有哪些特点?
2.样本点和样本空间的概念是什么?
3.事件的分类有哪些?
4.事件的关系有哪些?
1.随机试验
(1)定义:
把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.
(2)特点:
①试验可以在相同条件下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
2.样本点和样本空间
(1)定义:
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
(2)表示:
一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
3.事件的分类
(1)随机事件:
①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.
②随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
③在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
(2)必然事件:
Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
(3)不可能事件:
空集∅不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称∅为不可能事件.
■名师点拨
必然事件和不可能事件不具有随机性,它是随机事件的两个极端情况.
4.事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A+B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B=∅
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B=∅,A∪B=Ω
■名师点拨
(1)如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等,记作A=B.
(2)类似地,可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)必然事件一定发生.( )
(2)不可能事件一定不发生.( )
(3)互斥事件一定对立.( )
(4)对立事件一定互斥.( )
答案:
(1)√
(2)√ (3)× (4)√
下列事件:
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形;
②经过有信号灯的路口,遇上红灯;
③下周六是晴天.
其中是随机事件的是( )
A.①② B.②③
C.①③D.②
解析:
选B.①为必然事件;②③为随机事件.
“李晓同学一次掷出3枚骰子,3枚全是6点”的事件是( )
A.不可能事件B.必然事件
C.可能性较大的随机事件D.可能性较小的随机事件
解析:
选D.掷出的3枚骰子全是6点,可能发生,但发生的可能性较小.
一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:
事件A:
“恰有一件次品”;
事件B:
“至少有两件次品”;
事件C:
“至少有一件次品”;
事件D:
“至多有一件次品”.
并给出以下结论:
①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∪B=B;④A∪D=C.
其中正确的序号是( )
A.①② B.③④
C.①③D.②③
解析:
选A.A∪B表示的事件为至少有一件次品,即事件C,所以①正确,③不正确;
D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确;
A∪D表示的事件为至多有一件次品,即事件D,所以④不正确.
事件类型的判断
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.
(3)若x∈R,则x2+1≥1.
(4)抛一枚骰子两次,朝上面的数字之和小于2.
【解】 由题意知
(1)
(2)中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;(3)中事件一定会发生,是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1,两次朝上面的数字之和最小是2,不可能小于2,所以(4)中事件不可能发生,是不可能事件.
判断事件类型的思路
要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的,第二步再看它是一定发生,还是不一定发生,还是一定不发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
1.下面的事件:
①在标准大气压下,水加热到80℃时会沸腾;②a,b∈R,则ab=ba;③一枚硬币连掷两次,两次都出现正面向上.其中是不可能事件的为( )
A.② B.①
C.①②D.③
解析:
选B.②是必然事件,③是随机事件.
2.给出下列四个命题:
①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;②当“x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件;③“2025年的国庆节是晴天”是必然事件;④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事件.其中正确命题的个数是( )
A.4B.3
C.2D.1
解析:
选B.“2025年的国庆节是晴天”是随机事件,故命题③错误,命题①②④正确.故选B.
样本点与样本空间
同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数;
(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点?
“x<3且y>1”呢?
(4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点?
“x=y”呢?
【解】
(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)样本点的总数为16.
(3)“x+y=5”包含以下4个样本点:
(1,4),(2,3),(3,2),(1,4);“x<3且y>1”包含以下6个样本点:
(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(4)“xy=4”包含以下3个样本点:
(1,4),(2,2),(4,1);“x=y”包含以下4个样本点:
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件;
(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布).
(1)写出样本空间;
(2)用集合表示事件“甲赢”;
(3)用集合表示事件“平局”.
解:
(1)Ω={(锤,剪),(锤,布),(锤,锤),(剪,锤),(剪,剪),(剪,布),(布,锤),(布,剪),(布,布)}.
(2)记“甲赢”为事件A,则A={(锤,剪),(剪,布),(布,锤)}.
(3)记“平局”为事件B,则B={(锤,锤),(剪,剪),(布,布)}.
事件的运算
盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
求:
(1)事件D与A、B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
【解】
(1)对于事件D,可能的结果为1个红球,2个白球或2个红球,1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球,2个白球或2个红球,1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.
[变条件、变问法]在本例中,设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与A、B、E是什么运算关系?
C与F的交事件是什么?
解:
由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个红球三种情况,故A⊆C,B⊆C,E⊆C,所以C=A∪B∪C,而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球,2个白球1个红球,3个白球,所以C∩F={1个红球2个白球,2个红球1个白球}=D.
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
掷一枚骰子,下列事件:
A={出现奇数点},B={出现偶数点},C={点数小于3},D={点数不大于2},E={点数是3的倍数}.
求:
(1)A∩B,BC;
(2)A∪B,B+C;
(3)D,AC.
解:
(1)A∩B=∅,BC={出现2点}.
(2)A∪B={出现1,2,3,4,5或6点},
B+C={出现1,2,4或6点}.
(3)D={点数小于或等于2}={出现1或2点};
AC={出现1点}.
互斥事件与对立事件的判定
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判别它们是不是对立事件.
(1)恰有1名男生与恰有2名男生;
(2)至少有1名男生与全是男生;
(3)至少有1名男生与全是女生;
(4)至少有1名男生与至少有1名女生.
【解】 判别两个事件是否互斥,就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立,就要考察它们是否必有一个发生.
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥;由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(1)包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似;
②两事件相等的实质为相同事件,即同时发生或同时不发生.
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步,确定每个事件包含的结果;
第二步,确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生,若是,则两个事件不互斥,否则就是互斥的.
(3)判断事件是否对立的两个步骤
第一步,判断是互斥事件;
第二步,确定两个事件必然有一个发生,否则只有互斥,但不对立.
判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
从40张扑克
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