三角形章节知识点总结.docx
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三角形章节知识点总结.docx
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三角形章节知识点总结
命题与证明知识点梳理
(1)定义、命题、定理、公理的有关概念
三角形知识点梳理
⒈三角形的定义:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;
相邻两边的公共端点是三角形的顶点,三角形ABC用符号表示为
,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示,AC可用b表示,BC可用a表示.
注意:
(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;
(2)三角形是一个封闭的图形;
(3)
是三角形ABC的符号标记,单独的
没有意义。
⒉三角形的分类:
(1)按边分类:
(2)按角分类:
⒊三角形的主要线段的定义:
(1)三角形的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段.
表示法:
1.AD是
的BC上的中线.
2.BD=DC=
BC.
注意:
①三角形的中线是线段;
②三角形三条中线全在三角形的内部;
③三角形三条中线交于三角形内部一点;
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形.
(2)三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
表示法:
1.AD是
的∠BAC的平分线.
2.∠1=∠2=
∠BAC.
注意:
①三角形的角平分线是线段;
②三角形三条角平分线全在三角形的内部;
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;
④用量角器画三角形的角平分线.
(3)三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.
表示法:
1.AD是
的BC上的高线.
2.AD⊥BC于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°.
注意:
①三角形的高是线段;
②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外;
③三角形三条高所在直线交于一点.
⒋三角形的主要线段的表示法:
(1)三角形的角平分线的表示法:
如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示:
1AD是ABC的角平分线;
2AD平分BAC,交BC于D;
③如果AD是
的角平分线,那么BAD=DAC=
BAC.
(2)三角形的中线表示法:
如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示:
①AE是ABC的中线;
②AE是ABC中BC边上的中线;
③如果AE是ABC的中线,那么BE=EC=
BC.
(3)三角线的高的表示法:
如图2,根据具体情况,使用以下任意一种方式表示:
1AM是ABC的高;
2AM是ABC中BC边上的高;
3如果AM是ABC中BC边上高,那么AMBC,垂足是E;
4如果AM是ABC中BC边上的高,那么AMB=AMC=90.
⒌在画三角形的三条角平分线,三条中线,三条高时应注意:
(1)如图3,三角形三条角平分线交于一点,交点都在三角形内部.
(2)如图4,三角形的三条中线交点一点,交点都在三角形内部.
如图5,6,7,三角形的三条高交于一点,锐角三角形的三条高的交点在三角形内部,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部,直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.
⒍三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意:
(1)三边关系的依据是:
两点之间线段是短;
(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.
⒎三角形的角与角之间的关系:
(1)三角形三个内角的和等于180;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理
定理:
三角形的内角和等于180°.
推论:
直角三角形的两个锐角互余。
推理过程:
一、作CM∥AB,则∠4=∠1,而∠2+∠3+∠4=1800,即∠A+∠B+∠ACB=1800.
二、作MN∥BC,则∠2=∠B,∠3=∠C,而∠1+∠2+∠3=1800,
即∠BAC+∠B+∠C=1800.
注意:
(1)证明的思路很多,基本思想是组成平角.
(2)应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角.
三角形的外角的定义
三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
注意:
每个顶点处都有两个外角,但这两个外角是对顶角.
如:
∠ACD、∠BCE都是
的外角,且∠ACD=∠BCE.
所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处
只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了.
三角形外角的性质
(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和.
(2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角.
注意:
(1)它不相邻的内角不容忽视;
(2)作CM∥AB由于B、C、D共线
∴∠A=∠1,∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
8.三角形的稳定性:
三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性.
注意:
(1)三角形具有稳定性;
(2)四边形没有稳定性.
适当添加辅助线,寻找基本图形
(1)基本图形一,如图8,在ABC中,AB=AC,B,A,D成一条直线,则DAC=2B=2C或B=C=
DAC.
(2)基本图形二,如图9,如果CO是AOB的角平分线,DE∥OB交OA,OC于D,E,那么DOE是等腰三角形,DO=DE.当几何问题的条件和结论中,或在推理过程中出现有角平分线,平行线,等腰三角形三个条件中的两个时,就应找出这个基本图形,并立即推证出第三个作为结论.即:
角平分线+平行线→等腰三角形.
基本图形三,如图10,如果BD是ABC的角平分线,M是AB上一点,MNBD,且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN,即BMN是等腰三角形,且MP=NP,即:
角平分线+垂线→等腰三角形.
当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时,就应找出这个基本图形,如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整,如图11,图12.
线段的垂直平分线知识点梳理
(1)定义:
经过线段的中点且与线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线。
如图1,
∵CA=CB,
直线m⊥AB于C,
∴直线m是线段AB的垂直平分线。
(2)性质:
线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
(3)如图2,∵CA=CB,
直线m⊥AB于C,
点P是直线m上的点。
∴PA=PB。
(4)判定:
与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如图3,∵PA=PB,
直线m是线段AB的垂直平分线,
∴点P在直线m上。
等腰三角形
1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。
2.等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的两个底角相等;
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3.等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
4.等边三角形的性质:
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。
5.等边三角形的判定:
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
6.含30°角的直角三角形的性质:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等边三角形
(1)等边三角形的定义:
三条边都相等的三角形叫等边三角形.
(2)等边三角形的性质:
①等边三角形的三个角都相等,并且每个角都是60°;
②等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且每一条边上都有三线合一,因此等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;而等腰三角形只有一条对称轴.
(3)等边三角形的判定
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;
③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形;
④三个角都相等的三角形是等边三角形.
(4)两个重要结论
①在直角三角形中,如果一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
②在直角三角形中,如果一条直角边是斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.
两个重要结论的数学解释:
已知:
如图4,在△ABC中,∠C=90°,则:
①如果AB=2BC,那么∠A=30°;
②如果∠A=30°,那么AB=2BC.
直角三角形
1.认识直角三角形。
学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类:
如果三角形中有一个角是直角,那么这个三角形叫直角三角形。
通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”,其中直角所对的边称为直角三角形的斜边,构成直角的两边称为直角边。
如果△ABC是直角三角形,习惯于把以C为顶点的角当成直角。
用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。
如果AB=AC且∠A=90°,显然这个三角形既是等腰三角形,又是直角三角形,我们称之为等腰直角三角形。
2.掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。
会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。
3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。
4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。
能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。
5在直角三角形中如果一个锐角是30°,则它所对的直角边等于斜边的一半”。
难点:
1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线:
斜边上的高线和斜边上的中线。
勾股定理及逆定理
一、勾股定理及其证明
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言:
在△ABC中,∠C=90°(已知)
证明:
进行图形拼接用面积法证明.制作四个全等的直角三角形,然后进行拼接,利用面积法理解勾股定理.
二、勾股定理的应用:
(1)已知两边(或两边关系)求第三边;
(2)已知一边求另两边关系;
(3)证明线段的平方关系;
(4)作长为
的线段.
三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形.
1.勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形,然后通过证全等完成;
2.勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一,与以前学的判定方法不同,它是用代数运算来证明几何问题,这是数形结合思想的最好体现,今后我们会经常用到.
利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤:
1.先找出最大边(如c);
2.计算
与
,并验证是否相等.
若
,则△ABC是直角三角形.
若
,则△ABC不是直角三角形.
注意:
(1)△ABC中,若
,则∠C=90°;而
时,则∠A=
90°;
时,则∠B=90°.
(2)若
,则∠C为钝角,则△ABC为钝角三角形.
若
,则∠C为锐角,但△ABC不一定为锐角三角形.
三、勾股数:
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数(或勾股弦数),如3、4、5;6、8、10;5、12、13;8、15、17等.
各主要三角形类型之间的对比
三角形类型
定义
性质
判定
等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形,其中相等的两条边分别叫做腰,另一条边叫做底边,两腰的夹角叫顶角,腰和底边的夹角为底角
1、等腰三角形是对称图形,顶角平分线所在直线为它的对称轴
2、等腰三角形两底角相等,即在同一个
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